6.2.3 直线的一般式方程（课件）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学》 基础模块（下册） 第六章 直线与圆的方程 6.2.3 直线的一般式方程 学习目标 1．理解直线一般式方程的形成过程，准确说出其形式及两个一次项系数不同时为零的条件。 2．能在一般式、点斜式和斜截式之间进行等价互化，能从一般式读取斜率和纵截距，并能根据已知条件求直线的一般式方程。 3．经历等价变形、分类讨论和一题多解，提升逻辑推理与数学运算素养，形成根据直线特征选择方程形式并检查结果的意识。 所有直线都能用方程表示吗 教材情境：前面，我们学习了直线的点斜式方程和斜截式方程，当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在，从而无法写出直线的点斜式方程和斜截式方程，那么在平面直角坐标系中，请大家思考：所有的直线是否都能用方程表示呢？ 旧知检测：点斜式与斜截式 旧知检测：写出点斜式和斜截式，并说明它们共同依赖的条件。 【答案】点斜式为；斜截式为；二者都要求直线的斜率存在。 【解析】倾斜角为直角的直线斜率不存在，不能使用含斜率的点斜式或斜截式，这正是引入统一方程形式的原因。 一、把已有方程整理为二元一次方程 直线的点斜式方程可等价化为。 直线的斜截式方程可等价化为。因此，点斜式和斜截式都可化为关于两个变量的二元一次方程。 二、直线的一般式方程 对于二元一次方程， 当≠0时，可化为它表示斜率为、在y轴上的截距为的直线。 当时，由两个一次项系数不同时为零可知，方程化为，表示垂直于x轴的直线。 形如（A、B不同时为0）的方程称为直线的一般式方程。平面中的直线与二元一次方程建立一一对应关系。 一次项系数能同时为零吗 即时判断：方程中的两个一次项系数都为零时，它还能表示一条直线吗？ 【答案】不能。 【解析】两个一次项系数同时为零时，方程不再含坐标变量，不能表示平面内的一条直线。 四、典型例题 例8 已知直线经过点和，写出它的一般式方程。 【答案】。 【解析】解法一：设直线的斜率为k，则。由点斜式得，整理得。 【解析】解法二：设直线的一般式方程为，代入两点得，。解得，，约去非零因子B，仍得。 例9 由一般式读取参数 例9 求直线的斜率及直线在y轴上的截距。 【答案】斜率为，直线在y轴上的截距为2。 【解析】将一般式方程化为斜截式方程，由此读出斜率和纵截距。 课堂背诵：一般式定义 背诵1：直线的一般式方程是什么？其中两个一次项系数满足什么条件？ 【答案】直线的一般式方程为，其中A、B不同时为0。 【解析】该条件保证方程至少含有一个坐标变量，从而能够表示一条直线。 课堂背诵：一般式化斜截式 背诵2：一般式在什么条件下能化为斜截式？斜率和纵截距分别怎样表示？ 【答案】当时，可化为；斜率为，纵截距为。 【解析】只有纵坐标项系数非零时，才能除以该系数并把方程整理成斜截式。 师生互动：点斜式化一般式 任务一：把点斜式化为一般式，并说明每一步是否保持等价。 【答案】。 【解析】展开、移项并合并同类项得到一般式，整个过程只使用等式的等价变形。 教师归纳：方程互化先看目标形式和系数条件，再进行等价变形；遇到竖直直线时直接使用一般式更简洁。 师生互动：竖直直线 任务二：一般式中，若，方程表示怎样的直线？ 【答案】方程化为，表示垂直于x轴的直线。 【解析】由两个一次项系数不同时为零可知，因此可以除以横坐标项系数得到横坐标为常数的竖直直线。 课堂练习 1．直线的斜率是（　　）。 A．　B．　C．2　D．−2 【答案】A。 【解析】化为斜截式可得斜率为。 课堂练习 2．直线的斜率、在y轴上的截距和在x轴上的截距分别是多少？ 【答案】斜率为，在y轴上的截距为，在x轴上的截距为−4。 【解析】方程化为可读斜率和纵截距；令可得横截距。 课堂练习：方程互化 3．将斜截式化为一般式。 【答案】。 【解析】把等式右边各项移到左边并合并，使右边为零。 课堂练习：方程互化 4．把一般式化为斜截式，并写出斜率和纵截距。 【答案】斜截式为，斜率为，纵截距为−3。 【解析】纵坐标项系数不为零，先移项，再除以纵坐标项系数。 课堂练习：由两点求一般式 5．求经过点、的直线的一般式方程。 【答案】。 【解析】先求斜率，写点斜式后整理为一般式。 课堂练习：水平直线 6．直线在y轴上的截距为，且与x轴平行，求直线的一般式方程。 【答案】。 【解析】与横轴平行的直线为水平直线，纵坐标恒等于纵截距，再整理为一般式。 课堂小结 1．直线的一般式方程为，其中两个一次项系数不同时为零，它能统一表示平面内的直线。 2．当时，一般式可化为斜截式，斜率为，纵截距为。 3．当时，必有，方程表示竖直直线，不能套用含斜率的方程。 4．方程互化必须保持等价；已知两点时可先求斜率、写点斜式再整理，也可直接设一般式求系数比例，并约去非零公因子。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $