一轮收官卷（三）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》收官卷（三） 考试时间：150分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 2．不等式组的解集（   ）． A． B． C． D． 3．若是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 6．反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（ ）. A． B． C． D． 7．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 8．某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是（   ） A．72 B．78 C．84 D．108 9．如图是一个螺栓的示意图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 10．已知是实系数方程的一个复数根，则（    ）． A．2 B． C．4 D． 11．圆被轴所截得的弦长为（   ） A． B． C．4 D． 12．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 13．在半径为的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 14．从长度为1，2，3，4，5的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 15．如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（   ）    A． B． C． D． 16．向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C． D．3 17．若是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 18．已知直线，下列三个命题： ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②若和c相交，则b和c也相交； ③若，则． 其中，正确命题的个数是（　） A．0 B．1 C．2 D．3 19．在正方体 中， 二面角 的正弦值为 （    ） A． B． C． D． 20．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 21．已知函数，则______． 22．设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 23．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为__________. 24．已知x， y的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若y与x线性相关，且回归方程为，则______. 25．已知中.角的对边分别是，若，则等于__________. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 45 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 26．（本小题8分）已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求的前10项和． 27．（本小题8分）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的值. 28．（本小题9分）标有数字的5张卡片.求： (1)若从中任意抽取3张，设其中标有偶数的卡片张数为随机变量，求随机变量的概率分布； (2)若每次抽取1张后再放回，如此有放回地抽取3次，求得到两次标有偶数卡片的概率. 29．（本小题10分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求:    (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 30．（本小题10分）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率为，短半轴长为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》收官卷（三） 考试时间：150分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集、补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 由韦恩图可得，图中阴影部分表示的集合为 则， 故选：. 2．不等式组的解集（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式组，将解集用区间表示即可. 【详解】不等式组可化为： ，解得， 所以原不等式组的解集为. 故选：B 3．若是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式性质逐项判断即可. 【详解】若是任意实数，且，则B错误； 不等式两边同时加或减一个数，不等号不变， 则，即，A正确；，D错误； 不等式两边同时乘一个负数，不等号改变， 则，C错误. 故选：A. 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由诱导公式计算可得. 故选：B. 5．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数在上是减函数，在上是增函数， 则为二次函数的对称轴，即，解得. 故选：D. 6．反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由反比例函数及一次函数的图像进行求解． 一次函数恒过点，故排除A项， 对于B，C两项，一次函数过点，得， 此时反比例函数为，则B项符合，C项不正确； 对于D项，一次函数过点，得， 此时反比例函数为，则D项不正确． 故选：B 7．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：C. 8．某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是（   ） A．72 B．78 C．84 D．108 【答案】B 【分析】先计算朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数，然后去除不符合条件的情形，即可得解． 【详解】朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数为种． 其中，武术社团在第二位的情况有种； 剪纸社团在最后一位的情况有种； 同时满足武术社团在第二位且剪纸社团在最后一位的情况有种． 所以不符合条件的总数为种，     因此符合条件的排列数为种． 故选：B． 9．如图是一个螺栓的示意图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间几何体的三视图，即可求解． 【详解】从上面看该零件的示意图是一个正六边形，且中间有一个圆. 故选：A． 10．已知是实系数方程的一个复数根，则（    ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据实系数方程的复数根性质及共轭复数的乘积计算即可求解. 【详解】因为是实系数方程的一个复数根， 所以也是实系数方程的一个复数根， 则. 故选：A. 11．圆被轴所截得的弦长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据圆的弦长公式即可求解. 【详解】圆，即， 所以圆心，半径，圆心到轴的距离， 因此圆被轴所截得的弦长为， 故选：D. 12．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和分式有意义的条件结合含绝对值不等式的解法即可得解. 【详解】要使函数有意义，则 ，解得， 故此函数的定义域为. 故选：D. 13．在半径为的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式即可解得. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为， 所以由扇形的面积公式得. 故选：B. 14．从长度为1，2，3，4，5的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率公式求解. 【详解】从5条线段中任取3条的所有情形为： ，共10种， 其中能构成三角形的情形有：，共3种， 则能构成三角形的概率为：， 故选：B. 15．如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先找出异面直线所成角的平面角，再根据余弦定理求解即可. 【详解】   取的中点，连接. 因为为棱的中点，所以. 则异面直线DE和所成角为. 设棱长为2，则，，. 根据余弦定理，所以. 所以异面直线DE和所成角的余弦值是. 故选：C. 16．向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，可建立适当的直角坐标系，表示出向量的坐标，结合向量线性运算和向量的模的坐标表示，即可求解. 【详解】    由题意，以向量在正方形网格中的起点为原点建立直角坐标系（如图所示）， 则，所以， 所以. 故选：B. 17．若是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系以及两角和的正切公式求解即可. 【详解】因为是第二象限角，且，所以， 则，故. 故选：D. 18．已知直线，下列三个命题： ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②若和c相交，则b和c也相交； ③若，则． 其中，正确命题的个数是（　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间中的线线关系，即可判断求解. 【详解】若a与b异面，b与c异面，则a与c可能异面、平行或相交，故①错误； 若和c相交，则b和c可能相交或异面，故②错误； 若，则与c相交或异面都有可能，故③错误； 故正确的命题是0个． 故选：A. 19．在正方体 中， 二面角 的正弦值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定二面角 的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】如图所示， 连接 相交于点 ，连接 和 ，    则 即为二面角 . 假设正方体棱长为 ，则 ， . 因为平面 平面 ， 且 平面 ，平面 ， 所以 ，所以 是 直角三角形. 由勾股定理得， . 故选：B. 20．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，分析求解即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，单调递增，且， 所以当时，单调递增，且， 又因为，所以或， 即或， 所以满足不等式的的取值范围是， 故选：C. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 21．已知函数，则______． 【答案】 【分析】通过解析式代值分别求出两个函数值再相乘即可. 【详解】，， 则. 故答案为：. 22．设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意转化为集合间的包含关系可得. 【详解】解：假设，由题意，是B的真子集， 所以必有成立. 故答案为：. 23．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线的性质，可得，继而求得，即可求解. 【详解】因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以两条渐近线所在直线的斜率分别为和， 所以， 所以， 所以离心率. 故答案为：. 24．已知x， y的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若y与x线性相关，且回归方程为，则______. 【答案】 【分析】根据回归直线过样本中心点求解. 【详解】由题意，，， 因为样本中心点在回归直线上， 所以，解得， 故答案为：2.6. 25．已知中.角的对边分别是，若，则等于__________. 【答案】2 【分析】根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 45 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 26．（本小题8分）已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求的前10项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列公差为d，利用等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出公差，再根据等差数列的通项公式即可求解. （2）根据等差数列的前n项和公式求出，则，利用裂项相消求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列公差为d， 因为，，成等比数列，所以， 又，则，整理得， 又，解得， 所以该数列的通项公式为：. （2）因为等差数列前n项和：， 所以， 则的前10项和. 27．（本小题8分）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图像以及正弦型函数的最值、周期求解即可. （2）根据（1）以及，求出角，再根据正弦、余弦定理求解即可. 【详解】（1）由图像可知，， ，即，所以， 所以， 代入点得，即， 所以，，即，， 又，所以， 所以； （2）因为，所以，即， 可得或，， 即或，， 又，所以， 因为，由正弦定理得， 即，又，由余弦定理得， 整理得，解得. 28．（本小题9分）标有数字的5张卡片.求： (1)若从中任意抽取3张，设其中标有偶数的卡片张数为随机变量，求随机变量的概率分布； (2)若每次抽取1张后再放回，如此有放回地抽取3次，求得到两次标有偶数卡片的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分析出随机变量的所有可能取值，再求其概率，最后得到分布列即可. （2）根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】（1）随机变量的所有可能取值为1，2，3，且 ， ， ， 因此随机变量的概率分布是 1 2 3 （2）设事件有放回地抽取3次，两次标有偶数卡片}，则 . 29．（本小题10分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求:    (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据题意作出辅助线，利用线面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，求出所需线段的长度，代入正切公式即可得解. （）根据棱锥的体积公式即可得解. （）设出点到平面的距离为，结合（）代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）    如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 过点作于点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为平面，所以平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 平面，所以, 所以是所求二面角的平面角， 因为，所以，所以是的中点,所以， 因为是边长为4的等边三角形，所以， 所以， 在Rt中，， 故二面角的正切值为. （2）由题知，， . （3）在中，， 则， 设点到平面的距离为， 则， 解得，即点到平面的距离为. 30．（本小题10分）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率为，短半轴长为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆离心率及短半轴长求出即可得到椭圆方程. （2）分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，斜率存在时联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及向量坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆离心率为，短半轴长为1， 所以有，， 且由可得：， 解得，且椭圆焦点在轴上， 所以椭圆方程为. （2）若直线的斜率不存在，则方程为：， 由可得：，即两交点坐标为， 则，不满足，故直线斜率存在. 若直线的斜率不存在，设直线方程为， 由可得：， 且恒成立， 设，则由韦达定理可得：， 由可得：， 故 ，解得， 故直线方程为或， 即或. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $