6.4.1 圆的标准方程（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.4.1 圆的标准方程 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材由6.4节导语提出圆能否用方程表示，用天坛圜丘坛与园林“洞门”两幅图片建立现实背景，再给出圆的轨迹定义，借助图把动点到圆心的距离等于半径用两点间距离公式化为方程（）并命名为标准方程，再单列圆心在原点的方程（），最后用例1至例4和探究与发现落实写方程、读圆心与半径、判断点与圆的位置关系及由几何条件求圆。 本课是圆这一节的首课时，把研究直线方程的方法迁移到圆上，为圆的一般方程和直线与圆的位置关系提供工具；教学中应突出“设点—列式—化简”的思路，并把读圆心与半径的符号细节作为规范重点。 学情分析 学生已经掌握平面直角坐标系中点的坐标、两点间距离公式和线段的中点坐标公式，也经历过由几何条件求直线方程的过程，具备把几何条件代数化的经验。但把动点到定点的距离等于定长这一条件整体转化为方程还需要教师示范，由方程读圆心坐标时容易出现符号错误，等号右端的常数是半径的平方也常被误读成半径，解答由几何条件求圆的题目时容易遗漏先定圆心再定半径的次序。课堂通过教材情境辨析、推导板书、易错对比、教材例题示范和分层练习，帮助学生形成先设方程、再定圆心与半径、最后检验的习惯。 教学目标 1．理解圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，知道定点是圆心、定长是半径，理解用两点间距离公式推导圆的标准方程的过程。 2．掌握圆的标准方程的结构特征，能由圆心和半径写出圆的标准方程，能由标准方程读出圆心坐标与半径，能用距离与半径的大小关系判断点与圆的位置关系，能由线段为直径等几何条件求出圆的标准方程。 3．经历由圆的定义列式、两边平方化简得到方程的过程，提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养，形成先明确条件、再规范表达、最后检验结果的意识。 教学重难点 教学重点：圆的轨迹定义与标准方程的推导；由圆心和半径写出标准方程、由标准方程读出圆心坐标与半径；判断点与圆的位置关系。 教学难点：由动点到圆心的距离等于半径这一条件用两点间距离公式推出标准方程；准确识别平移后的圆心坐标符号以及等号右端为半径的平方。 教学方法 情境教学法、数形结合法、启发式讲解法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材情境：天圆地方是我国古人朴素的世界观，圆很早就被运用于我国传统建筑的设计之中，可以说，没有圆就没有中式设计，如北京天坛的圜丘坛就是典型的圆形建筑（图），再如中式园林中的“洞门”（图）。 教材节导语：在平面直角坐标系中，点与坐标、直线与二元一次方程存在着一一对应关系，可以用坐标表示一个点，用方程表示一条直线。那么，在平面直角坐标系中，是否也可以用方程表示一个圆？ 旧知检测：我们已经能用方程表示一条直线。那么用一个方程能否表示一个圆？如果能，这个方程中的系数应当与圆的哪些几何量对应？ 【答案】可以用方程表示一个圆。方程中的系数应当与圆心的坐标和圆的半径对应。 【解析】点可以用坐标表示，直线可以用二元一次方程表示，圆作为平面内的一个动点轨迹，同样可以把到定点的距离等于定长这一条件写成含有横、纵坐标的等式来研究。 教师归纳：本节课研究怎样建立圆的方程，并用它表示圆心、半径以及点与圆的位置关系。 由教材节导语与两幅现实图片提出圆能否用方程表示的核心问题，激活坐标表示图形的经验并明确本课任务。 新知讲授 一、圆的定义 圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径。 把圆看成动点按运动形成的图形：定点就是圆心，定长就是半径。圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，动点到定点的距离等于定长就是圆上点的本质特征，由此就可以把圆用方程表示出来。 二、圆的标准方程的推导 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为点，半径为，如图6-36所示。设圆上任意一点，则有。 由两点间距离公式，得 将这个等式两边平方，得 推导的顺序是设置动点的坐标，用圆的定义列出距离等于半径的等式，再用两点间距离公式写成根式的形式，最后两边平方化为整式方程；因为圆上任意一点的坐标都满足这个方程，所以这个方程就是圆的方程。 三、圆的标准方程 方程（6-9）称为以点为圆心，为半径的圆的标准方程。 从结构上看，标准方程的左边是两个完全平方之和，等号右边是半径的平方；圆心坐标就是方程中、所减去的数、，等号右端开算术平方根就是半径。因此由圆心和半径可以直接写出方程，由方程也可以直接读出圆心坐标和半径。 四、圆心在原点的圆的标准方程 若圆心在坐标原点，半径为，则圆的标准方程为 这是把圆心坐标取作原点时的特殊情形，识别圆心在原点的圆时可以直接使用这个形式。 五、典型例题 例1 写出下列圆的标准方程。 （1）圆心为点，半径为2； （2）圆心为坐标原点，半径为5。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）因为圆心为点，半径为2，所以圆的标准方程为；（2）因为圆心为坐标原点，半径为5，所以圆的标准方程为。 教师强调：代入标准方程时圆心坐标整体作减数，得到的是、；半径必须先平方再写到等号右边，所以半径为2时右端是4，而不是2。 例2 求下列圆的圆心坐标和半径。 （1）； （2）。 【答案】（1）圆心坐标为，半径为3；（2）圆心坐标为，半径为。 【解析】（1）因为圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为3；（2）因为圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为。 教师强调：括号内是时圆心横坐标应读作，不要读成2；缺项时对应的圆心坐标取0；等号右端是半径的平方，半径是9的算术平方根3，不是9。 六、点与圆的位置关系 探究与发现：设圆的方程为，如何判断点是在圆内、圆上还是圆外？ 根据圆的定义可知，若，则点在圆上，即；若，则点在圆外，即；若，则点在圆内，即。 例3 已知点，，求以线段为直径的圆的标准方程。 【答案】。 【解析】设圆的标准方程为，根据题意，线段的中点为圆心，所以，，又因为点为圆上的点，代入方程，即，所以，所求圆的标准方程为。 教师强调：以线段为直径的圆，圆心是线段的中点，直径的两个端点到圆心的距离都等于半径，所以把其中一个端点的坐标代入方程就可以求出半径的平方。 例4 已知圆的标准方程为，则点与圆的位置关系是什么？ 【答案】点在圆内。 【解析】根据题意，圆心为，圆的半径，因为，所以点在圆内。 判断点与圆的位置关系，按先读圆心与半径、再算点到圆心的距离、最后与半径比较大小的顺序进行；也可以把点的坐标直接代入标准方程，比较左端与右端的大小后下结论。 按圆的定义、方程推导、结论命名、特殊情形与典型例题五条线索推进，突出由几何条件列式并化简的求轨迹方程思路。 课堂背诵 背诵1：圆的定义是什么？什么是圆心？什么是半径？ 【答案】圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径。 【解析】定义中的定点就是圆心，定长就是半径；圆上每一点到圆心的距离都等于半径，这一特征就是把圆写成方程的依据。 背诵2：填空并回答。以点为圆心、为半径的圆的标准方程是______；由这个方程怎样读出圆心坐标和半径？ 【答案】；圆心坐标就是方程中、所减去的数，半径是等号右端开算术平方根。 【解析】标准方程的左边是两个完全平方之和，等号右端是半径的平方，所以读半径时必须开算术平方根，读圆心坐标时要连同减号一起看。 背诵3：判断下列说法是否正确，并说出依据。（1）如果点的坐标满足圆的标准方程，那么这个点在圆上。（2）半径为3的圆，它的标准方程等号右端的数是3。 【答案】（1）正确；（2）不正确。 【解析】（1）点在圆上等价于该点到圆心的距离等于半径，把这个点的坐标代入标准方程，等号成立，所以正确。（2）标准方程等号右端是半径的平方，半径为3时等号右端应是9，所以不正确。 用复述、填空和判断检查学生对圆的定义、标准方程结构以及点与圆位置关系判定依据的准确记忆。 师生互动 任务一：同桌互检。说出圆的圆心坐标与半径，并说明理由。 【答案】圆心坐标为，半径为3。 【解析】把方程看成的形式：就是，所以横坐标是；中减去的数是1，所以纵坐标是1；等号右端9是半径的平方，半径是3。 任务二：已知点，，求以线段为直径的圆的标准方程。 【答案】。 【解析】以线段为直径的圆，圆心是线段的中点，由中点坐标公式得圆心坐标为；再把点代入方程，得，所以所求圆的标准方程为。 教师归纳：读圆心坐标时要把括号内的减号一起读出来，读半径时要对等号右端开算术平方根；由几何条件求圆，先定圆心、再定半径，最后写出标准方程。 通过读数纠错与由几何条件求圆两个任务，暴露圆心符号与半径平方的易错点并形成规范的解题表达。 课堂练习 1.已知两点和，求以线段为半径，点为圆心的圆的标准方程。 【答案】。 【解析】所求圆的圆心为点，半径是线段的长，半径的平方等于，所以方程为。 2.求过点，半径为5且圆心在轴上的圆的标准方程。 【答案】或。 【解析】圆心在轴上，可设圆心坐标为，把点代入方程得，解得，所以所求方程为或。 3．已知圆的圆心坐标为，半径为1。（1）求圆的标准方程；（2）已知点，，判断点，与圆的位置关系。 【答案】（1）；（2）点在圆外，点在圆上。 【解析】（1）圆心为、半径为1，所以标准方程为。（2）把点的坐标代入方程的左边得，所以点在圆外；把点的坐标代入得，等于半径的平方，所以点在圆上。 按选择判断、填空读写、解答练习与能力提升四个层次设置六道题，覆盖本课全部知识点并兼顾规范书写。 课堂小结 1．圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径。 2．以点为圆心、为半径的圆的标准方程是，它是由动点到圆心的距离等于半径这一条件用两点间距离公式推导并两边平方得到的。 3．圆心在坐标原点时，圆的标准方程为，它是把圆心坐标取作原点时的特殊情形。 4．由圆心和半径写方程，就把圆心坐标整体作减数、把半径的平方写到等号右边；由方程读圆心和半径，就取、所减去的数作为圆心坐标，并对等号右端开算术平方根得到半径。 5．判断点与圆的位置关系，先读出圆心与半径，再计算点到圆心的距离并与半径比较；把点的坐标代入标准方程比较左端与右端的大小同样可以判断，相等时点在圆上，大于时点在圆外，小于时点在圆内。 6．由几何条件求圆，先用几何条件定圆心，例如以线段为直径的圆其圆心是线段的中点，再用圆上已知点的坐标求出半径的平方；解题时要注意括号内是加号时圆心横坐标取相反数，等号右端是半径的平方而不是半径。 由教师按教学顺序分点总结本课的核心知识、操作方法与易错条件，形成便于迁移使用的结构化认知。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 后续优化应重点观察学生能否独立完成由动点到圆心的距离等于半径到标准方程的推导。课堂上可压缩教师的重复演算，把时间用于对比括号内是加号时圆心横坐标取相反数、等号右端是半径的平方这两类易错点，并要求学生用完整句子说明读数依据；对由几何条件求圆的题目，应增加先定圆心再定半径的口述示范，让运算与说理同步落实。 学科网（北京）股份有限公司 $