专题13 概率与统计（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题13 概率与统计 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 概率与统计 求概率（古典概型） 2026-16 填空 5 事件间的运算 2026-07 单选 5 抽样方法（分层抽样） 2025-10 单选 5 求概率（古典概型） 2025-15 填空 5 求概率（古典概型） 202410 单选 5 求概率（古典概型） 2023-15 填空 5 求概率（古典概型） 2022-11 单选 5 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题。 （2）内容及分值：概率（古典概型）在近5年高考中每年均有考查，近2年加强了对统计部分知识的考查；分值一般在5-10分。 【考点1：概率】 1.（2026·内蒙古·真题T16）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则两次的点数之和除以4的余数为3的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，总的基本事件个数为， 两次的点数之和除以4的余数为3有， 共个基本事件， 所以其概率为， 故答案为：. 2.（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】用捆绑法和插空法求出满足条件的事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】将二班的3名同学看作一个整体，共有种情况， 将这个整体与除一班外其他班级的5名同学进行全排列共有种情况， 将上述排列形成的7个空，安排一班的2名同学，共有种情况， 故满足条件的基本事件数为， 而基本事件总数为， 故二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为. 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T10）学校要从6名男生和4名女生中选3人参加无人机技能大赛，恰有1名女生入选的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率的计算，及组合数的应用，即可求解. 【详解】6名男生和4名女生，共计10人， 选出的3人中，恰有1名女生入选的概率是. 故选：A. 4.（2023·内蒙古·真题T15）其学校五年级共有n个班，甲、乙两个人从外地转到该校五年级，学校让他们各自随机选择班级，若他们刚好选在同一个班级的概率为，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】两人随机选择班级就读的选法共有（种）， 两人恰好选择同一班级的选法有种， 则两人恰好选择同一班级的概率是． 所以. 故答案为：6 5.（2022·内蒙古·真题T11）从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意试验是从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,满足条件的事件可以列举出有个,根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含事件是从中任取两个不同的数字, 构成一个两位数,共有种结果,满足条件的事件可以列举出有共个, 根据古典概型概率公式得到 故选:A 1．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：实验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 3．古典概型的概率公式 P(A)＝ 1．甲、乙、丙三个小朋友玩剪子、包袱、锤的游戏（剪子胜包袱、包袱胜锤、锤胜剪子），若他们三人随机伸手一次，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 2．个男生和个女生随机排成一排照相，个女生中有且只有个女生相邻的概率为（    ）． A． B． C． D． 3．某科技博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任意选取3人，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是（    ）. A． B． C． D． 4．学校组织教学能力大赛培训会，会议室的第一排有10个座位，现有3名专家被安排在第一排就座，可在10个座位中自主选择就座，则至少有2名专家坐在相邻位置的概率是（    ）. A． B． C． D． 5．某班级社会实践活动拍照留影时，摄影师安排了7位女同学和3位男同学站在第一排照相，则恰好三位男同学相邻的概率是（    ）． A． B． C． D． 6．在一场文艺晚会的节目单上有且只有5个歌唱节目，现把3个舞蹈节目插到节目单中，有舞蹈节目相邻的概率是（    ）． A． B． C． D． 7．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为9的概率是（    ） A． B． C． D． 8．从装有3个红球和2个白球的袋中任取2个球，则这两个球中既有红球又有白球的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．掷两颗质地均匀的骰子，则点数之和为5的概率是__________． 10．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，恰有1件次品的概率是 _____________. 11．用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是________． 12．从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，则选出的2人恰好是1男1女的概率为_________. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．D 【分析】先计算三人出手的总等可能结果数，再计算甲获胜包含的结果数，然后利用古典概型的概率公式求得概率. 【详解】甲、乙、丙每人有剪子、包袱、锤3种选择，因此总基本事件数为种， 甲获胜需甲的手势同时击败乙、丙的手势： 甲出剪子时，乙、丙需同时出包袱，共1种情况； 甲出包袱时，乙、丙需同时出锤，共1种情况； 甲出锤时，乙、丙需同时出剪子，共1种情况； 因此甲获胜包含的基本事件共3种， 所以甲获胜的概率为. 故选：D. 2．B 【分析】根据全排列求出总排法，再利用捆绑法及插空法求出只有个女生相邻的排法，代入古典概型公式即可得解. 【详解】个男生和个女生随机排成一排照相，排法有种， 只有个女生相邻时， 应先排男生， 再从女生中选两个捆绑， 再把捆绑在一起的女生和剩下的女生进行插空， 则排法总数为， 所以概率为， 故选：. 3．C 【分析】首先可知从6名志愿者中任选出3名共有种选法，而甲乙同时被选共有种选法，再根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】从6名志愿者中任选3名，基本事件总数为， 若甲、乙两名志愿者恰好同时被选中，则需从剩下的4人中选1人， 包含的基本事件个数为， 所以其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：. 故选：C. 4．A 【分析】先求出10个座位坐3名与会人员的总的基本事件的个数，再求得这3名与会人员互不相邻的基本事件的个数，从而利用间接法与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】因为共有10个座位，有3名与会人员， 则从10个座位选3个坐共有个基本事件， 当这3名与会人员互不相邻时，相当于将3个元素插到8个空中， 共有个基本事件， 所以至少有2名与会人员坐在相邻位置的基本事件有个， 则所求概率为. 故选：A. 5．A 【分析】利用捆绑法求解三位男同学相邻的排列数，再与总排列数作比得到概率. 【详解】10名同学任意排列，总排列数为， 先将3位男同学视为1个整体，内部全排列的排列数为， 将该整体与7位女同学共8个元素全排列，排列数为， 因此三位男同学相邻的排列数为， 则恰好三位男同学相邻的概率是. 故选：A. 6．C 【分析】根据题意求出总的基本事件数，利用对立事件的性质求出舞蹈节目相邻的排法数，代入古典概型公式即可得解. 【详解】由题意可知，个节目位置，任选个安排舞蹈节目，共有种， 个舞蹈节目互不相邻的排法有种， 所以舞蹈节目相邻的排法有种， 所以有舞蹈节目相邻的概率是， 故选：. 7．A 【分析】根据题意结合古典概型公式即可得解. 【详解】抛掷两颗质地均匀的骰子，总的基本事件数为， 向上一面的点数之和为9的情况有，共种， 所以概率为， 故选：. 8．C 【分析】根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】由题意，这两个球中既有红球又有白球的概率是. 故选：C. 9． 【分析】根据题意利用古典概型公式即可得解. 【详解】掷两颗质地均匀的骰子，共有种情况， 其中满足点数之和为5的情况有：，共种情况， 所以概率为， 故答案为：. 10． / 【分析】根据古典概率公式求解即可. 【详解】有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件， 恰有1件次品的概率是. 故答案为：. 11． 【分析】利用列举法和古典概率模型公式即可求解. 【详解】用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，共有6种情况： ， 其中组成的三位数为偶数的只有两种， 故组成的三位数为偶数的概率是. 故答案为：. 12． 【分析】根据组合以及古典概型概率公式计算即可. 【详解】从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛， 则选出的2人恰好是1男1女的概率为. 故答案为：. 【考点2：统计初步】 1.（2026·内蒙古·真题T07）在2026年伦敦世乒赛男团比赛中，中国队队员甲要参加两盘比赛．设事件 为“甲两盘都胜”， 为“甲两盘都负”， 为“甲恰有一盘胜”， 为“甲至少有一盘胜”，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确各事件对应的比赛结果，再逐一判断事件的包含、交、并运算是否成立． 【详解】甲参加两盘比赛的所有结果对应3个互斥事件：A（两盘都胜）、C（恰有1盘胜）、B（两盘都负）， 事件D“至少有1盘胜”包含“恰有1盘胜”和“两盘都胜”两种情况，即． 对选项A：若事件A发生，则必然满足“至少有1盘胜”，即D一定发生，故，故A正确． 对选项B：事件B（两盘都负）和事件D（至少1盘胜）不可能同时发生，故，故B正确． 对选项C：A是两盘都胜，C是恰有1盘胜，二者的并集就是所有“至少1盘胜”的情况，故，故C正确． 对选项D：左边表示“两盘都胜或两盘都负”，右边，即所有比赛结果，二者不相等，故D错误． 故选：D． 2.（2025·内蒙古·真题T10）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算即可解得. 【详解】甲产品型号所占比例为， 又知抽样中甲产品为件，则样本容量为. 故选：B 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)编号：先将总体的N个个体编号； (2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝； (3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 1．某学校有教职工360人，其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人.为了了解教职工的住房情况，采用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则抽取的业务人员有（    ） A．30人 B．23人 C．12人 D．4人 2．某学校有老年教师20人，中年教师50人，青年教师30人，为了调查该学校教师的身体健康状况，需要从中抽取一个容量为20的样本，则用分层抽样的方法从老年教师，中年教师，青年教师中各抽取的人数分别是（    ） A．2，5，3 B．4，10，6 C．5，9，6 D．3，12，5 3．在对某次数学成绩统计分析过程中，选取了容量为30的样本，分组后的频数表如下 组距 频数 2 x 6 11 5 2 根据计算，某区间数据的频率为0.7，则该区间为（    ） A． B． C． D． 4．在2000个球中有红球50个，从中抽取200个进行分析，如果采用分层抽样的方法对这些球进行抽样，那么应该抽取红球的个数为（    ） A．5 B．10 C．50 D．100 5．为统筹调配水资源，某市要调查全市居民月均用水量．采用简单随机抽样抽取1000户居民统计，测得其月用水量的平均数为9吨，据此估计全市居民月用水量的平均数（   ） A．一定为9吨 B．高于9吨 C．约为9吨 D．低于9吨 6．自贡市三所职业学校对2024级学生进行联合质量检测，甲校有1800名学生，乙校有1200名学生，丙校有600名学生，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为180的样本，则应在这三校分别抽取学生（ ） A．90人，60人，30人 B．60人，60人，60人 C．60人，40人，20人 D．100人，60人，20人 7．若高三（2）班男生人，女生人，现用分层抽样方法从中抽出人，则抽出的女生的人数为（ ） A．8 B． C． D． 8．甲、乙两个样本，甲的方差为0.051，乙的方差为0.042，那么样本甲和样本乙的波动大小是（   ） A．甲的波动比乙大 B．甲的波动比乙小 C．甲和乙波动相同 D．甲和乙的波动大小不能确定 9．某中职校举办禁毒知识竞赛，有智能制造、计算机、财会三个专业共600人参加.已知智能制造、计算机、财会专业参赛人数分别为240，200，160，采用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为150的样本，则该样本中计算机专业学生的人数为（ ） A．60 B．50 C．40 D．80 10．若，则事件的对立事件概率为（　　） A． B． C． D． 11．事件的概率满足（    ） A． B． C． D． 12．抽查10件产品，设试验的样本空间为，“至多有1件次品”，“至少有两件次品”，则（    ） A． B． C． D．且 【答案】 1．B 【分析】根据分层抽样的方法计算即可. 【详解】某学校有教职工360人，其中业务人员276人， 抽取30人，故抽取的业务人员人数为人. 故选：B. 2．B 【分析】根据分层抽样的方法求解即可. 【详解】因为老年教师，中年教师，青年教师的人数为20，50 ，30， 则抽取老年教师的人数为人， 抽取中年教师的人数为人， 抽取青年教师的人数为人； 则从老年教师，中年教师，青年教师中各抽取的人数分别是4，10，6. 故选：B. 3．C 【分析】根据题意，结合样本容量先求出x的值，结合频率的计算，即可求解. 【详解】由题意，得，解得， 选项A中，落在区间的数据的频率为，不符合题意； 选项B中，落在区间的数据的频率为，不符合题意； 选项C中，落在区间的数据的频率为，符合题意； 选项D中，落在区间的数据的频率为，不符合题意； 故选：C. 4．A 【分析】根据分层抽样的特点，按照各层在总体中所占比例来确定每层应抽取的样本数量. 【详解】由分层抽样可得应抽取的红球的个数为. 故选：A. 5．C 【分析】用样本估计总体的基本原理求解. 【详解】采用简单随机抽样抽取1000户居民统计，测得其月用水量的平均数为9吨， 这个样本平均数是对总体平均数的一个估计值， 所以，可以估计全市居民月用水量的平均数约为9吨. 故选：C. 6．A 【分析】先计算样本容量，根据分层抽样求得抽样比，即可得到每个学校的样本数. 【详解】这三所学校的总学生数为，. 采用分层抽样法时，抽取一个样本容量为180的样本，则抽样比为， 所以甲校抽取学生数为， 乙校抽取学生数为， 丙校抽取学生数为. 故选：A. 7．B 【分析】由分层抽样计算即可. 【详解】由题意可知，抽出的女生的人数为人 故选：B 8．A 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，故可选出正确选项 【详解】根据方差的意义，甲样本的方差大于乙样本的方差， 故甲的波动比乙的波动大. 故选：A. 9．B 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可． 【详解】从600个学生中抽取150个人，占比 所以该样本中计算机专业的学生有. 故选：B. 10．D 【分析】对立事件概率之和为，用减去已知事件概率即可. 【详解】对立事件概率：. 故选：D 11．B 【分析】根据概率的性质即可得解. 【详解】必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件概率介于0和1之间， 所以事件的概率满足， 故选：. 12．D 【分析】分析事件A，B，再根据并集、交集求解即可. 【详解】抽查10件产品，事件“至多有1件次品”，即次品数0或1. 事件“至少有两件次品”，则次品数2，3，…，10. 不可能同时满足“至多有1件次品”和“至少有两件次品”，所以A与B互斥. A与B的并集覆盖了次品数的所有可能情况（0到10），因此. 因此且. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $