6.2.2 直线的斜截式方程（课件）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学》 基础模块（下册） 第六章 直线与圆的方程 6.2.2 直线的斜截式方程 学习目标 1．理解横截距、纵截距的含义以及截距与距离的区别，掌握直线的斜截式方程及参数意义。 2．能根据斜率与纵截距、两点或截距条件写出直线的斜截式方程，并检验点是否在直线上。 3．通过读图、条件转化、计算与纠错交流，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养，形成先辨认条件再选择方法的习惯。 从点斜式到斜截式 复习任务：已知一条直线的斜率为3，并且与y轴交于点。怎样利用点斜式写出它的方程？ 【答案】以为已知点，代入点斜式得到，整理得y=3x−2。 教师归纳：当已知点恰好在y轴上时，点斜式可以进一步化成结构更简洁的直线方程，由此进入斜截式方程的学习。 一、横截距与纵截距 一般地，把直线l与y轴交点的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距，与x轴交点的横坐标称为直线l在x轴上的截距，如图6-18所示。 读一读：截距不是距离，它是直线与y轴（x轴）交点的纵坐标（横坐标），它的值可正可负可为零。 截距与距离辨析 即时判断1：直线在y轴上的截距为−3，所以直线与y轴交点到原点的距离也是−3。 【答案】错误。 【解析】截距是交点的坐标，可以为负；距离不能为负。该交点为，它到原点的距离是3。 即时判断2：直线经过原点时，它在两条坐标轴上的截距都为0。 【答案】正确。 【解析】直线与两条坐标轴的交点都是原点，相应横坐标和纵坐标均为0。 二、直线的斜截式方程 若直线l的斜率为k，且与y轴的交点为，则直线的点斜式方程为 ，即。 方程是由直线的斜率k及直线在y轴上的截距确定的，因此称为直线的斜截式方程. 斜率与纵截距的识别 即时填空：若直线的斜截式方程为，则直线的斜率为____，在y轴上的截距为____。 【答案】2；3。 【解析】把方程与逐项对照，x的系数是斜率，常数项是纵截距。 教材例题 例5 设直线l的斜率是，在y轴上的截距是−2，写出直线l的斜截式方程. 【答案】y=x−2. 【解析】由直线的斜截式方程，得y=x+(−2)，即y=x−2. 零截距辨析 即时辨析：方程中没有写常数项，能否说直线没有纵截距？ 【答案】不能。 【解析】常数项为0，所以直线在y轴上的截距为0，并经过原点。 三、由两点或截距条件求斜截式方程 想一想：如何写出经过点P₁(x₁,y₁)和P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线的点斜式方程？ 【答案】先用求斜率，再任选一个已知点代入点斜式。 【解析】两点横坐标不相等时斜率存在，先求k，再把一点的坐标和k代入点斜式。 例6 由两点求斜截式 例6 已知直线l过点A(1,3)和点B(−1,7)，写出直线l的斜截式方程. 【答案】. 【解析】因为直线l过上述两点，由直线的斜率公式，得k=(7−3)−1−1)=4−2)=−2。因此点斜式方程为y−3=−2(x−1)，整理得. 例7 由截距条件求斜截式 例7已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为2和7，求直线l的斜截式方程。 【答案】。 【解析】两个截距给出直线上的点(2,0)和(0,7)。由斜率公式得k=(7−0)0−2)=−72，因此斜截式方程为。 由两点或横截距写方程 即时练习1：直线经过点和B(2,0)，写出斜截式方程。 【答案】。 【解析】先由两点求得k=(0−4)2−0)=−2，纵截距为4。 即时练习2：一条直线的斜率为1，在x轴上的截距为−3，写出其斜截式方程。 【答案】。 【解析】直线经过(−3,0)，代入点斜式并整理即可。 课堂背诵（一） 背诵1：横截距和纵截距分别是什么？截距与距离有什么区别？ 【答案】横截距是直线与x轴交点的横坐标，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标；截距是坐标，可正、可负、可为零，不是距离。 背诵2：写出直线的斜截式方程，并说明两个参数的意义。 【答案】；k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。 课堂背诵（二） 背诵3：已知两点或两个截距时，求斜截式方程的基本顺序是什么？ 【答案】先把条件转化为直线上的点，再求斜率，最后代入一点并整理成斜截式。 师生互动：参数识别与代入检验 任务一：直线经过y轴的负半轴，则下列说法正确的是（ ）：A．k>0；B．k<0；C．b>0；D．b<0。 【答案】D。 【解析】直线与y轴交点的纵坐标就是b；交点在负半轴上，所以b<0。 师生互动：参数识别与代入检验 任务二：判断点A(2,3)、B(4,2)是否在直线上。 【答案】点A在直线上，点B不在直线上。 【解析】分别代入坐标。点A使等式两边都等于3；点B代入后右边等于4，与纵坐标2不相等。 教师归纳：识别斜率和纵截距时直接比较系数；判断点是否在直线上时必须把横、纵坐标同时代入检验。 5. 求满足下列条件的直线的斜截式方程。 (1) 斜率为−2，在y轴上的截距为4； 【答案】。 【解析】将k=−2、b=4直接代入斜截式。 （2） 倾斜角为，在y轴上的截距为3； 【答案】y=x+3。 【解析】斜率k=tan=，纵截距为3。 第5题（3）（4） (3) 斜率为，在x轴上的截距为−2； 【答案】。 【解析】直线经过点(−2,0)，把该点和斜率代入点斜式，再整理。 （4） 倾斜角为，并且经过点A(3,2)。 【答案】y=x−1。 【解析】斜率k=tan=1，代入点A(3,2)并整理。 练习6 点斜式与斜截式 6. 已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为4，分别写出直线的点斜式方程和斜截式方程。 【答案】点斜式为y−4=−(x−0)；斜截式为y=−x+4。 【解析】由倾斜角得k=tan=−，纵轴交点为(0,4)。 练习7 含参数的截距条件 7. 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为m和−m，其中，求直线l的斜截式方程。 【答案】y=x−3或。 【解析】两轴交点为(m,0)和(0,−m)，斜率为1。由得m=3或m=−3，纵截距分别为−3或3。 课堂小结 1．直线与x轴交点的横坐标是横截距，与y轴交点的纵坐标是纵截距；截距是坐标，不是距离，可正、可负、可为零。 2．斜率为k、纵截距为b的直线，其斜截式方程是；该形式只适用于斜率存在的直线。 3．已知斜率和纵截距时可直接写斜截式，并注意负截距代入后的符号化简。 4．已知两点时先检查横坐标是否相等；斜率存在时先求k，再代入一点并整理成斜截式。 5．已知横、纵截距时，先把它们写成坐标轴交点、，再按两点条件求方程。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $