6.3.3 点到直线的距离（课件）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学》 基础模块（下册） 第六章 直线与圆的方程 6.3.3 点到直线的距离 学习目标 1．理解点到直线的距离的定义，知道距离是点与直线上各点连线长度中的最小值，能说明把点到直线的距离转化为两点间距离的推导思路。 2．掌握点到直线的距离公式，能先把直线方程化为一般式再代入公式求距离，能由已知距离列含绝对值的方程反求参数，并能用取特殊点的方法求两条平行直线间的距离。 3．经历由现实情境抽象、由算例归纳公式和化归转化的过程，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理素养，形成检查公式使用前提与运算结果的意识。 两个现实情境中的距离问题 （1）：船舶驾驶专业的学生在一次专业实操中，需要驾驶船只从河中某一位置以最短的航程到达河岸，应该按照什么路线行驶呢？如果把学生所在位置看作一个点，河岸看作一条直线，如何计算点到直线的距离呢？ （2）：高速铁路简称高铁，是指设计标准等级高、可供列车在轨道上安全高速行驶的铁路，列车速度在以上。如图6−30所示，高铁的某一段铁轨可以看作两条相互平行的直线，铁轨间的距离是高速列车设计时的重要参数。而铁轨间的距离实际上就是两条平行线之间的距离，如何计算两条平行线之间的距离呢？ 旧知检测1：两条直线垂直的条件 旧知检测1：两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直与斜率乘积为可以互相推出。已知直线 l 的斜率为 ，那么与 l 垂直的直线的斜率是多少？ 【答案】。 【解析】设与 l 垂直的直线的斜率为 ，由 得 。这个结论就是本课求垂线方程的关键工具。 本节课的学习将带领大家解决前面俩个问题，在此之前，我们先来复习俩个问题。 旧知检测2：两点间距离公式 旧知检测2：已知两点 与 ，两点间距离公式是什么？ 【答案】。 【解析】两点间距离公式把两点间的距离表示成两点的坐标之差的平方和再开方，它是本课把点到直线的距离转化为两点间距离时所使用的工具。 教师归纳：两个情境提出的都是距离问题，一个是点到直线的距离，一个是两条平行直线间的距离。本课先解决点到直线的距离，再把两条平行直线间的距离化归为点到直线的距离。 点到直线的距离的定义 我们知道，在平面直角坐标系中，点与直线有两种位置关系：（1）点在直线上，点的坐标满足直线方程；（2）点在直线外，点的坐标不满足直线方程。当点 在直线 外时，如图6−31所示，称点 到直线 的垂线段 的长度为点 到直线 的距离。 追问：点在直线上与垂线段最短 追问：如果点在直线上，点到直线的距离是多少？点到直线的距离是点与直线上各点连线长度中的哪一个？ 【答案】点在直线上时，点到直线的距离为0；点不在直线上时，垂线段的长度就是点与直线上各点连线长度中的最小值。 【解析】点在直线上时，点本身就是直线上的点，距离为0；点在直线外时，垂线段最短，所以把垂线段的长度定义为点到直线的距离。 教师说明：如果点在直线上，则点到直线的距离为0；如果点在直线外，如何求直线 外一点 到直线 l 的距离呢？这就是本课要解决的中心问题。 把点到直线的距离转化为两点间距离 教材算例：若点 的坐标为(3，−2)，直线 的方程为 ，如图6−32所示，我们求点 到直线 的距离。 （1）过点 作直线 的垂线，求垂线方程。 由直线 的方程 ，得直线的斜率 。若垂线的斜率为 ，则有 ，所以 。由直线的点斜式方程，得垂线方程 ，即 。 三步法 （2）求两条直线的交点 的坐标。 两条直线的方程组成的方程组为 ，解得 ，即两条直线的交点 的坐标为 。 三步法 （3）求点 到直线 的距离。 由两点间距离公式，得 ，即点 到直线 的距离为 。 教师归纳：上述过程可以总结未三步法——先由两条直线垂直的条件求出垂线方程，再联立两条直线的方程求出垂足坐标，最后用两点间距离公式求出距离。这就是把点到直线的距离转化为两点间距离的基本思路。 点到直线的距离公式 用同样的方法可以求得点 到直线 的距离 公式(6−8)称为点到直线的距离公式。 公式的结构：把点的横坐标与纵坐标代入直线一般式的左边，取绝对值后除以一次项系数平方和的算术平方根。分子取绝对值，分母是 。 即时练习1 即时练习：填空。点 到直线 的距离是______。 【答案】。 【解析】由点到直线的距离公式，得 。 使用公式的温馨提示 用公式(6−8)求点到直线的距离时，直线的方程必须是一般式方程。 也就是说，直线方程是斜截式或点斜式时，要先整理成一般式 ，再代入公式；分母是一次项系数平方和再开方，不能写成 。 即时练习2 即时练习：填空。点 到直线 的距离是______。 【答案】。 【解析】先把 化为一般式 ，再由点到直线的距离公式得 。 例7 斜截式先化一般式求距离 例7 求点 到直线 的距离 。 【答案】。 【解析】直线 的一般式方程为 ，由点到直线的距离公式，得 。 例8 已知距离反求参数 例8 点 到直线 的距离为1，求实数 的值。 【答案】 或 。 【解析】根据点到直线的距离公式，有 ，即 ，两边平方整理得 ，解得 。 方法要点：已知距离反求参数时，绝对值方程要去掉绝对值后保留两种情况，解完还要检验有没有漏解。 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。 因此，两条平行直线间的距离与所取点的位置无关。求这个距离时，可以在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，把它化归为点到直线的距离。 例9 化归求两条平行直线间的距离 例9 求两条平行直线 与 间的距离。 分析 先在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，然后利用点到直线的距离公式，求出这个点到另一条直线的距离，即为两条平行直线间的距离。 【答案】。 【解析】在直线 上取点 。因为点 到直线 的距离为 ，所以两条平行直线 与 间的距离为 。 课堂背诵1 背诵1：写出点到直线的距离公式，并说明公式中各元素表示什么。 【答案】点 到直线 的距离 。 【解析】把点的横坐标与纵坐标代入直线一般式的左边，取绝对值后除以一次项系数平方和的算术平方根。 课堂背诵2 背诵2：使用点到直线的距离公式前，直线的方程必须是什么形式？公式的分母写成什么？ 【答案】直线的方程必须是一般式方程 ；分母是 ，即一次项系数平方和再开方。 【解析】斜截式、点斜式方程要先整理成一般式；分母不能写成 。 课堂背诵3 背诵3：两条平行直线间的距离是怎样定义的？求这个距离时通常怎样化归？ 【答案】两条平行直线间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离；求它时在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，化归为点到直线的距离。 【解析】因为平行线上任意一点到另一条直线的距离都相等，所以取哪一个点都不改变结果。 互动讨论：三步法的旧知来源 互动讨论：把点 到直线 的距离转化为两点间距离，需要哪三步？每一步用到了什么旧知识？ 【参考答案】第一步由两条直线垂直的条件 求出垂线斜率，再用点斜式写出垂线方程；第二步联立两条直线的方程解方程组，求出垂足坐标；第三步用两点间距离公式求出两点间的距离。 【教师归纳】三步法的关键是通过作垂线把点到直线的距离转化为两点间距离，化归以后就可以用已经学过的公式求值。 纠错辨析：不是一般式不能直接代入 纠错辨析：判断这种解法是否正确——求点 到直线 的距离时，直接把点的坐标代入 。 【参考答案】不正确。公式要求直线的方程是一般式方程，必须先把 化为 ，再把点的坐标代入公式。 【教师归纳】拿到题目先看直线方程的形式，不是一般式的先整理，这是本课最容易失分的一步。 教材想一想：换取特殊点验证 教材想一想：在例9中，是否可以选取其他的特殊点进行运算？请换一个点验证结果是否相同。 【参考答案】可以。例如在直线 上取点 ，它到直线 的距离 ，与例9的结果相同。 【教师归纳】两条平行直线间的距离与所取点的位置无关，取坐标数值简单的点可以让运算更简便。 课堂练习1 第1题 （1）点 到 轴的距离为（　　）。 A.1　B.2　C.3　D.5 （2）到直线 的距离等于2的直线方程为（　　）。 A. 　B. 　C. 　D. 和 。 【答案】（1）B；（2）D。 【解析】（2） 轴所在直线的方程为 ，由公式得 ，选B。（3）设所求直线上任一点的坐标为 ，由点到直线的距离公式得 ，解得 或 ，选D。 课堂练习2 第2题 填空题。（1）点 到直线 的距离为______；（2）点 到直线 的距离为______；（3）平行直线 与 间的距离为______。 【答案】（1）3；（2）4；（3）。 【解析】（1） 即 ，由公式得 。（2）。（3）在直线 上取点 ，它到直线 的距离 。 课堂练习3 第3题 若点 到直线 的距离为4，求实数 的值。 【答案】 或 。 【解析】由点到直线的距离公式得 ，即 ，所以 或 ，解得 或 。 课堂练习4 第4题 已知直线 与直线 间的距离为1，求实数 的值。 【答案】 或 。 【解析】两条直线的一次项系数成比例，先把第二条直线化为 。在直线 上取点 ，点 到直线 的距离 ，即 ，所以 或 ，解得 或 。 课堂小结 1．当点 在直线 外时，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，垂线段 的长度就是点 到直线 的距离；点在直线上时，点到直线的距离为0。 2．求点到直线的距离的基本思路是化归：先由两条直线垂直的条件求出垂线方程，再联立两条直线的方程求出垂足坐标，最后用两点间距离公式求出距离。 3．点 到直线 的距离 ，这是本课的核心结论。 课堂小结 4．使用公式前必须把直线的方程化为一般式；分子取绝对值，分母是一次项系数平方和再开方，不能写成 。 5．已知距离反求参数时，把公式列成含绝对值的方程，去掉绝对值要保留两种情况，解完还要检验有没有漏解。 6．两条平行直线间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，它与所取点的位置无关；求法是在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，化归为点到直线的距离。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $