13.3.1 三角形的内角 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

本章目录 三角形的概念 与三角形有关的线段 三角形 三角形的内角与外角 三角形的边 三角形的中线、角平分线、高 三角形的内角 直角三角形的性质与判定 三角形的外角 第十三章三角形 13.3.1 三角形的内角 (第一课时) 1. 能通过平行线性质证明三角形内角和定理，理解 证明的必要性；能规范书写证明过程。(重、难点) 2. 能运用内角和定理解决角度计算问题，在复杂图 形中建立角度关系，体会转化思想并求解。 (重点) 3. 通过剪拼、画图等操作，感知三角形内角的转化 过程，理解辅助线在角的转化中的作用，发展空间 观念。 学习目标 测量推测出内角和 为180°,后通过 过顶点作平行线的 方法完成了证明. 更严谨的通过一组 同位角和一组内错 角对三角形内角和 定理进行了证明 泰勒斯 通过拼图发 现了三角形 内角和定理. 三角形内角和定理证明发展历史 年 约公元前330-270 年 约公元前560-480 公元前6世纪 毕达哥拉斯学派 新课导入 欧几里得 在小学我们已经知道，三角形的内角和等于180°, 我们是如何验证这一结论的? 1测量 2剪拼方法 3折叠方法 (有误差) (只能对有限个三角形使用这些方法) 这样的方法获得的结论可靠吗? 这些验证不是数学证明， 需要通过推理的方法来证明. 新课导入 命题证明 三角形三个内角的和等于180°. 画图写出 已知：△ABC. 已知求证 求证：∠A+∠B+∠C=180° . A 证明过程 ? B C 新课导入 探究：通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形， 将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作 过程中，你能发现证明的思路吗? 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 B A B 知1一讲 C 问题1: 想一想，直线1与△ABC的边 BC 有什么关系? 利用平行线的性 质，将∠B和∠C 进行转移 知 1 讲 C A R C 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 过点A作直 线/,使得 1//BC 依据平角 定义，得 到 180 ° 证明 思路： B B 3 已知： △ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180° . 证明：过点 A 作直线1,使///BC. ∵ ///BC, ∴∠2 =∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理∠3=∠5. ∵ ∠1,∠4, ∠5 组成平角， R ∴ ∠1+∠4+∠5=180° (平角的定义). ∴∠1+∠2+∠3=180 °(等量代换). 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 知1一讲 文字语言： 三角形三个内角的和等于180°. 几何语言： 在△ABC中 ，∠A+∠B+∠C=180° . 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理 知1一 讲 问题2: 观察下图拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以 怎样证明三角形内角和定理? 证法2: 延长 BC 到 D, 过点 C 作 CE//BA, 则∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等), ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ ACB =180°, ∴LA+∠B+∠ACB=180° . 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 证法3: 过 D 作 DE//AC,DF//AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC (两直线平行，同位角相等), ∠A+∠AED = 180°, ∠EDF+∠AED=180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴LA= ∠EDF. ∵ ∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°, ∴∠C+∠A+∠B=180° . 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 思考 以上多种方法的证明思路是什么? 3 R C B B 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 ①依据平角定义， 得到180° 利用平行线的性 质，转移角 添加平行线 (辅助线) m 3 A 5 知1一讲 添加平行线 利用平行线的 (辅助线) 性质，转移角 思路②有其他添加辅助线的方案吗? 用下列方法证明三角形内角和定理. A C ①依据平角定义，得 到180° ①两直线平行，同旁 内角互补. A 3 4 C E 知1一讲 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗? 证明：过点B 任意作一条直线BD, 分别 过点A、C 作B 的平行线AE、CF, 则 CF//AE//BD. ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∠DBC+∠BCF =180°, 即∠1+∠ABC+∠ACB+∠4 =180° 证明：过点A作 线 段 1 , 使 / //BC. ∵ ///BC ∴∠2 = ∠C, ∠1+∠2+∠B=180° ∴∠1+∠C+∠B=180°∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180° 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 证法5:D 知1一讲 A 思路① 思路② 辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅 助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. ①依据平角定义， 得到180° ①两直线平行， 同旁内角互补知1一讲 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 A 1F 3 E 利用平行线的 性质，转移角 添加平行线 (辅助线) 【归纳总结】 核心 思路： 3 B 3 B B△ BL C 【练 一练】 1. 在△ABC 中，已知∠A=62°,∠B=58°, 则∠C的度数为( C ) A.30° B.50° C.60° D.70° 2.在△ABC中，三个内角的度数如图所示，则∠B 新知探究 探究点：三角形内角和定理的证明 的度数为( A.50° C.60° B ) B.55° D.80° 知1一练 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线 。 ∠BAC=20° . 在， ∠ADB=180° 一 ∠B- ∠BAD =180° -75° -20° =85°. 分析： ∠BAC=40° ∠DAB=20° ∠ADB=85° 例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD 是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 例题精讲 例2 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛 的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向.从B 岛看A,C 两岛的视角∠ABC是多少度?从C 岛看A, B 两岛的视角∠ACB呢? D 分析：求 ∠ACB, 需先求 ∠CAB 、 ∠CBA. E C 例题精讲 北 解：由题意得 ∠ CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由 AD//BE, 得 ∠BAD + ∠ABE =180°, 所以∠ABE =180°-∠BAD =180°-80°=100°, ∠ABC=∠ABE -∠EBC=100°-40°=60° . 在△ABC 中， ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30° 答 ：从 B 岛 视 ∠ABC 是( 你还能给出其他 两岛的视 解法吗? D北 角 B 例题精讲 C =50°+40°=90° E ZCAB = ∠BAD一 ∠3 =80° —50° =30° . ∠ABC =180°—∠ACB一 ∠CAB =180° 一90°—30° =60°. ·A. 答：从B岛看A,C 两岛的视角∠ABC是60°,从 C岛看A,B 两岛的视角∠ACB是90° . 解：过点C作CF//AD, 则CF//BE. 所以∠1=∠3,∠2=∠4, (两直线平行，内错角相等) 故∠ACB=∠1+∠2=∠3+∠4 (等量代换) 例题精讲 D 北 三角形的 内角和 证明方 法 转化 思想：将是三个角转化成一 个 平角或者同旁内角互补等 三角形的三个内角和等于180 ° 内角和 定理 课堂小结 1. 如图，从 A 处观测 C 处的仰角∠CAD =30°, 从 B 处观测 C 处的仰角∠CBD =45° . 从 C 处观测 A, B 两处的视角∠ACB 是多少度? 随堂演练 教材P13练习第1题 解：在△ABC 中， ∠ACD =180° - (∠BAD+∠CAD) =180° -(30°+90°)=60° 在△BCD 中， A 厂 ∠BCD = 180° -(∠CBD + ∠D) B =180° -(45°+90°)=45° ∠ACB = ∠ACD-∠BCD=60° -45°=15° 随堂演练 D +∠C+∠ADE +∠AED 的度数. B 教材P13练习第2题 2. 如图，在△ABC 中，∠A=40°, 求∠B 随堂演练 解：在△ADE 中， ∠ACD+∠AED=180° - ∠A =180° -40°=140° 在△ABC 中， ∠B+∠C=180° -∠A =180° -40°=140° 所以 ∠B+∠C+∠ADE + ∠AED =140° +140° =280° 随堂演练 B 3. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC 的三个内角. (1)若∠A=95°,∠B=40°, 则∠C= 45° ; (2)若∠A:∠B:∠C=4:5:9, 则∠C= 90°; (3)若∠A=2∠B=6∠C, 则∠B= 54° (1)∠C=180° -∠A -∠B (2)设∠A=4x , 则∠B=5x°,∠C=9x° 4x+5x+9x=180 解得 x =10 个 (3)设∠C=x°, 则∠A=6x°,∠B=3x° ∴ 6x +3x +x=180解得 x=18 — 随堂演练 《课堂作业》教材P13练习第1,2题 和P16习题13.3第1,3题，写在作业本上。 布置作业 $