6.3.2 两条直线相交（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.3.2 两条直线相交 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材承接上一课时两条直线平行与重合的判定，先由交通标志和中国红十字会会标两个现实图形抽象出两条直线相交与垂直的位置关系，再用斜率是否相等给出相交的判定，借助温馨提示把交点坐标转化为两条直线方程组成的方程组的解，随后由直角三角形和倾斜角的关系推导出两条直线的斜率都存在时垂直的条件，最后用四道例题分别落实判断相交、求交点坐标、判断垂直和求垂线方程。 本课是继平行与重合之后对两条直线位置关系的继续研究，把几何位置关系转化为斜率关系和方程组解的代数判断，也为下一课时把点到直线的距离转化为垂线段长度做好准备。教学中应突出分类讨论：先判断斜率是否存在，再选择用斜率关系还是用方程组求解。 学情分析 学生已经掌握倾斜角、斜率、斜截式和一般式方程，能用斜率相等判断两条直线平行或重合，也具备解二元一次方程组的基础。但遇到斜率不存在的竖直直线时容易直接套用斜率乘积为-1的结论，容易把两条直线垂直与斜率乘积为-1当成无条件等价，解出交点坐标后也常忘记代回检验。课堂通过教材情境辨析、分类讨论、教材例题示范和分层练习，帮助学生形成先判断斜率是否存在、再选择方法、最后检验结果的习惯。 教学目标 1．理解两条直线相交的判定依据，能说明两条直线的斜率都存在时斜率不相等与两条直线相交的对应关系，并正确处理一条直线斜率不存在的情形。 2．掌握用方程组求两条直线交点坐标的方法，理解交点坐标的几何意义，能在斜率都存在时运用斜率乘积为-1判断两条直线垂直，并求出过一点且与已知直线垂直的直线方程。 3．经历由现实图形抽象位置关系、分类讨论和数形结合的过程，提升逻辑推理和数学运算素养，形成先判断条件、再选择方法并检验结果的意识。 教学重难点 教学重点：用斜率关系判定两条直线相交与垂直，把两条直线的交点坐标转化为方程组的解。 教学难点：判断前先明确两条直线的斜率是否存在，在斜率不存在与斜率都存在的情形之间正确选择判定依据。 教学方法 情境教学法、分类讨论法、数形结合法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材情境：图的交通标志表示禁止车辆临时或长时停放，图中的两条线段有什么位置关系？图是中国红十字会会标，图中的红十字是否可以抽象地看成两条互相垂直的线段？ 旧知检测：上一课时用什么判断两条直线平行或重合？判定时除了比较斜率还要同时比较什么？ 【答案】当两条直线的斜率都存在时，斜率相等则两条直线平行或重合；判定时还要同时比较两条直线在轴上的截距，斜率相等且截距不相等时两条直线平行。 【解析】平行与重合的判定只用到斜率和截距，同一平面上两条直线除平行、重合之外还有相交，其中互相垂直是相交的特殊情形。 教师归纳：两条直线相交是常见的位置关系，本节课研究怎样用方程和斜率判断两条直线相交与垂直，并求出交点的坐标。 由教材两幅现实图形抽象位置关系，用平行判定的旧知形成对比，引出相交与垂直的判定问题。 新知讲授 一、两条直线相交的判定 在同一平面内，若两条直线既不平行，也不重合，则这两条直线相交。 在同一平面内，若两条直线和相交，且斜率与都存在，则；反之，若两条直线和的斜率与都存在且，则直线与直线相交。 若直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，则直线与直线相交。 例3 判断下列各组直线是否相交。 （1），； （2），． 【答案】（1）两条直线相交；（2）两条直线相交。 【解析】（1）由，即，得直线的斜率，直线的斜率。因为，所以两条直线相交。（2）由得直线的斜率不存在；由得直线的斜率。一条直线的斜率不存在而另一条直线的斜率存在，因此两条直线相交。 二、交点坐标就是方程组的解 直线与直线相交，交点的坐标同时满足两条直线的方程。因此，两条直线交点的坐标就是由两条直线的方程组成的方程组的解。 例4 判断直线与直线是否相交.若相交，求交点的坐标. 【答案】两条直线相交，交点的坐标为。 【解析】由，即，得直线的斜率；由得直线的斜率。因为，所以两条直线相交。解方程组，，得，，所以两条直线的交点的坐标为。 三、两条直线垂直的条件 直线与直线垂直，如图6-28(1)所示。因为直线平行于轴，所以直线的斜率；因为直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在。 直线与直线垂直且斜率与都存在，如图6-28(2)所示。设直线与直线的倾斜角分别为和，记的补角∠OCA为。因为，所以△ABC为直角三角形，且，，故。 即，若两条直线与垂直且斜率与都存在，则。反之，若两条直线与的斜率与都存在且，则直线与直线垂直。 例5 判断直线与直线是否垂直. 【答案】直线与直线互相垂直。 【解析】由得直线的斜率；由得直线的斜率。因为，所以两条直线垂直。 例6 已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程。 【答案】。 【解析】由得直线的斜率；设直线的斜率为，因为，所以，故有。又因为直线经过点，所以由直线的点斜式方程得，即直线的方程为。 按相交判定、交点与方程组、垂直条件三条线索推进，突出先判断斜率是否存在再选择判定依据的分类讨论。 课堂背诵 背诵1：两条直线相交的含义是什么？判断两条直线相交要分哪两种情形？ 【答案】在同一平面内，若两条直线既不平行，也不重合，则这两条直线相交。判断时分两种情形：两条直线的斜率都存在时，看是否成立；一条直线的斜率不存在而另一条直线的斜率存在时，两条直线也相交。 【解析】相交的判定必须覆盖斜率不存在的情形，不能只比较斜率是否相等。 背诵2：填空并回答。两条相交直线的交点坐标，就是由两条直线的方程组成的______的解；求出交点坐标后还需要做什么？ 【答案】方程组；把交点坐标代回两条直线的方程检验。 【解析】交点的坐标同时满足两条直线的方程，所以求交点坐标就是解方程组，代回检验可以避免解方程过程中的运算错误。 背诵3：判断下列说法是否正确，并说出依据。（1）若两条直线垂直，则它们的斜率乘积一定为。（2）斜率为的直线与斜率不存在的直线互相垂直。 【答案】（1）不正确。只有两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直才与斜率乘积为等价；如果其中一条直线的斜率不存在，就不能用乘积判断，例如竖直直线与水平直线互相垂直。（2）正确。斜率为的直线与轴平行，斜率不存在的直线与轴垂直，两者互相垂直。 【解析】使用斜率乘积为的前提是两条直线的斜率都存在，判断垂直时应先看斜率是否存在。 用提问、填空和判断复述相交与垂直的判定依据及适用前提，检查学生能否准确说出并写出本课规范结论。 师生互动 任务一：同桌互检。判断下列说法是否正确，并说明理由：两条直线相交，它们的斜率一定不相等。 【答案】不正确。当两条直线的斜率都存在时，两条直线相交与斜率不相等可以互相推出；但一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率存在时，两条直线也相交，这时不能说斜率不相等。 【解析】“斜率不相等”只有在两个斜率都存在时才有意义，判断两条直线相交必须先明确斜率是否存在。 任务二：已知直线。（1）求经过原点且与垂直的直线的方程；（2）判断与直线是否垂直。 【答案】（1）由得，所以所求直线的斜率，由点斜式得过原点的直线方程为，化为一般式为。（2）由得该直线的斜率；因为，所以与该直线垂直。 【解析】第（1）问先由垂直条件求出所求直线的斜率，再结合经过的点写出方程；第（2）问先读出两条直线的斜率，再检验乘积是否为。 教师归纳：判断相交与垂直都要先看两条直线的斜率是否存在；斜率都存在时用斜率是否相等或乘积是否为判定，斜率不存在时结合图形位置直接判断。 通过纠错说理与垂线方程两个任务，暴露斜率不存在时的易错点并形成规范的解题表达。 课堂练习 1．下列说法错误的是（　　）。A．如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数　B．斜率不存在的直线与斜率存在的直线相交　C．斜率为0的直线与斜率不为0的直线相交　D．斜率为0的直线与斜率不存在的直线垂直 【答案】A。 【解析】两条直线互相垂直时，只有斜率都存在，斜率才互为负倒数；当其中一条直线的斜率不存在时不能用乘积判断，例如D中斜率为的直线与斜率不存在的直线也互相垂直，所以A错误。B、C、D都符合两条直线相交或垂直的判定。 2． 下列直线与直线垂直的是（　　）。A．　B．　C．　D． 【答案】B。 【解析】直线的斜率为。A中直线的斜率为，B中直线化为，斜率为，与的乘积为；C中直线的斜率为，D中直线的斜率为。所以选B。 3．填空。（1）直线与直线的交点坐标是______；（2）若直线，且的斜率为，则的斜率______。 【答案】（1）；（2）不存在。 【解析】（1）由得，代入得，解得，，所以交点坐标为。（2）斜率为的直线与轴平行，与它垂直的直线与轴垂直，斜率不存在。 4．判断下列各组直线是否相交．若相交，求出交点坐标。（1），；（2），。 【答案】（1）两条直线相交，交点坐标为；（2）两条直线相交，交点坐标为。 【解析】（1）直线的方程可化为，斜率不存在；直线的斜率存在，所以两条直线相交。把代入得，解得，所以交点坐标为。（2）两个方程相减得，解得，代入得，解得，所以交点坐标为。 5．判断下列各组直线是否垂直。（1），；（2），；（3），；（4），。 【答案】（1）不垂直；（2）垂直；（3）不垂直；（4）垂直。 【解析】（1）两条直线的斜率分别为和，乘积为，不等于，所以不垂直。（2）两条直线的斜率分别为和，乘积为，所以垂直。（3）两条直线的斜率分别为和，乘积为，不等于，所以不垂直。（4）可化为，斜率不存在；可化为，斜率为；斜率为的直线与轴平行，斜率不存在的直线与轴垂直，所以两条直线垂直。 6．设△ABC的三个顶点坐标分别为点，，，求△ABC中BC边上的高所在的直线的方程。 【答案】。 【解析】BC边所在直线的斜率为。因为BC边上的高与BC垂直，所以这条高的斜率为。又因为高经过顶点，由点斜式得，化为一般式得。 按概念辨析、交点求解、垂直判断和几何应用四个层次设置六道题，兼顾基础达标与规范书写。 课堂小结 1．在同一平面内，两条直线既不平行也不重合就是相交，两条直线互相垂直是相交的特殊情形。 2．两条直线的斜率都存在时，斜率不相等与两条直线相交可以互相推出；一条直线的斜率不存在而另一条直线的斜率存在时，两条直线也相交。 3．两条相交直线的交点坐标就是由两条直线的方程组成的方程组的解，求出交点坐标后应代回原方程检验。 4．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直与斜率乘积为可以互相推出，即两条直线的斜率互为负倒数。 5．斜率为的直线与斜率不存在的直线互相垂直；使用斜率乘积为的结论前，必须先确认两条直线的斜率都存在。 6．求经过一点且与已知直线垂直的直线，先由斜率乘积为求出斜率，再用点斜式写出方程并整理成一般式。 按相交判定、交点与方程组、垂直条件和求垂线方法依次归纳核心结论、适用条件与易错点，形成结构化总结。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 后续优化应重点观察学生能否在判断相交与垂直前先确认两条直线的斜率是否存在。课堂上可减少教师的重复演算，把时间用于对比斜率存在与不存在两类情形的判定路径，并要求学生用完整句子说明选择依据；对把斜率乘积为-1无条件使用的错误，应及时用水平线与竖直线垂直的反例辨析。解方程组求出交点坐标后，还应增加代回检验的规范示范，使运算与检验同步落实。 学科网（北京）股份有限公司 $