专题12 排列、组合、二项式定理（B卷·能力提升）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题12 排列、组合、二项式定理 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．从4名男生和3名女生中选出4人参加座谈会，若这4人中必须至少有2名男生，则不同的选法种数为（    ） A．35 B．4 C．18 D．31 【答案】D 【分析】利用组合数公式及计数原理求解. 【详解】“至少有名男生”分为“男女”、“男女”、“男”这三种情况， ∴这4人中必须至少有2名男生的选法种数为种. 故选：D. 2．平面上10条直线两两相交，交点的个数最多有（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【答案】B 【分析】利用组合数公式求解. 【详解】当任意两条直线都有交点且交点不重合时，交点数最多，共有（个）， 故选：B. 3．一幅地图中有3个两两相邻的区域、、，用红、黄、蓝、绿4种颜色给这3个区域着色，要求相邻的区域颜色不同，着色方案一共有（    ） A．4种 B．8种 C．12种 D．24种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为3个区域两两相邻，要求相邻区域颜色不同，因此三个区域的颜色都不相同. 给区域着色，共有4种颜色可选，即4种方案； 给区域着色，与相邻，颜色不能和相同，因此剩下种选择； 给区域着色，与、都相邻，颜色不能和、相同，、已经用了2种不同颜色， 因此剩下种选择. 根据分步乘法计数原理，总方案数为种. 故选：D. 4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ） A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 【答案】B 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】因为“六合数”是数字之和为6的四位数， 所以首位是时，后三位数字之和应为4， 当一个位置为4时有004，040，400，共3个； 当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个； 当三个位置和为4时112，121，211，共3个， 所以一共有个． 故选：B. 5．将10支球队分成3组，每组的球队数分别为4，3，3，不同分法的种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据10支球队分成3组分别是4，3，3可以列出组合数，由于两组都是3所以要除以2，求出答案即可. 【详解】将10支球队分成3组，每组的球队数分别为4、3、3. 首先选择4支球队的组合数为， 选择3支球队的组为， 由于有两组3所以结果需要除以2， 可得种数为. 故选：A. 6．某小队先从人中选人，再从这人中指定人汇报，总方法数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整个过程分为两个步骤，再根据分步乘法计数原理计算总方法数即可. 【详解】先从人中选人，方法数为种， 再指定汇报人种，共种. 故选：D. 7．展开式中的常数项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项是， 故选：A. 8．的展开式中，紧邻的最高次项后的一项的系数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项为，（其中）， 当时，可得的最高次项为， 紧邻的最高次项后的一项为，其系数为. 故选：C. 9．设备调试需从名人员中安排主调试员和复核员各人，不同安排法共有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列数公式求解. 【详解】设备调试需从名人员中安排主调试员和复核员各人，两个职责不同，与顺序有关， 所以不同安排法共有种. 故选：C. 10．从份不同样本中抽取份做对照，不考虑抽取顺序，选法数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用组合数公式求解. 【详解】从份不同样本中抽取份做对照，不考虑抽取顺序， 所以选法数为. 故选：B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．4个不同的球放入3个抽屉，每个抽屉至少有一个球，则有_______种不同的放法.（用数字作答） 【答案】 【分析】首先由题意可知3个抽屉中有一个抽屉有2个球，其余为1个球，再运用组合数和排列数计算即可. 【详解】已知4个球放入3个抽屉，每个抽屉至少有一个球， 3个抽屉中有一个抽屉有2个球，其余为1个球 先将2个球看做一个整体，再分别将3组放入3个抽屉， 即共有种不同的放法， 故答案为：. 12．第一小组有两女四男共6名同学，任意选两位同学办本月黑板报，则至少有1名女生被选中的选法有__________种（用数字作答）. 【答案】9 【分析】使用间接法，用总的选法数减去名都是男生的选法数即可. 【详解】从名同学中任选名同学，总的选法数为种， 已知小组中有名男生，任选名男生的选法数为种， 所以至少有名女生被选中的选法数为种. 故答案为：9. 13．利用系统抽样的方法，从全班学号为的学生中，选名参加公益活动，已知学号为5的学生被选中，则选中的名学生的学号之和为__________. 【答案】 【分析】首先确定被选中的学号成等差数列，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知学号为5的学生被选中， 所以被选中的学号构成一个首项为，公差为的等差数列， 则选中的名学生的学号之和为, 故答案为：. 14．若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是______. 【答案】 【分析】由已知条件求出的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】由已知可得，解得， 的展开式通项为， 令，可得， 因此，展开式中的常数项为， 故答案为：. 15．的展开式中的系数为___________用数字作答. 【答案】 【分析】首先写出二项展开式的通项公式，再分别令求系数即可， 【详解】， 且的通项为， 令，则的系数为； 令，则的系数为， 所以的系数为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．求二项式的展开式中第4项及该项的二项式系数. 【答案】第项为，该项的二项式系数为 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项式的展开式中第4项为： ， 该项的二项式系数为. 17．（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？ （2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数；（2）156个 【分析】（1）分数字重复和不重复讨论，根据排列组合计算即可. （2）偶数先确定个位数字为0或2或4，再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果. 【详解】（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：（个） ②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有：（个） 综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数； 若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数. （2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4， ①个位是0的，即需要从1，2，3，4，5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位， 有个； ②个位是2的，千位需要从1，3，4，5这4个数中选出1个有4种选法， 从剩下的4个数字中选出2个分别放在百位、十位，有个， 所以个位是2的偶数有 个； ③个位是4的，也有48个； 综上所述，用0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数有个. 18．用组成没有重复数字的三位数. (1)共有多少个？ (2)其中百位为偶数的有多少个？ 【答案】(1)个 (2)个 【分析】（1）根据题目要求，先确定百位的选法，再分步确定其他数位上数字的选法即可. （2）利用排列数和分步乘法计数原理计算结果即可. 【详解】（1）百位不能为，则可以选择，有种选法； 十位可以选除百位外剩下的个数字，有种选法； 个位可以选除百位和十位外剩下的个数字，有种选法， 所以共有个三位数. （2）百位为偶数且不能为，可选，有种选法； 十位、个位从剩余个数字中排个，有种， 所以共有个三位数. 19．已知的展开式中，第9项为常数项. (1)求n的值； (2)求展开式中的系数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得二项展开式的通项公式，结合题意得到，从而得解； （2）利用（1）中结论，令求得，再代入通项公式即可得解. 【详解】（1）已知二项展开式的通项为. 第9项为常数项，当时，有，解得. （2）令，即，解得， 的系数为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题12 排列、组合、二项式定理 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．从4名男生和3名女生中选出4人参加座谈会，若这4人中必须至少有2名男生，则不同的选法种数为（    ） A．35 B．4 C．18 D．31 2．平面上10条直线两两相交，交点的个数最多有（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 3．一幅地图中有3个两两相邻的区域、、，用红、黄、蓝、绿4种颜色给这3个区域着色，要求相邻的区域颜色不同，着色方案一共有（    ） A．4种 B．8种 C．12种 D．24种 4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ） A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 5．将10支球队分成3组，每组的球队数分别为4，3，3，不同分法的种数为（ ） A． B． C． D． 6．某小队先从人中选人，再从这人中指定人汇报，总方法数为（　　） A． B． C． D． 7．展开式中的常数项是（　　） A． B． C． D． 8．的展开式中，紧邻的最高次项后的一项的系数是（　　） A． B． C． D． 9．设备调试需从名人员中安排主调试员和复核员各人，不同安排法共有（　　）种 A． B． C． D． 10．从份不同样本中抽取份做对照，不考虑抽取顺序，选法数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．4个不同的球放入3个抽屉，每个抽屉至少有一个球，则有_______种不同的放法.（用数字作答） 12．第一小组有两女四男共6名同学，任意选两位同学办本月黑板报，则至少有1名女生被选中的选法有__________种（用数字作答）. 13．利用系统抽样的方法，从全班学号为的学生中，选名参加公益活动，已知学号为5的学生被选中，则选中的名学生的学号之和为__________. 14．若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是______. 15．的展开式中的系数为___________用数字作答. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．求二项式的展开式中第4项及该项的二项式系数. 17．（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？ （2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 18．用组成没有重复数字的三位数. (1)共有多少个？ (2)其中百位为偶数的有多少个？ 19．已知的展开式中，第9项为常数项. (1)求n的值； (2)求展开式中的系数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $