6.3.3 点到直线的距离（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.3.3 点到直线的距离 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材承接上一课时两条直线相交与垂直的判定，先由船舶以最短航程到达河岸和高速铁路铁轨间距两个现实情境，提出点到直线的距离与两条平行直线间的距离两个问题；再由点在直线上与点在直线外两种位置关系，引出用垂线段长度定义点到直线的距离；接着用点 到直线 的算例，完整演示作垂线求方程、联立方程组求垂足、用两点间距离公式求距离的推导过程，并由此归纳出点到直线的距离公式（公式6−8）；随后以温馨提示给出公式的使用前提，用例7、例8分别落实代入求距离与已知距离反求参数；最后用读一读栏目给出两条平行直线间的距离的定义，用例9和想一想落实取特殊点化归的求法。 本课是两条直线的位置关系这一节的最后一课，把平行、相交与垂直的判定用于解决距离问题，既是两点间距离公式与直线方程的综合运用，也为下一节用圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系提供工具。教学中应突出化归思想，让学生看清点到直线的距离如何转化为两点间距离、两条平行直线间的距离如何转化为点到直线的距离，并把规范运算落实到每一步。 学情分析 学生已经掌握两点间距离公式、直线的点斜式方程与一般式方程，能用两条直线的斜率乘积为−1求垂线方程，也具备解二元一次方程组的基础。但把非一般式方程直接代入公式、把分母写成 、在含绝对值的距离方程中漏解，都是本课常见的错误。课堂通过教材情境、算例推导、例题示范和分层练习，帮助学生形成“先化一般式、再代入公式、最后化简检验”的运算习惯。 教学目标 1．理解点到直线的距离的定义，知道距离是点与直线上各点连线长度中的最小值，能说明把点到直线的距离转化为两点间距离的推导思路。 2．掌握点到直线的距离公式，能先把直线方程化为一般式再代入公式求距离，能由已知距离列含绝对值的方程反求参数，并能用取特殊点的方法求两条平行直线间的距离。 3．经历由现实情境抽象、由算例归纳公式和化归转化的过程，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理素养，形成检查公式使用前提与运算结果的意识。 教学重难点 教学重点：点到直线的距离公式及其直接应用，把两条平行直线间的距离化归为点到直线的距离。 教学难点：理解公式的来源与使用前提，在非一般式方程和含绝对值的距离方程中正确运算且不漏解。 教学方法 情境教学法、算例归纳法、化归转化法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材情境（1）：船舶驾驶专业的学生在一次专业实操中，需要驾驶船只从河中某一位置以最短的航程到达河岸，应该按照什么路线行驶呢？如果把学生所在位置看作一个点，河岸看作一条直线，如何计算点到直线的距离呢？ 教材情境（2）：高速铁路简称高铁，是指设计标准等级高、可供列车在轨道上安全高速行驶的铁路，列车速度在以上。如图6−30所示，高铁的某一段铁轨可以看作两条相互平行的直线，铁轨间的距离是高速列车设计时的重要参数。而铁轨间的距离实际上就是两条平行线之间的距离，如何计算两条平行线之间的距离呢？ 旧知检测1：两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直与斜率乘积为可以互相推出。已知直线 l 的斜率为 ，那么与 l 垂直的直线的斜率是多少？ 【答案】。 【解析】设与 l 垂直的直线的斜率为 ，由 得 。这个结论就是本课求垂线方程的关键工具。 旧知检测2：已知两点 与 ，两点间距离公式是什么？ 【答案】。 【解析】两点间距离公式把两点间的距离表示成两点的坐标之差的平方和再开方，它是本课把点到直线的距离转化为两点间距离时所使用的工具。 教师归纳：两个情境提出的都是距离问题，一个是点到直线的距离，一个是两条平行直线间的距离。本课先解决点到直线的距离，再把两条平行直线间的距离化归为点到直线的距离。 由教材两幅现实情境提出点到直线距离与平行线距离两个问题，用垂直条件和两点间距离公式的旧知作铺垫，引出本课学习对象。 新知讲授 一、点到直线的距离的定义 我们知道，在平面直角坐标系中，点与直线有两种位置关系：（1）点在直线上，点的坐标满足直线方程；（2）点在直线外，点的坐标不满足直线方程。当点 在直线 外时，如图6−31所示，称点 到直线 的垂线段 的长度为点 到直线 的距离。 追问：如果点在直线上，点到直线的距离是多少？点到直线的距离是点与直线上各点连线长度中的哪一个？ 【答案】点在直线上时，点到直线的距离为0；点不在直线上时，垂线段的长度就是点与直线上各点连线长度中的最小值。 【解析】点在直线上时，点本身就是直线上的点，距离为0；点在直线外时，垂线段最短，所以把垂线段的长度定义为点到直线的距离。 教师说明：如果点在直线上，则点到直线的距离为0；如果点在直线外，如何求直线 外一点 到直线 l 的距离呢？这就是本课要解决的中心问题。 二、把点到直线的距离转化为两点间距离 教材算例：若点 的坐标为(3，−2)，直线 的方程为 ，如图6−32所示，我们求点 到直线 的距离。 （1）过点 作直线 的垂线，求垂线方程。 由直线 的方程 ，得直线的斜率 。若垂线的斜率为 ，则有 ，所以 。由直线的点斜式方程，得垂线方程 ，即 。 （2）求两条直线的交点 的坐标。 两条直线的方程组成的方程组为 ，解得 ，即两条直线的交点 的坐标为 。 （3）求点 到直线 的距离。 由两点间距离公式，得 ，即点 到直线 的距离为 。 教师归纳：上述过程可以分为三步——先由两条直线垂直的条件求出垂线方程，再联立两条直线的方程求出垂足坐标，最后用两点间距离公式求出距离。这就是把点到直线的距离转化为两点间距离的基本思路。 三、点到直线的距离公式（公式6−8） 用同样的方法可以求得点 到直线 的距离 公式(6−8)称为点到直线的距离公式。 公式的结构：把点的横坐标与纵坐标代入直线一般式的左边，取绝对值后除以一次项系数平方和的算术平方根。分子取绝对值，分母是 。 即时练习：填空。点 到直线 的距离是______。 【答案】。 【解析】由点到直线的距离公式，得 。 四、使用公式的温馨提示 用公式(6−8)求点到直线的距离时，直线的方程必须是一般式方程。 也就是说，直线方程是斜截式或点斜式时，要先整理成一般式 ，再代入公式；分母是一次项系数平方和再开方，不能写成 。 即时练习：填空。点 到直线 的距离是______。 【答案】。 【解析】先把 化为一般式 ，再由点到直线的距离公式得 。 五、典型例题 例7 求点 到直线 的距离 。 【答案】。 【解析】直线 的一般式方程为 ，由点到直线的距离公式，得 。 六、已知距离反求参数 例8 点 到直线 的距离为1，求实数 的值。 【答案】 或 。 【解析】根据点到直线的距离公式，有 ，即 ，两边平方整理得 ，解得 。 方法要点：已知距离反求参数时，绝对值方程要去掉绝对值后保留两种情况，解完还要检验有没有漏解。 七、两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。 因此，两条平行直线间的距离与所取点的位置无关。求这个距离时，可以在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，把它化归为点到直线的距离。 例9 求两条平行直线 与 间的距离。 分析 先在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，然后利用点到直线的距离公式，求出这个点到另一条直线的距离，即为两条平行直线间的距离。 【答案】。 【解析】在直线 上取点 。因为点 到直线 的距离为 ，所以两条平行直线 与 间的距离为 。 按定义、转化推导、公式、使用前提、例7、例8、平行线距离定义与例9的顺序展开，用即时练习逐点回收关键条件与运算方法。 课堂背诵 背诵1：写出点到直线的距离公式，并说明公式中各元素表示什么。 【答案】点 到直线 的距离 。 【解析】把点的横坐标与纵坐标代入直线一般式的左边，取绝对值后除以一次项系数平方和的算术平方根。 背诵2：使用点到直线的距离公式前，直线的方程必须是什么形式？公式的分母写成什么？ 【答案】直线的方程必须是一般式方程 ；分母是 ，即一次项系数平方和再开方。 【解析】斜截式、点斜式方程要先整理成一般式；分母不能写成 。 背诵3：两条平行直线间的距离是怎样定义的？求这个距离时通常怎样化归？ 【答案】两条平行直线间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离；求它时在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，化归为点到直线的距离。 【解析】因为平行线上任意一点到另一条直线的距离都相等，所以取哪一个点都不改变结果。 通过公式复述、使用前提提取和平行线距离定义的复述，检查学生能否准确说出本课必须会写会用的规范结论。 师生互动 互动讨论：把点 到直线 的距离转化为两点间距离，需要哪三步？每一步用到了什么旧知识？ 【参考答案】第一步由两条直线垂直的条件 求出垂线斜率，再用点斜式写出垂线方程；第二步联立两条直线的方程解方程组，求出垂足坐标；第三步用两点间距离公式求出两点间的距离。 【教师归纳】三步法的关键是通过作垂线把点到直线的距离转化为两点间距离，化归以后就可以用已经学过的公式求值。 纠错辨析：判断这种解法是否正确——求点 到直线 的距离时，直接把点的坐标代入 。 【参考答案】不正确。公式要求直线的方程是一般式方程，必须先把 化为 ，再把点的坐标代入公式。 【教师归纳】拿到题目先看直线方程的形式，不是一般式的先整理，这是本课最容易失分的一步。 教材想一想：在例9中，是否可以选取其他的特殊点进行运算？请换一个点验证结果是否相同。 【参考答案】可以。例如在直线 上取点 ，它到直线 的距离 ，与例9的结果相同。 【教师归纳】两条平行直线间的距离与所取点的位置无关，取坐标数值简单的点可以让运算更简便。 在步骤说明、错误辨析和取点验证中让学生互相说明依据，诊断对转化思路、公式前提与化归方法的理解。 课堂练习 第1题 选择题。（1）点 到直线 的距离为（　　）。 （2）点 到 轴的距离为（　　）。 A.1　B.2　C.3　D.5 （3） 到直线 的距离等于2的直线方程为（　　）。 A. 　B. 　C. 　D. 和 。 【答案】（1）；（2）B；（3）D。 【解析】（1）直线 中 ，，，由公式得 。（2） 轴所在直线的方程为 ，由公式得 ，选B。（3）设所求直线上任一点的坐标为 ，由点到直线的距离公式得 ，解得 或 ，选D。 第2题 填空题。（1）点 到直线 的距离为______；（2）点 到直线 的距离为______；（3）平行直线 与 间的距离为______。 【答案】（1）3；（2）4；（3）。 【解析】（1） 即 ，由公式得 。（2）。（3）在直线 上取点 ，它到直线 的距离 。 第3题 求原点到下列直线的距离。（1）；（2）；（3）。 【答案】（1）；（2）0；（3）5。 【解析】（1）。（2）先把 化为一般式 ，原点在该直线上，所以距离为0。（3） 即 ，由公式得 。 第4题 若点 到直线 的距离为4，求实数 的值。 【答案】 或 。 【解析】由点到直线的距离公式得 ，即 ，所以 或 ，解得 或 。 第5题 求两条平行直线 与 间的距离。 【答案】。 【解析】在直线 上取点 ，点 到直线 的距离 。 第6题 已知直线 与直线 间的距离为1，求实数 的值。 【答案】 或 。 【解析】两条直线的一次项系数成比例，先把第二条直线化为 。在直线 上取点 ，点 到直线 的距离 ，即 ，所以 或 ，解得 或 。 安排点线距离、平行线距离和参数反求三类递进练习，覆盖公式使用前提并检查课堂达标情况。 课堂小结 1．当点 在直线 外时，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，垂线段 的长度就是点 到直线 的距离；点在直线上时，点到直线的距离为0。 2．求点到直线的距离的基本思路是化归：先由两条直线垂直的条件求出垂线方程，再联立两条直线的方程求出垂足坐标，最后用两点间距离公式求出距离。 3．点 到直线 的距离 （公式6−8），这是本课的核心结论。 4．使用公式前必须把直线的方程化为一般式；分子取绝对值，分母是一次项系数平方和再开方，不能写成 。 5．已知距离反求参数时，把公式列成含绝对值的方程，去掉绝对值要保留两种情况，解完还要检验有没有漏解。 6．两条平行直线间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，它与所取点的位置无关；求法是在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，化归为点到直线的距离。 按定义、转化思路、公式、使用前提、参数反求和平行线距离依次归纳核心结论与易错点，形成结构化总结。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课可优化的地方主要有三点：一是公式推导的三步法用时较多，可以只完整示范求垂线方程，把求交点坐标和求距离交给学生分组完成；二是例8的绝对值方程应先写出绝对值等式再平方，避免学生直接平方后漏掉负根；三是练习第6题要先统一两条直线的系数，可增加一次对比示范。小结环节还应留出时间让学生复述公式中各元素的对应关系。 学科网（北京）股份有限公司 $