28.2 中心对称 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

中心对称及其性质 知识要点 对点训练 知识点(1中心对称的概念 (1)把一个图形绕某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作 (简称中心)； (2)这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点. 1.如图,已知四边形ABCD 绕点 O 旋转180°与四边形A'B'C'D'重合,则四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'关于点O ,点 O 叫作 ，点A 和点 是对称点. 知识点❷ 中心对称的性质 (1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ，对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (2)中心对称的两个图形是 图形. 2.(人教9上P100 改编、北师8下 P94 改编)如图,△A'B'C'与△ABC关于点O 中心对称,则: (1)AO= , BO= , CO= ; (2)点A,O 与 三点在同一直线上； (3)AA',BB',CC'的中点都是点 ; (4)AB∥ ,BC∥ ,AC∥ ; (5)AB= ,AC= . 知识点( 中心对称的作图步骤 (1)作出已知图形各顶点关于中心的对称点； (2)把各对称点按照已知图形的连接顺序依次连接起来. 3.(2026宣威期末)如图,请画出△ABC关于原点中心对称的图形△A'B'C'. 4.【例1】(人教9上P100 改编)(2026 齐齐哈尔期末)如图,△ABC与△DEF 关于点O中心对称,点A,B,C 的对称点分别为点D,E,F.下列结论不一定正确的是( ) A. AD⊥BE B. AO=DO C. AB∥DE D.△ABC≌△DEF 小结：掌握中心对称的性质. 8.如图,若四边形ABCD 与四边形 FGCE 成中心对称，则它们的对称中心是点 ，点A 的对称点是点 ，点E 的对称点 是点 . BD∥ , 且BD= . 连接A，F的线段经过点 ,且被点C ,△ABD≌ . 5.【例2】(人教9上P101)如图,画出△ABC关于点 O 对称的△DEF. 9.(北师8下P95 改编)如图,已知四边形ABCD和点P,画四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点 P 成中心对称. 小结：中心对称作图的关键是对应点和对称中心三点共线，并且对应点到对称中心的距离相等. 6.【例3】(人教9上P101 改编)如图,△ABC 和△A'B'C'是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心. 10.(2026 石家庄期末)如图,△ABE 与△DCF成中心对称，则对称中心是( ) A. M点 B. P点 C. Q点 D. N点 小结：两组对应点所连的线段都经过对称中心，则这两条线段的交点即为对称中心. 7.【例4】如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点 均在格点上，请按 要求作图并填空： (1)作出△ABC 关于原点O成中心对称的 △A₁B₁C₁,则点 A₁ 的 坐 标为 ; (2)作出△A₁B₁C₁绕点 O 逆时针旋转90°的 ,则线段C₁C₂的长为 . ★11.(代数推理)(2026哈尔滨期末)如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,0),B(2,0),△AP₁B是等腰直角三角形，且 把△AP₁B 绕点 B 顺时针旋转 180°,得到△CP₂B;把△CP₂B绕点 C 顺时针旋转180°,得到△CP₃D;……,依此类推,则旋转2017次后得到的等腰直角三角形的直角顶点 P₂₀₁₈的坐标为 . 中心对称图形 知识点① 中心对称图形的概念 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的 . 1.(传统文化)(人教9 上 P102 改编)(2025 扬州)窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美.下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) 知识点❷ 中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一对对称点所连成的线段都被对称中心 . 2.(人教9上P101 改编)平行四边形是中心对称图形.如图，▱ABCD 以点 为旋转中心，按顺时针方向旋转 度后，与原来的图形能够互相重合，其中 OA= . 知识点❸ 中心对称与中心对称 名称 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是指两个图形的关系； (2)对称点在两个图形上； (3)对称中心在两个图形之间 (1)是指具有某种性质的一个图形； (2)对称点在一个图形上； (3)对称中心在图形上 联系 (1)都是通过把图形旋转 °重合来定义的； (2)若把中心对称图形的两部分分别看做两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则为中心对称图形 3.(1)下列说法正确的是( ) A.全等的两个图形成中心对称 B.成中心对称的两个图形可以看成一个中心对称图形 C.旋转后能重合的两个图形成中心对称 D.成中心对称的两个图形不一定全等 (2)如图,在矩形ABCD中,AC,BD交于点 O,则矩形ABCD是 图形,与△AOB 成中心对称的图形是 ，与△ABC 成中心对称的图形是 . 4.【例1】(跨学科融合)(2025 烟台)2025 年4月24 日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是( ) 小结：判断此类组合图形时，每个部分都要满足条件. 8.(传统文化)(2026北京模拟)下列传统图案中，是中心对称图形的是( ) 5.【例2】(人教9上P101改编)如图所示的图形是中心对称图形，点O是它的对称中心，写出一组关于点O 的对称点是 ,且OB= 9.(北师8 下 P99 改编)有下列图形：①平行四边形；②正方形；③等边三角形；④等腰梯形；⑤菱形；⑥圆；⑦正八边形.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (填序号). 小结：线段、平行四边形、正多边形(偶数边)和圆等都是中心对称图形. 6. 【例3】(北师8 下P100 改编)如图是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形. 10.如图是5个全等的小正方形组成的图案，请用两种不同的方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案成为中心对称图形. 小结：补全成中心对称图形依据三点：(1)围绕某点旋转；(2)旋转180°;(3)与自身完全重合. 7.【例4】下图都是中心对称图形，请找到它们的对称中心. 小结：连接两组对称点，所得的两条线段的交点即为对称中心. ★11.(思维能力)背景：过中心对称图形的对称中心的任一直线将其分成全等的两部分. (1)如图1,直线 m 经过▱ABCD 对角线的交点O,比大小:S四边形AEFB S四边形CFED; (2)如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点 O 的直线将整个图形分成面积相等的两部分； (3)如图3，八个大小相同的小正方形如图所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割). 关于原点对称的点的坐标 知识要点 对点训练 知识点 关于原点对称的点的坐标特征 (1)两个点关于原点对称时，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等； (2)两个点关于原点对称时，坐标符号相反，即P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y). 1.(人教9上P104改编)如图,A(3,2),B(-3,2),C(3,0). (1)在平面直角坐标系中，画出点A,B,C关于原点的对称点 A'，B',C'; (2)点A(3,2)关 于原点的对称点 为A' ,点B(-3,2)关于原点的对称点为B' ，点C(3，0)关于原点的对称点为C' ; (3)你发现点 P(x，y)关于原点的对称点为P' . 知识点❷ 在平面直角坐标系中画出已知图形关于原点对称的图形 关键： 利用P(x，y)关于原点 O 的对称点为IP'(-x,-y)的特征; 步骤： (1)写出原图形各顶点的坐标； (2)写出各顶点关于原点对称的点的坐标； (3)根据原点对称点的坐标描点、连线. 2.(人教9上P103、北师8下P106改编)如图,每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁,并写出A₁,B₁,C₁的坐标 知识点3 关于原点中心对称与关于坐标轴对称的点的坐标特征的区别 (1)P(x,y)关于原点O 对称的点为 P₀(-x,-y); (2)P(x,y)关于x轴对称的点为Pₓ(x,-y); (3)P(x,y)关于y轴对称的点为P,(-x,y). 3.点A(-1，-3)关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 4.【例1】(人教9上P104)(2026 长沙模拟)在平面直角坐标系中，点P(-5，3)关于原点的对称点 P'的坐标为( ) A.(5,-3) B.(-5,-3) C.(3,-5) D.(5,3) 小结：关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标都互为相反数. 8.(2026金昌期末)若点 P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b),则a+b的值是( ) A.1 B. - 1 C.-5 D.5 5.【例2】(2026商丘模拟改编)若点 P(m+1,8-2m)关于原点的对称点Q在第四象限，那么m的取值范围是 . 小结：第一象限和第三象限的对应点成中心对称，第二象限和第四象限的对应点成中心对称. 9.若点P(x,y)在第四象限内,且|x|=3,|y|=5，则点 P关于原点对称的点的坐标是( ) A.(-3,-5) B.(5,-3) C.(-5,3) D.(-3,5) 6.【例3】(2026 宿迁期末)如图，在平面直角坐标系中. (1)描出下列各点 A(-1,0),B(0,1),C(-3,2); (2)请画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁; (3)若点 P(m,n)是△ABC 内部一点,则△A₁B₁C₁内部的对应点 P₁ 的 坐 标 为 小结：熟练利用网格结构是解题关键 10.在平面直角坐标系xOy中，△ABC 的位置如图. (1)分别写出△ABC各个顶点的坐标： A( , ),B( , ),C( , ); (2)顶点A 关于x轴对称的点 A'的坐标为( ， )，顶点C 关于原点对称的点C'的坐标为( , ); (3)△ABC 的面积为 . 7.【例4】(人教9上P104改编)如图,AB∥CD∥x轴,且AB=CD=3,已知点A(-1,1),C(1,-1). (1)写出B,D的坐标; (2)你发现A，B，C，D的坐标之间有何特征? ★11.(运算能力)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△PQR 关于原点对称.若△ABC 内有一个点M(2a+7,-b+3)经过变换后,在△PQR 内的坐标变为N(-5-a,1-3b),求关于x的方程 的解. 小结：本题考查平行于x轴的直线的特点及关于原点成中心对称的点的坐标，运用数形结合是关键. 中心对称及其性质 知识点1 (1)180 重合 对称中心 知识点2 (1)对称中心 平分 (2)全等 1.对称 对称中心 A' 2.(1)A'O B'O C'O (2)A' (3)O (4)A'B' B'C' A'C'(5)A'B' A'C' 3.略. 4.【例1】A 5.【例2】略. 6.【例3】略. 7.【例4】(1)图略;(2,-1) (2)图略; 8. C F D EG EG C 平分 △FGE 9.略. 10. A 11.(4035,-1) 中心对称图形 知识点1 180 重合 对称中心 知识点2 平分 知识点3 (1)180 1. C 2. O 180 OC 3.(1)B (2)中心对称 △COD △CDA 4.【例1】D 5.【例2】A 和C(或B 和D) OD 6.【例3】略. 7.【例4】略. 8. D 9.②⑤⑥⑦ 10.略. 11.解:(1) = (2)如图2. (3)如图3. 关于原点对称的点的坐标 1.(1)略 (2)(-3,-2) (3,-2) (-3,0) (3)(-x,-y) 2.图略,A₁(2,-2),B₁(3,0),C₁(1,1). 3.(-1,3) (1,-3) (1,3) 4.【例1】A 5.【例2】m<-1 6.【例3】解：(1)根据各点坐标依次找准位置，如图，点A，B，C即为所求作. (2)如图,△A₁B₁C₁即为所求作. (3)(-m,-n) 7.【例4】解:(1)B(2,1),D(-2,-1). (2)A和C，B和D的横、纵坐标互为相反数. 8. A 9. D 10.(1)-4 3 3 0 - 2 5 (2)-4 - 3 2 - 5 (3)10 11.解:由题意得2a+7-5-a=0,-b+3+1-3b=0,解得a=-2,b=1, 则方程可化为 解得 学科网（北京）股份有限公司 $