圆锥曲线章节测试卷-2026-2027学年高二上学期高教版中职数学拓展模块一上册

圆锥曲线章节测试卷 （高教版数学·拓展模块一上册 第三章　适用：职高高二上学期） （满分：100 分　　考试时间：90 分钟） 考生注意：本卷共五大题 24 小题，选择题每小题只有一个正确选项，解答题须写出必要的运算步骤或证明过程。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的离心率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2．渐近线方程为 ，且经过点 的双曲线的标准方程是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3．抛物线 的准线方程是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4．已知双曲线 （，）的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5．若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6．已知 F 是抛物线 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点，且 ，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（　　） A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 5 7．若椭圆 的一条弦被点 平分，则该弦所在直线的斜率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8．抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 5，则点 P 的横坐标为（　　） A. 2　　B. 3　　C. 5　　D. 8 9．已知双曲线 上一点 P 到左焦点的距离为 10，则点 P 到右焦点的距离为（　　） A. 4　　B. 16　　C. 4 或 16　　D. 6 10．到定点 与到定直线 距离相等的点的轨迹方程是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．椭圆 的焦距为＿＿＿＿＿＿。 12．与双曲线 有相同渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程为＿＿＿＿＿＿。 13．抛物线 上到焦点的距离等于 9 的点的坐标为＿＿＿＿＿＿。 14．与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线的标准方程为＿＿＿＿＿＿。 15．已知 、 是椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且 ，则 的面积为＿＿＿＿＿＿。 16．过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A、B 两点，则 ＿＿＿＿＿＿。 17．焦点在 x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 18．已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，一条渐近线为 ，且一个焦点为 ，则该双曲线的标准方程为＿＿＿＿＿＿。 三、计算题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分。解答应写出必要的运算步骤） 19．已知双曲线 。 （1）求该双曲线的实半轴长 a、虚半轴长 b 及焦点坐标；（4 分） （2）求该双曲线的渐近线方程和离心率 e。（4 分） 20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，且经过点 。 （1）求该抛物线的标准方程；（4 分） （2）求该抛物线的焦点坐标和准线方程。（4 分） 21．已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率 ，焦距为 6。 （1）求该椭圆的标准方程；（5 分） （2）求该椭圆的长轴长、短轴长和顶点坐标。（3 分） 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分。要求写出完整的证明过程） 22．已知椭圆 的两个焦点为 、，长轴的两个端点为 、。求证：、 到两焦点的距离之和都等于 10（即都等于长轴长 2a）。 23．已知抛物线 的焦点为 F(2, 0)，准线为 x=−2。设 是该抛物线上任意一点，求证：点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 x=−2 的距离。 五、综合题（本大题共 1 小题，共 10 分） 24．已知双曲线 （，）的离心率 ，且经过点 。 （1）求该双曲线的标准方程；（4 分） （2）求该双曲线的渐近线方程；（3 分） （3）求该双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值。（3 分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线章节测试卷 参考答案与评分标准 （高教版数学·拓展模块一上册 第三章　满分：100 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B B A B C C 简要解析： 1．长轴 2a 是短轴 2b 的 2 倍，即 ，，故 ，选 A。 2．渐近线 ，设双曲线为 （），代入点 ：，故 ，方程为 ，选 B。 3． 即 ，2p=8，p=4，开口向下，准线为 ，选 B。 4．渐近线 与直线 （即 ）垂直，故 ，。，，选 C。 5．焦点在 y 轴上的椭圆要求 ：由 得 ；由 得 ，故 ，选 B。 6． 中 ，焦点 ，准线 。由定义 ，，故 ，，中点横坐标为 3，即中点到 y 轴的距离为 3，选 B。 7．（点差法）设弦两端点为 、，代入椭圆方程相减得 ，故 （其中 为弦的中点），选 A。 8．抛物线 的准线为 。由定义，点 P 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 ，得横坐标 ，选 B。 9．a=3，2a=6，由定义 。若 P 在左支上，；若 P 在右支上（右支上 的最小值为 ，故可以取到），。所以为 4 或 16，选 C。 10．由抛物线定义，轨迹是以 为焦点、 为准线的抛物线，，p=4，方程为 ，选 C。 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．，，焦距 。 12．设所求双曲线为 （），代入点 ：，故 ，即 。所求标准方程为 （焦点在 y 轴上，不要漏写）。 13． 中 2p=12，准线 。由定义，到焦点的距离 ，得 ，，。所求点为 或 （只写一个得 1 分）。 14．椭圆中 ，c=2，焦点为 。双曲线与它有公共焦点，故 c=2；由 得 ，；。所求双曲线为 。 15．a=5，c=4。设 ，，则 ；由 得 。由 得 ，。面积 9。 16．焦点 ，倾斜角 的直线为 ，代入 得 ，即 。设 、，则 ，由抛物线定义 8。 17．焦点在 x 轴上，故 ，，。由 ，得 ，， 。 18．焦点 给出 c=10，即 ；渐近线 给出 ，即 。代入得 ，，，。标准方程为 。 三、计算题（每小题 8 分，共 24 分） 19．（1）由 得 ，，所以 a=2，b=。 ，c=3，焦点坐标为 (−3, 0)、(3, 0)。 （2）渐近线方程为 ，即 ；离心率 。 20．（1）顶点在原点、对称轴为 x 轴，设标准方程为 （p＞0）。 把点 代入得 ，即 8=4p，解得 p=2，所以抛物线的标准方程为 。 （2）2p=4，，焦点坐标为 (1, 0)，准线方程为 x=−1。 21．（1）焦距 2c=6，所以 c=3。由 得 a=5。 ，焦点在 x 轴上，所以椭圆的标准方程为 。 （2）长轴长 2a=10，短轴长 2b=8，顶点坐标为 (±5, 0)、(0, ±4)。 四、证明题（每小题 6 分，共 12 分） 22．证明：在椭圆 中，a=5，b=4，，c=3，故 、。 因为 、、、 都在 x 轴上，所以： ，，10； ，，10。 而长轴长 2a=2×5=10，所以 、 到两焦点的距离之和都等于 10，即都等于长轴长 2a。证毕。 23．证明：因为 在抛物线 上，所以 ，且 。 点 P 到焦点 F(2, 0) 的距离的平方： 。 因为 ，所以 ，故 |PF|=。 又点 到准线 x=−2 的距离为 。 所以 |PF|=d，即点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 x=−2 的距离。证毕。 五、综合题（共 10 分） 24．（1）由 得 c=2a，所以 。 又 ，故 。 双曲线经过点 ，代入 得 ， 即 ，解得 ，。 所以双曲线的标准方程为 。 （2）a=，b=，渐近线方程为 ，即 。 （3）由双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于 2a，即 。 评分标准 一、选择题与填空题：每小题答案正确即得满分，错选、多选、不选均不得分；第 13 题只写出一个点得 1 分；第 12 题未化为标准方程形式酌情扣 1 分。 二、计算题（每小题 8 分）： 第 19 题：（1）正确得出 a=2、b= 各 1 分， 得 1 分，写出两个焦点坐标得 1 分（只写一个扣 0.5 分）；（2）渐近线方程正确得 2 分，离心率 正确得 2 分。 第 20 题：（1）正确设出 （p＞0）得 1 分，代入点 M 得 p=2 得 2 分，写出 得 1 分；（2）焦点 (1, 0) 得 2 分，准线 x=−1 得 2 分。 第 21 题：（1）由 2c=6 得 c=3 得 1 分，由 e 求得 a=5 得 2 分， 得 1 分，写出标准方程得 1 分；（2）长轴长、短轴长各 1 分，顶点坐标完整得 1 分（少写一组扣 0.5 分）。 三、证明题（每小题 6 分）： 第 22 题：正确指出 a=5、c=3 得 1 分；分别计算 得 2 分、 得 2 分；得出“距离之和等于长轴长 2a”的结论并完整表述 1 分。 第 23 题：由点在抛物线上得 得 1 分；正确计算 得 3 分（每步关键变形 1 分）；由 得 |PF|= 并与到准线距离 比较得出结论 2 分。 四、综合题（10 分）： 第 24 题：（1）由 e=2 推出 得 2 分，代入点 解得 、 并写出标准方程得 2 分；（2）渐近线方程 得 3 分；（3）由双曲线定义得出距离之差的绝对值为 得 3 分（直接写定义结论即可给满分）。 学科网（北京）股份有限公司 $