专题11 立体几何（B卷·能力提升）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题11 立体几何 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知下列三个命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 ②有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 ③所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据棱柱、直棱柱、正四棱柱的定义，逐一判断三个命题的真假即可. 【详解】仅“有两个面平行，其余各面是平行四边形”不足以保证是棱柱. 例如，可以将两个底面全等但旋转一定角度的棱柱“错位叠加”，此时所有侧面仍是平行四边形，但几何体不是棱柱，故命题①不成立； 有两个侧面与底面垂直，不能推出所有侧棱都垂直于底面. 例如，在一个斜棱柱中，若其底面是平行四边形（非矩形），前后两个相对的侧面与底面垂直，但此时侧棱不垂直于底面，它不是直棱柱.故命题②不成立； 正四棱柱要求：底面是正方形.即使所有侧面都是全等的矩形，底面仍可能是非正方形的菱形. 例如，一个直四棱柱，其底面是边长为a、内角不为的菱形，侧棱垂直底面，此时四个侧面都是边长为a和侧棱长的全等矩形，但底面不是正方形，此时该四棱柱不是正四棱柱，因此命题③不成立. 综上，三个命题均不正确. 故选：A 2．已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开半圆的弧长，得到母线与底面半径的关系，再结合勾股定理列式求解. 【详解】设圆锥母线长为l，底面半径为r， 侧面展开图是半圆，半圆的弧长等于圆锥底面周长， ， 圆锥的高为， 由勾股定理得：， 故选：A. 3．已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的垂直与平行的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误即可. 【详解】选项A：若，，则直线与平面的位置关系可能为或，故A错误. 选项B：若，，则直线与平面的位置关系可能为、相交或，故B错误. 选项C：若，，则直线的位置为或，故C错误. 选项D：由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，即若，，则，故D正确. 故选：D. 4．在长方体中，若，，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．与所成的角为60° D．平面 【答案】C 【分析】根据线线垂直、线面垂直、线线角、线面平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】连接， 依题意，，分别是，的中点， 所以， 在三角形中，是中位线，所以， 由于平面，平面， 所以平面，D选项正确. 根据长方体的性质可知面，面， 所以，故，A选项正确. 由于四边形是正方形，所以， 由于平面， 所以平面，所以平面，B选项正确. 根据长方体的性质可知，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以是与所成的角（或其补角）， 在三角形中，， 所以，C选项错误. 故选：C . 5．在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面，可得是平面与平面所成的二面角的平面角，即可求解. 【详解】如图所示：在正方体中    因为面， 面， 所以， 又因为，面， ， 平面平面， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角. 因为在等腰直角三角形中， 所以平面与平面所成的二面角的平面角的度数是. 故选：B. 6．如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面， 则、在平面上，故A不符题意； 同上，，即共面， 易知平面，而平面，故B符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故C不符合题意； 同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B 7．如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用异面直线所成角的定义，通过平移直线，三角形中根据余弦定理求异面直线所成角的余弦值. 【详解】M为中点，取中点为N，连接，如图所示，    则，即为异面直线与所成角， ，都为等边三角形，，，则， 在中，，，， 故. 故选：D. 8．设，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果，那么 ；            ②如果 ，， ，那么 ；        ③如果 ， ， 那么 ；      ④如果，， ， 那么 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】① 若 , 则 可以平行, 可以相交, 也可以异面， 故 是错误的; ②如果 可以平行也可以异面，故 是错误的; ③如果 , 那么可以和平行、相交, 可以在面内, 还可以垂直, 故 是错误的; ④如果，，则 ，若， 那么,故④是正确的 故选：D. 9．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据正方体的结构特征，结合直线与平面、直线与直线的位置关系，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】A选项，当点与点重合时，与异面，所以A错误. B选项，在正方体中， 是正方体的体对角线，， ，且与都在平面内，平面， 平面，.所以B正确. C选项，当点与点重合时，， 又平面，平面，与平面不平行， 与平面不平行，即此时与平面不平行，所以C错误. D选项，当点与点重合时，与夹角为， 则与不垂直，又平面， 不垂直平面，所以D错误. 故选：B. 10．如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】由直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理即可求解. 【详解】对于A，平面，平面，，故A正确； 对于B，平面，平面，，故B正确； 对于C，平面，平面，，又， ， 又，平面，平面，平面，故C正确； 对于D，，，，则直线与直线不垂直，平面错误，故D错误. 故选：D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．若斜线与平面所成角为，为斜足，，则到平面的距离为______. 【答案】6 【分析】根据直线与平面所成角的定义，运用三角函数求解点到平面的距离. 【详解】设点在平面上的射影为，连接， 则的长度是点到平面的距离，是斜线与平面所成的角，即， 在中，，， 可得：， 故答案为：6.    12．设一个球的大圆面积为，则该球的体积为________． 【答案】 【分析】先根据球的大圆面积公式求出球的半径，再代入球的体积公式计算结果即可 【详解】设球的半径为， 已知球的大圆面积为，则， 解得，所以该球的体积为， 故答案为：. 13．在正四面体中，D是OA的中点，则异面直线BD与OC所成角的余弦值是______． 【答案】 【分析】取AC的中点E，连接DE，BE．由异面直线所成角的概念可得直线BD与OC所成角为（或其补角），在中用余弦定理可求解. 【详解】    如图，取AC的中点E，连接DE，BE． 