专题12 排列、组合、二项式定理（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题12 排列、组合、二项式定理 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 排列、组合、二项式定理 排列与组合 2026-09 单选 5 二项式定理 2025-14 填空 5 组合 2024-10 单选 5 二项式定理 2024-14 填空 5 排列与组合 2023-11 单选 5 二项式定理 2023-16 填空 5 排列 2022-11 单选 5 二项式定理 2022-16 填空 5 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题。 （2）内容及分值：两个计数原理、排列、组合、二项式定理，近5年中，2025年未考查排列与组合，2026年未考查二项式定理，其余年份对以上知识点都进行了考查，分值一般在5-10分。 【考点1：排列、组合、计数原理】 1.（2026·内蒙古·真题T09）从数字 ， ， ， 中任意取出3个数字（允许重复）组成三位数，且各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按组成三位数的三个数字的重复情况分类，分别计算每类对应的三位数个数后求和. 【详解】由题意，各位数字取自，且三个数字之和为6，分三类讨论： ① 三个数字完全相同：仅满足条件，可组成1个三位数222； ② 两个数字相同、一个数字不同：设相同数字为 ，不同数字为 ，则，其中且， 解得，即组合为，从3个数位中选1个放置4，剩余位置放置1，共个三位数； ③ 三个数字均不同：三个不同的正整数和为6，仅满足条件，三个不同数字的全排列为个， 对应6个不同的三位数。 综上，符合条件的三位数总个数为. 故选：A. 2.（2023·内蒙古·真题T11）某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由插空法求解即可. 【详解】由题意可知，有三个空教室不需要安排检查项目， 则可以看成三个空教室会产生四个空位， 则将四个检查项目安排在四个空位全排列即可，即有种安排方案. 故选：C. （一）分类、分步计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （二）排列与组合 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)． 特别地C＝1. 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C. 1．6个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，则不同的排法种数为（    ） A．5 B．30 C．120 D．240 2．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A．24 B．30 C．48 D．60 3．2025年“第九届亚冬会”在哈尔滨举办，现将5名志愿者分成3组，每组至少一人，分赴3个不同场馆服务，则不同的分配方案种数是（   ） A．60 B．180 C．150 D．240 4．某校运动会米接力赛，某班有6名候选队员，若要从中选出4人安排第1、2、3、4棒，其中甲同学不跑第一棒，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．120种 C．300种 D．360种 5．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ） A．60种 B．80种 C．100种 D．120种 6．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，则这天上午课程表的不同排法共有（   ） A．6种 B．9种 C．18种 D．24种 7．从10人学习小组中选出正、副组长各一人，选法共有（    ）. A．30种 B．45种 C．90种 D．100种 8．将3名女生和2名男生排在一排，要求2名男生不相邻，不同的安排方法共有________种﹒ 9．一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为___________. 10．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．（用数字作答） 11．6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻的排法共有__________种方法. 12．2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为______. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．D 【分析】先确定最左端的人员安排，再排其余人员，利用排列数公式计算. 【详解】由甲、乙中选1人排在最左端，再排其余5人，则不同的排法种数共有种， 故选：D. 2．C 【分析】根据排列以及分步乘法计数原理求解即可. 【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有4种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是种. 故选：C. 3．C 【分析】根据题意可得分组可分为两种情况，结合排列组合的计算即可求解. 【详解】5名志愿者分成3组，每组至少一人，则有两种分法， 第一种为三人，一人，一人，则有种分法， 再分赴3个不同场馆服务，则有种方案. 第二种为两人，两人，一人，则有， 再分赴3个不同场馆服务，则有种方案. 所以总共有不同的分配方案种数是. 故选：C. 4．C 【分析】采用间接法，即利用排列计数原理先求出不考虑限制条件时的排法总数，再去掉甲跑第1棒的选法即可. 【详解】从6人中选出4人安排第1、2、3、4棒，总选法有：，而甲跑第1棒的选法有：， 所以符合条件（甲不跑第1棒）有：． 故选：C 5．D 【分析】利用排列的定义直接列式求解. 【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作， 则选派方案共（种）． 故选：D. 6．C 【分析】先考虑体育的位置，再考虑其它三门课的排列情况，有3种排列方法，即可得出结论． 【详解】先考虑体育的位置，再考虑其它三门课的排列情况， 体育选一个位置排上，有3种方法， 剩下的3门课全排列，有种方法， 排列方法：种方法. 故选：C. 7．C 【分析】从10个人中选2人进行排列即可得解. 【详解】从10人中选出2人，正、副组长的职务不同， 选出的2人进行全排列，则方法总数为， 故选：C. 8． 【分析】根据插空法，结合分步计数原理即可求解. 【详解】先排三个女生，有种排法，再插空法排两个男生，则有种， 所以不同安排方法共有种. 故答案为：. 9． 【分析】首先求出与不相邻的情况以及所有的情况，再根据古典概率公式求解即可. 【详解】三人随机坐到其他三个位置上，共有种等可能情况， 要使与不相邻，则必坐在的对面，此时与的坐法共有2种情况， 所以根据古典概型求概率公式可知与相邻的概率为. 故答案为：. 10． 【分析】运用插空法结合排列数计算即可. 【详解】首先除甲乙以外的三人全排列共种排法， 三人形成了4个空，再将甲、乙两人插入个空中，有种排法 则共有种排法， 故答案为：. 11． 【分析】根据题意先将其他人全排列，结合插空法的应用即可得解. 【详解】根据题意，先将其他人全排列，有种排法， 再从个空位中，任选两个安排甲乙，有种排法， 所以共有种， 故答案为：. 12． 【分析】利用插空法先排3名学生，再将老师插入4个空位中即可. 【详解】采用插空法，先排3名学生有种， 3名学生形成4个空，再排2位教师有种， 所以，不同排法的种数为种. 故答案为：. 【考点2：二项式定理】 1.（2024·内蒙古·真题T14）的展开式中的常数项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 2.（2023·内蒙古·真题T16）已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 【答案】16 【解析】 【分析】利用二项式系数的增减性，与二展展开式中项的系数即可得解. 【详解】因为， 所以二项式系数的最大值为，则， 含项为，则， 所以. 故答案为：16 3.（2022·内蒙古·真题T16）的二项展开式中的系数是80，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式的通项求解． 【详解】二项式的通项为：， 令，故， 则展开式中的系数为，解得． 故答案为：2． 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C 2.二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C. (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn. (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．已知二项式的展开式中的前两项系数之和为，则指数n等于（    ） A． B．5 C．6 D．7 2．在的展开式中，所有项的系数和是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．在的展开式中，的系数为（   ） A． B．5 C． D．10 4．在二项式的展开式中，含的项的系数为 _________.（用数字作答） 5．的展开式中的常数项为________．（用数字作答） 6．的展开式有11项，则_____. 7．在的展开式中，含有的项的系数为______． 8．的二项展开式中含项的系数为___________. 9．设二项式，则________． 10．在的展开式中，的系数是_______． 11．在的二项展开式中，常数项为__________. 12．的二项展开式中，含项的系数为_______（用数字作答）. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．C 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】二项式的通项为， 第一项和第二项的系数分别为， 由题意知，，即， 解得 故选：C. 2．A 【分析】利用赋值法求解. 【详解】由题意，令，， 可得所有项的系数和是. 故选：A. 3．C 【分析】根据二项展开式的通项即可求得展开式中的系数. 【详解】二项式展开式的通项为， 令，则， 所以的系数为. 故选：C. 4．10 【分析】使用二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，可得含的项为， 所以，含的项的系数为10， 故答案为：10. 5．60 【分析】求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：60. 6．10 【分析】根据二项式的性质即可求解. 【详解】因为的展开式有11项， 则，解得. 故答案为：. 7． 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令得，所以， 所以含有的项的系数为. 故答案为：. 8．280 【分析】根据二项式展开式求解即可. 【详解】的二项展开式为 . 令，解得，则系数为. 因此含项的系数为. 故答案为：280. 9．1 【分析】利用赋值法求解． 【详解】令，得． 故答案为：1． 10． 【分析】根据二项式的展开式的通项公式和组合数的计算求解即可. 【详解】的展开式的通项为： ， 令，解得：， 所以的系数是， 故答案为：. 11． 【分析】首先列出二项展开式的通项公式，再由的指数为0列方程求解即可. 【详解】已知， 则， 当时，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 12．24 【分析】利用二项式展开的通项求解. 【详解】的二项展开式的通项为：， 令，解得， 所以含项的系数为. 故答案为：24. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $