6.3.1 两条直线平行（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.3.1 两条直线平行 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在第6章导语提出借助斜率判断两条直线位置关系的问题之后，先安排6.3.1两条直线平行的内容，再研究两条直线相交与点到直线的距离。本课从水平直线、竖直直线两种特殊情形出发论证平行关系，再由斜截式方程推出斜率相等时平行与重合的判定结论，最后用两道例题示范位置关系的判定和求平行直线方程的方法。 本课以倾斜角、斜率以及直线的点斜式、斜截式和一般式方程为基础，把用斜率刻画直线方向的经验转化为可操作的判定方法，是6.3节研究两条直线位置关系的起点，也为后续判定两条直线相交、垂直以及研究距离问题提供依据。 学情分析 学生已经学习过倾斜角、斜率以及直线的点斜式、斜截式和一般式方程，能够把直线方程化为斜截式并读出斜率与纵截距。但学生容易把斜率相等直接等同于两条直线平行，忽略纵截距是否相等，也容易遗漏斜率不存在的竖直直线；在表述判定条件时常省略前提，需要借助对比例题和分层练习逐步形成规范、完整的数学表达。 教学目标 1．理解两条直线平行的判定条件，能说出斜率都存在时两条直线平行与重合的区别，以及斜率都不存在时两条直线的位置关系。 2．能把直线方程化为斜截式并读出斜率与纵截距，能依据斜率与纵截距判断两条直线是否平行或重合，能求经过一点且与已知直线平行的直线方程。 3．经历由水平直线、竖直直线两类特殊情形到一般判定结论的推理过程，通过观察图形、比较斜率和说明理由，提升数学抽象与逻辑推理素养，养成判定前先检查斜率与纵截距的习惯。 教学重难点 教学重点：两条直线平行的判定条件及其在判断位置关系和求直线方程中的应用。 教学难点：在同一斜率下通过比较纵截距区分平行与重合，以及正确处理斜率不存在的竖直直线。 教学方法 问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材情境：2020年11月24日，我国在文昌航天发射基地用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器。如果把长征五号火箭外围的四个助推器看作直线，它们的位置关系如何描述？ 【答案】四个助推器所在的直线不相交，方向相同，可以描述为两两平行。 【解析】把助推器抽象为直线后可以看到，四个助推器的方向完全一致，所以它们互相平行。 图　长征五号火箭与外围的四个助推器 教材情境：观察教材图中的故宫建筑、铁轨和桥梁，哪些物体是平行的？怎样用数学语言描述这种位置关系？ 【答案】故宫屋脊的两条边所在的直线平行，铁轨的两条钢轨所在的直线平行，桥梁的护栏所在的直线也互相平行。 【解析】把实物抽象为直线后可以看到，这些直线没有公共点而且方向相同，用数学语言描述就是两条直线平行。 图　故宫建筑、铁轨和桥梁 教师归纳：把这些物体抽象为直线后可以看到，它们不相交而且方向相同。在平面直角坐标系中，直线的方向由斜率刻画，因此本课的核心问题是：能否借助直线的斜率判断平面上两条直线的位置关系？ 旧知检测：写出直线的斜截式，并说明式中两个字母分别表示什么。 【答案】斜截式为，其中是直线的斜率，是直线在轴上的截距。 【解析】斜率决定直线的倾斜程度，纵截距决定直线与轴交点的位置，它们分别是比较两条直线方向和位置关系的依据。 由火箭助推器和生活中的平行实物激活经验，把实物抽象为直线，提出用斜率判断位置关系的核心问题，同时回收斜截式旧知。 新知讲授 一、两条直线都平行于轴时的平行关系 若直线与直线平行且都平行于轴，则它们的倾斜角都为0，此时斜率都为0；反之，若直线与直线的斜率都为0，则倾斜角也都为0，两条直线平行且都平行于轴。 即时判断：两条直线的斜率都为0，它们的位置关系如何？ 【答案】两条直线平行，并且都平行于轴。 【解析】斜率都为0说明两条直线的倾斜角都为0，方向相同，因此互相平行。 二、两条直线都垂直于轴时的平行关系 若直线与直线平行且都垂直于轴，则它们的倾斜角都为，此时斜率都不存在；反之，若直线与直线的斜率都不存在，则倾斜角也都为，两条直线平行且都垂直于轴，即形如与的两条直线平行。 即时判断：直线与直线的斜率都不存在，它们的位置关系如何？ 【答案】两条直线平行。 【解析】两条直线的斜率都不存在，说明它们都垂直于轴，方向相同，所以互相平行。 三、斜率相等时两条直线的平行与重合 若直线与直线平行，则它们的倾斜角相等，即=，此时斜率相等，即；反之，若，则两条直线的倾斜角相等，两条直线平行，即当且时，两条直线平行。 若直线与直线的斜率相等，即，且，则这两条直线重合。 综上，利用直线的斜率是否相等可以判断两条直线是否平行或重合。 温馨提示：在平面直角坐标系中，当两条直线的斜率与都存在，并有且时，两条直线平行；当两条直线的斜率都不存在时，两条直线也平行。 四、典型例题 例1 判断下列各组直线是否平行或重合。 （1），； （2），； （3），。 【答案】（1）与平行；（2）与重合；（3）与平行。 【解析】（1）由得直线的斜率、在轴上的截距；由，即，得直线的斜率、在轴上的截距。因为且，所以两条直线平行。 （2）由，即，得直线的斜率、在轴上的截距；由，得直线的斜率、在轴上的截距。因为且，所以两条直线重合。 （3）因为直线与直线都垂直于轴，两条直线的斜率都不存在，所以两条直线平行。 想一想：例1（2）还有其他解法吗？ 【答案】有。把的方程化为一般式得，与的方程完全相同，所以两条直线重合。 【解析】方程完全相同说明两条直线的解集相同，表示同一条直线；比较一般式时若一次项系数成比例，还要比较常数项才能区分平行与重合。 例2 求经过点且与直线平行的直线方程。 【答案】所求直线方程为，即。 【解析】因为直线的斜率为2，所以所求直线的斜率。设所求直线方程为，因为直线过点，所以有，解得。故所求直线方程为，即。 按斜率都存在与斜率都不存在两类情形依次推理，先得到特殊情形的平行条件，再归纳判定结论，最后用教材两道例题示范判定与求方程。 课堂背诵 背诵1：两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的条件是什么？ 【答案】两条直线的斜率与都存在时，若且，则两条直线平行。 【解析】斜率相等说明两条直线方向相同，纵截距不相等说明两条直线不重合，两个条件同时成立才能判定平行。 背诵2：两条直线的斜率相等时，两条直线的位置关系有哪两种？怎样区分？ 【答案】两条直线的位置关系可能是平行，也可能是重合。若且，则两条直线平行；若且，则两条直线重合。 【解析】斜率只刻画直线的方向，纵截距刻画直线与轴交点的位置，区分平行与重合必须同时比较这两个量。 背诵3（挖空）：两条直线都平行于轴时，它们的斜率都是______；两条直线都垂直于轴时，它们的斜率都______。 【答案】两条直线都平行于轴时，它们的斜率都是0；两条直线都垂直于轴时，它们的斜率都不存在。 【解析】平行于轴的直线倾斜角为0，斜率为0；垂直于轴的直线倾斜角为，斜率不存在。 背诵4（判断）：两条直线的斜率相等，这两条直线一定平行。这句话对吗？ 【答案】不对。斜率相等时两条直线可能重合，只有再加上纵截距不相等，才能判断两条直线平行。 【解析】且时两条直线重合，所以在比较斜率之后还要比较纵截距。 以提问、挖空和判断三种方式整体回收平行与重合的判定条件、区分方法和斜率不存在的情形，检查学生必须会说、会辨析的表述。 师生互动 互动任务1：两条直线的斜率相等，能否断定这两条直线一定平行？请说明理由，并举出一个反例。 【答案】不能断定。反例：直线与直线的斜率都是2，纵截距都是1，这两条直线重合。 【解析】由得，与的方程相同，所以两条直线重合；斜率相等只说明方向相同，还要比较纵截距。 互动任务2：直线与直线是否平行？它们的斜率存在吗？ 【答案】两条直线平行，它们的斜率都不存在。 【解析】两条直线都垂直于轴，倾斜角都是，方向相同，所以互相平行；形如与的两条直线平行。 互动任务3：判断直线与直线的位置关系，并说明理由。 【答案】两条直线重合。 【解析】由得；由得。两条直线的斜率都是，纵截距都是1，所以两条直线重合。 教师归纳：判断两条直线的位置关系，先看斜率是否存在。两条直线的斜率都不存在时，它们都垂直于轴，互相平行；两条直线的斜率都存在时，先比较斜率，斜率相等再比较纵截距：纵截距不相等则两条直线平行，纵截距相等则两条直线重合。 通过反例辨析、特殊情形判断和一般式比较三个任务诊断学生对斜率相等与平行关系的理解，并归纳可操作的判定流程。 课堂练习 当堂检测 练习1 （1）下列说法正确的是（　　）. A. 如果两条直线平行，那么两条直线的斜率相等 B. 如果两条直线的斜率不相等，那么两条直线不平行 C. 如果两条直线都与轴平行，那么它们的斜率相等 D. 与轴平行的直线斜率不存在. （2）下列直线与直线平行的是（　　）. A.　B.　C.　D. （3）已知直线∥，且的斜率为0，则的斜率为（　　）. A.0　B.1　C.　D. 不存在 【答案】（1）B；（2）A；（3）A。 【解析】（1）选项A错误，两条直线都垂直于轴时它们平行但斜率都不存在；选项C错误，两条直线都与轴平行时它们的斜率都不存在；选项D错误，与轴平行的直线斜率为0。（2）直线即，斜率为；选项A中即，斜率也是，纵截距为，与已知直线平行；选项B的斜率为，选项C的斜率为2，选项D的斜率为，都不平行。（3）的斜率为0说明平行于轴，与它平行的也平行于轴，所以斜率为0。 练习2 （1）若直线与直线平行，则直线的斜率为______； （2）已知直线在轴上的截距为2，且与直线平行，则直线的方程为______； （3）若直线经过点且与直线平行，则直线的方程为______. 【答案】（1）；（2）（即）；（3）（即）。 【解析】（1）由得，斜率为，与它平行的直线斜率也是。（2）与平行的直线斜率为1，它在轴上的截距为2，所以方程为。（3）与平行的直线斜率为3，设，代入点得，解得，所以直线方程为。 练习3：判断下列各组直线是否平行或重合。 （1），； （2），； （3），； （4），。 【答案】（1）平行；（2）重合；（3）重合；（4）平行。 【解析】（1）由得，两条直线的斜率都是，纵截距分别是3和，不相等，所以两条直线平行。（2）由得，两条直线的斜率都是3，纵截距都是1，所以两条直线重合。（3）由得，两条直线的斜率都是，纵截距都是1，所以两条直线重合。（4）两条直线都垂直于轴，斜率都不存在，所以两条直线平行。 练习4：求经过点且平行于直线的直线方程。 【答案】。 【解析】直线垂直于轴，斜率不存在；与它平行的直线也垂直于轴，经过点的竖直直线为。 练习5：判断直线与直线的位置关系。 【答案】两条直线平行。 【解析】由得，两条直线的斜率都是，纵截距分别是1和3，不相等，所以两条直线平行。 练习6：已知直线经过点，且与直线平行，求直线的方程。 【答案】，即。 【解析】直线的斜率为3，所求直线与它平行，斜率也是3；设所求直线方程为，代入点得，解得，所以所求直线方程为，即。 用教材练习与教师原创题分层检测平行判定与求平行直线方程的达标情况，并依据当堂作答反馈调整讲评重点。 课堂小结 1．两条直线的斜率都存在时，若且，则两条直线平行；这是本课判定平行的主要依据。 2．且时两条直线重合，所以斜率相等只能说明两条直线平行或重合，判定平行必须再比较纵截距。 3．两条直线的斜率都不存在时，两条直线都垂直于轴，仍然互相平行，判定时不能遗漏这种情形。 4．求经过一点且与已知直线平行的直线方程，先取已知直线的斜率，再设斜截式并代入已知点求出纵截距，必要时化为一般式。 5．把直线方程化为斜截式后读出斜率与纵截距，先比斜率、再比纵截距，就可以判断两条直线是否平行或重合；只比较斜率而忽略纵截距是最常见的错误。 以教师分点陈述整理判定条件、平行与重合的区分、特殊情形、应用方法和易错提醒，帮助学生形成可迁移的判定经验。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课后续优化应重点观察学生能否把斜率相等与纵截距不等两个条件配套使用。课堂中可减少重复的方程变形演算，把更多时间用于比较例1三个小题的结果，帮助学生区分平行、重合与竖直直线；对只比较斜率就下结论、遗漏斜率不存在的直线等问题，增加即时辨析和同伴互评；例2的教学还可引导学生说明选用斜截式的理由，使方法与表达同步落实。 学科网（北京）股份有限公司 $