因为D是OA的中点，所以， 所以直线BD与OC所成角就是直线BD与所成角，即（或其补角）为所求． 设正四面体的棱长为，则，， 在中，． 故答案为： 14．如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为： 15．设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若∥∥，则∥； ③若，则； 其中所有正确命题的序号是_________. 【答案】①③ 【分析】对于①：根据线面垂直的性质定理分析判断；对于②：根据面面平行的判定定理分析判断；对于③：根据面面垂直的性质定理分析判断. 对于①：若，由线面垂直的性质定理可得，故①正确； 对于②：根据面面平行的判定定理，由于不能确定是否相交，故不能推出∥， 如图所示，此时相交，故②错误； 对于③：若，由面面垂直的性质定理得，故③正确； 故答案为：①③. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．如图所示，在四棱锥中，已知，，，，且平面，．    (1)求线段的长； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)若，求二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题意利用余弦定理即可得解. （）根据题意找到直线与平面所成角即可得解. （）根据题意利用直线与平面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）由题意可知，在中，，，， 则由余弦定理可知，， 所以. （2）因为平面，所以是在平面的射影， 则是直线与平面所成的角， 则. （3）因为平面，平面，则， 又因为，，平面， 所以平面， 平面，则， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则二面角的大小为. 17．如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证：面； (2)求证：面面； (3)求点A到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先构造三角形中位线，证线线平行，推出线面平行； （2）先证BD垂直侧面，再由面面垂直判定定理证明即可； （3）利用等体积法，转换顶点，列式即可求点到平面的距离. 【详解】（1） 连接交于点O，则O为中点， 又因为D是AC中点，在中， OD为中位线， 所以, 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，平面； （2）因为 是正三角形，D为AC中点， 所以， 在正三棱柱中，侧棱底面，底面，, 所以， ， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （3）已知正三棱柱所有棱长均为2， 在正三角形中，， ， 平面， ， ， 设点A到面的距离为h， . 18．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义，结合勾股定理，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】连接. 因为平面，平面，所以. 所以与平面所成的角，就是与其在平面上的投影所夹的角，即. 在正方形中，边长，所以对角线. 在直角三角形中，，，所以， 所以，即所以与平面所成的角为. 19．如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. （1）由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. （2）取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题11 立体几何 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知下列三个命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 ②有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 ③所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据棱柱、直棱柱、正四棱柱的定义，逐一判断三个命题的真假即可. 【详解】仅“有两个面平行，其余各面是平行四边形”不足以保证是棱柱. 例如，可以将两个底面全等但旋转一定角度的棱柱“错位叠加”，此时所有侧面仍是平行四边形，但几何体不是棱柱，故命题①不成立； 有两个侧面与底面垂直，不能推出所有侧棱都垂直于底面. 例如，在一个斜棱柱中，若其底面是平行四边形（非矩形），前后两个相对的侧面与底面垂直，但此时侧棱不垂直于底面，它不是直棱柱.故命题②不成立； 正四棱柱要求：底面是正方形.即使所有侧面都是全等的矩形，底面仍可能是非正方形的菱形. 例如，一个直四棱柱，其底面是边长为a、内角不为的菱形，侧棱垂直底面，此时四个侧面都是边长为a和侧棱长的全等矩形，但底面不是正方形，此时该四棱柱不是正四棱柱，因此命题③不成立. 综上，三个命题均不正确. 故选：A 2．已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开半圆的弧长，得到母线与底面半径的关系，再结合勾股定理列式求解. 【详解】设圆锥母线长为l，底面半径为r， 侧面展开图是半圆，半圆的弧长等于圆锥底面周长， ， 圆锥的高为， 由勾股定理得：， 故选：A. 3．已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的垂直与平行的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误即可. 【详解】选项A：若，，则直线与平面的位置关系可能为或，故A错误. 选项B：若，，则直线与平面的位置关系可能为、相交或，故B错误. 选项C：若，，则直线的位置为或，故C错误. 选项D：由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，即若，，则，故D正确. 故选：D. 4．在长方体中，若，，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．与所成的角为60° D．平面 【答案】C 【分析】根据线线垂直、线面垂直、线线角、线面平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】连接， 依题意，，分别是，的中点， 所以， 在三角形中，是中位线，所以， 由于平面，平面， 所以平面，D选项正确. 根据长方体的性质可知面，面， 所以，故，A选项正确. 由于四边形是正方形，所以， 由于平面， 所以平面，所以平面，B选项正确. 根据长方体的性质可知，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以是与所成的角（或其补角）， 在三角形中，， 所以，C选项错误. 故选：C . 5．在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面，可得是平面与平面所成的二面角的平面角，即可求解. 【详解】如图所示：在正方体中    因为面， 面， 所以， 又因为，面， ， 平面平面， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角. 因为在等腰直角三角形中， 所以平面与平面所成的二面角的平面角的度数是. 故选：B. 6．如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面， 则、在平面上，故A不符题意； 同上，，即共面， 易知平面，而平面，故B符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故C不符合题意； 同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B 7．如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用异面直线所成角的定义，通过平移直线，三角形中根据余弦定理求异面直线所成角的余弦值. 【详解】M为中点，取中点为N，连接，如图所示，    则，即为异面直线与所成角， ，都为等边三角形，，，则， 在中，，，， 故. 故选：D. 8．设，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果，那么 ；            ②如果 ，， ，那么 ；        ③如果 ， ， 那么 ；      ④如果，， ， 那么 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】① 若 , 则 可以平行, 可以相交, 也可以异面， 故 是错误的; ②如果 可以平行也可以异面，故 是错误的; ③如果 , 那么可以和平行、相交, 可以在面内, 还可以垂直, 故 是错误的; ④如果，，则 ，若， 那么,故④是正确的 故选：D. 9．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据正方体的结构特征，结合直线与平面、直线与直线的位置关系，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】A选项，当点与点重合时，与异面，所以A错误. B选项，在正方体中， 是正方体的体对角线，， ，且与都在平面内，平面， 平面，.所以B正确. C选项，当点与点重合时，， 又平面，平面，与平面不平行， 与平面不平行，即此时与平面不平行，所以C错误. D选项，当点与点重合时，与夹角为， 则与不垂直，又平面， 不垂直平面，所以D错误. 故选：B. 10．如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】由直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理即可求解. 【详解】对于A，平面，平面，，故A正确； 对于B，平面，平面，，故B正确； 对于C，平面，平面，，又， ， 又，平面，平面，平面，故C正确； 对于D，，，，则直线与直线不垂直，平面错误，故D错误. 故选：D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．若斜线与平面所成角为，为斜足，，则到平面的距离为______. 【答案】6 【分析】根据直线与平面所成角的定义，运用三角函数求解点到平面的距离. 【详解】设点在平面上的射影为，连接， 则的长度是点到平面的距离，是斜线与平面所成的角，即， 在中，，， 可得：， 故答案为：6.    12．设一个球的大圆面积为，则该球的体积为________． 【答案】 【分析】先根据球的大圆面积公式求出球的半径，再代入球的体积公式计算结果即可 【详解】设球的半径为， 已知球的大圆面积为，则， 解得，所以该球的体积为， 故答案为：. 13．在正四面体中，D是OA的中点，则异面直线BD与OC所成角的余弦值是______． 【答案】 【分析】取AC的中点E，连接DE，BE．由异面直线所成角的概念可得直线BD与OC所成角为（或其补角），在中用余弦定理可求解. 【详解】    如图，取AC的中点E，连接DE，BE． 因为D是OA的中点，所以， 所以直线BD与OC所成角就是直线BD与所成角，即（或其补角）为所求． 设正四面体的棱长为，则，， 在中，． 故答案为： 14．如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为： 15．设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若∥∥，则∥； ③若，则； 其中所有正确命题的序号是_________. 【答案】①③ 【分析】对于①：根据线面垂直的性质定理分析判断；对于②：根据面面平行的判定定理分析判断；对于③：根据面面垂直的性质定理分析判断. 对于①：若，由线面垂直的性质定理可得，故①正确； 对于②：根据面面平行的判定定理，由于不能确定是否相交，故不能推出∥， 如图所示，此时相交，故②错误； 对于③：若，由面面垂直的性质定理得，故③正确； 故答案为：①③. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．如图所示，在四棱锥中，已知，，，，且平面，．    (1)求线段的长； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)若，求二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题意利用余弦定理即可得解. （）根据题意找到直线与平面所成角即可得解. （）根据题意利用直线与平面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）由题意可知，在中，，，， 则由余弦定理可知，， 所以. （2）因为平面，所以是在平面的射影， 则是直线与平面所成的角， 则. （3）因为平面，平面，则， 又因为，，平面， 所以平面， 平面，则， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则二面角的大小为. 17．如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证：面； (2)求证：面面； (3)求点A到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先构造三角形中位线，证线线平行，推出线面平行； （2）先证BD垂直侧面，再由面面垂直判定定理证明即可； （3）利用等体积法，转换顶点，列式即可求点到平面的距离. 【详解】（1） 连接交于点O，则O为中点， 又因为D是AC中点，在中， OD为中位线， 所以, 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，平面； （2）因为 是正三角形，D为AC中点， 所以， 在正三棱柱中，侧棱底面，底面，, 所以， ， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （3）已知正三棱柱所有棱长均为2， 在正三角形中，， ， 平面， ， ， 设点A到面的距离为h， . 18．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义，结合勾股定理，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】连接. 因为平面，平面，所以. 所以与平面所成的角，就是与其在平面上的投影所夹的角，即. 在正方形中，边长，所以对角线. 在直角三角形中，，，所以， 所以，即所以与平面所成的角为. 19．如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. （1）由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. （2）取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $