2.4 用单摆测重力加速度（讲义）物理粤教版选择性必修第一册

第二章 机械振动 第4节 用单摆测重力加速度 课标要点 1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义； 2. 会利用单摆的周期公式测量重力加速度； 3. 熟练掌握用图像法处理实验数据的方法。 学习重难点 重点： 实验原理的理解；摆长和周期的准确测量；图像法处理数据。 难点： 周期测量中的计时起点选择；各类图像的物理意义与误差分析； 知识点 实验原理与器材 1. 实验原理 由单摆的周期公式： 变形可得： 2. 物理量的测量 物理量 测量工具 测量方法 摆长L 毫米刻度尺、游标卡尺 L=悬线长度+摆球半径r（或） 周期T 秒表 测出完成n次（30~50 次）全振动的时间 t，则 T=t/n​ 注意： 摆长 L 是指悬点到摆球球心的距离，不是单纯的摆线长度。 3. 实验器材 带铁夹的铁架台、金属小球（有孔）、细丝线（1 m 左右）、毫米刻度尺、游标卡尺、秒表等。 特别提醒 本实验采用累积法测周期，即测量多次全振动的总时间再求平均，目的是减小人工计时的偶然误差。摆球应选用密度大、直径小的金属球，以减小空气阻力的影响。 随学随练 1．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 (1)当他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹紧，如图1所示。这样做的目的是（　　） A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆长在同一竖直平面内摆动 【答案】(1)AC 【详解】（1）当他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹紧，这样做的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，该操作与BD无关。 故选AC。 2．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 (1)组装单摆时，应该选用________（选填器材前的字母代号）。 A．长度为1 m左右的细线 B．长度为20 cm左右的细线 C．直径约为1.0 cm的木质球 D．直径约为1.0 cm的小钢球 【答案】(1)AD 【详解】（1）为减小实验误差，单摆摆线应选用长度1m左右的细线以保证周期测量精度，摆球应选用密度大、体积小的小钢球以降低空气阻力的影响。 故选AD。 知识点 实验步骤与操作要点 1. 实验步骤 （1）制作单摆：将细线穿过金属小球上的小孔，在细线穿出端打一个稍大一些的结，把细线上端用铁夹固定在铁架台上，使摆球自由下垂。 （2）测量摆长：用毫米刻度尺量出悬线长度（精确到 1 mm）；用游标卡尺测出摆球直径，则摆长。 （3）测量周期：把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过），由静止释放。 待摆动稳定后，从摆球经过平衡位置（最低点）时开始计时，用秒表测出单摆完成 30-50 次全振动所用的时间，计算出平均周期 （4）改变摆长，重复实验：将摆长改变 3~5 次，重复步骤（2）（3），记录多组 (L,T) 数据。 2. 注意事项 （1）摆线要细且弹性小，长度一般不应短于 1 m； （2）摆球应选用密度大、直径小的金属球； （3）悬线上端应紧夹在铁夹中，不可随意卷在铁杆上，防止悬点变动； （4）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应不超过 5°； （5）摆球摆动时要保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆； （6）计算全振动次数时，应从摆球通过最低位置（平衡位置）时开始计时，并默数全振动的次数。 特别提醒 计时起点必须选在平衡位置（最低点）。因为摆球在该位置速度最大，人眼判断摆球经过该位置的时刻误差最小；若在最大位移处开始计时，摆球速度几乎为零，判断位置的时刻误差较大。 随学随练 1．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 (1)他组装好单摆后自然垂悬的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度，再用游标卡尺测量摆球直径。结果如图2所示，则该摆球的直径为_______mm，单摆长为_______m。 (2)图3的振动图像真实地描述了对摆长约为1m的单摆进行周期测量得四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A，B，C均为30次全振动的图像，已知，，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是_______（填字母代号）。 【答案】(1) 12.2 （2）A 【详解】（1）[1] 游标卡尺主尺部分的读数为，10分度游标卡尺的精确度为，游标尺上的第2小格与主尺对齐，读数为 摆球的直径 [2] 单摆长为 （2）为了减小计时误差，应从最低点平衡位置开始计时； 摆角为时，振幅 摆角为时，振幅 为了保证单摆做简谐运动，单摆的摆角，振幅不大于。 故选A。 2.在“用单摆测定重力加速度”的实验中： (1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最_______（选填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图2中停表示数为该单摆全振动30次所用的时间，则单摆的振动周期为____________s（结果保留3位有效数字）。 【答案】 （1）低 2.25 【详解】 （1）[1]为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最低点的位置； [2]图2中停表的读数为 可知单摆的振动周期为 知识点 数据处理与误差分析 1. 数据处理方法 （1）公式法 每改变一次摆长，将相应的和代入公式，求出 g 值，最后求出 g 的平均值。 （2） 图像法 由，变形得 以为纵坐标、为横坐标建立坐标系，根据实验数据描点作图，可得到一条过原点的倾斜直线。 图线的斜率​ 由此可得 优点： 图像法可以减小偶然误差，且能直观地剔除错误数据。 2. 误差分析 （1）系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求： 悬点是否固定（松动会导致摆长变化）； 摆球、摆线是否符合理想模型（摆线是否有弹性、摆球是否可视为质点）； 摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内。 （2）偶然误差 （3） 图像法中的误差表现 ①若实验中误将摆线长度 L 当作摆长（漏加摆球半径 r ），则 ，所作图像仍为直线，斜率不变，但纵轴截距为正（不过原点）。 ②若图像中 a 、b 两直线平行，说明斜率相同，即测得的 g 值相同，但截距不同说明存在摆长测量的系统偏差（如漏加或多加半径）。 特别提醒 分析实验误差时，应紧扣公式，判断 L 和 T 的测量值相对真实值是偏大还是偏小，进而确定 g 的测量误差方向。图像法中，−L 图线的斜率只与 g 有关，因此即使图像不过原点，只要斜率测量准确，仍可得准确的 g 值。 随学随练 1．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)若实验时，固定细线的铁夹出现松动，摆动过程中摆线变长了，则测得的重力加速度_____（选填“偏大”或“偏小”）。 【答案】 (1)偏小 【详解】 （1）摆线松动变长后，测量得到的摆长（初始摆长）小于实际摆过程中的摆长，周期测量值是实际摆动的周期，根据，测得的重力加速度值偏小。 2．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 【答案】(1)BC 【详解】(1)已知四位同学做出的图线的示意图如图丙中的a、b、c、d所示，其中a、b和d平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是_______（选填选项前的字母）。 A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值大于图线b对应的g值 D．出现图线d的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L 题型 实验原理与器材选择 1. 器材选择原则： ·摆线：细、轻、不可伸长（弹性小），长度约 1 m； ·摆球：密度大、直径小的金属球，以减小空气阻力； ·固定装置：铁夹夹紧，确保悬点固定不动。 2. 摆长的正确测量： ·用刻度尺测悬线长（悬点到球上边缘或标记处）； ·用游标卡尺测摆球直径，精确到或； ·摆长（必须是悬点到球心的距离）。 3.周期的正确测量： ·采用累积法，测量 30-50 次全振动的总时间 t ； ·计时起点选在平衡位置（速度最大，判断误差最小）； ·周期。 活学活用 1．在“用单摆测定重力加速度”实验中： (1)除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要__________。（填正确答案的标号） A．秒表 B．米尺 C．天平 D．弹簧测力计 (2)下列做法正确的是________。（填正确答案的标号） A．从摆球达到最高位置时开始计时 B．记录摆球完成一次全振动的时间 C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度不小于5 D．选用的细线应细、质量小，且不易伸长 【答案】(1)AB (2)D 【详解】（1）“用单摆测定重力加速度”实验中需要使用秒表测量单摆的运动周期，需要米尺测量摆线的长度，不需要测量摆球的质量，故不需要天平或弹簧测力计。 故选AB。 （2）A．摆球经过平衡位置时速度最大，且平衡位置是确定的，在该处计时测量误差较小，故A错误； B．一次全振动的时间较短，测量的相对误差较大，应测量多次（n次）全振动的总时间t，通过 计算周期，故B错误； C．摆球应在同一竖直面内摆动，不能做圆锥摆，当摆角不超过时，其摆动可视为简谐振动，故C错误； D．实验选用的细线应细、质量小，且不易伸长，故D正确。 故选D。 2．在“用单摆做测量重力加速度”的实验中，采用双线摆，装置如图1所示。 (1)改单线摆为双线摆的目的是__________。 A．便于测量摆长 B．便于小球在竖直面内摆动 C．无需控制摆角大小 (2)调整悬挂点、等高，如图2所示，用刻度尺测量两悬挂点之间的距离______cm。 【答案】(1)B (2)7.20 【详解】（1）双线摆的作用是约束摆球，保证摆球始终在竖直平面内摆动，避免发生扭转或形成圆锥摆；单摆实验仍然要求摆角小于，摆长测量并没有比单线摆更简便。 故选B。 （2）刻度尺分度值为，需要估读到分度值下一位，A对齐，B对齐 刻度尺测量两悬挂点之间的距离 题型 实验数据处理 【方法总结】 1. 公式法计算要点： 每次改变摆长后，分别计算对应的 g 值，最后取平均值； 注意单位统一，L 用（m），T 用 秒（s），g 的单位为 （m/s²）。 2. 图像法处理要点： 由 可知， 图像应为过原点的直线； 斜率 ，故 ； 若纵轴为 L、横轴为 ，则斜率 ，注意区分坐标轴变量。 3. 图像不过原点的分析： 若纵轴截距为正：可能是将摆线长当作摆长（漏加半径），或存在其他摆长测量的正偏差； 若纵轴截距为负：可能是摆长测量时多加了半径，或标记位置不在悬点； 关键结论：只要图线是直线，其斜率就不受截距影响，仍可由斜率准确求g。 活学活用 1．某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中 (1)该组同学测出五组单摆振动周期 与摆长的数据如下表，请在图丙中作出关系图像。__________根据图像算出重力加速度_________；（结果保留位有效数字） 次数 【答案】(1) ////// 【详解】（1）[1]作出关系图像如图所示。 [2]根据单摆周期公式可得 所以图像的斜率为，解得 2．某学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)小明在测量后作出的图线如图丁所示，图线不过原点的原因是 。 A．计算摆长时未加上小球半径 B．计算摆长时加上了小球直径 C．这是实验的系统误差 (2)从图丁测得的结果应是 _____________（取9.87，结果保留2位小数）。 【答案】(1)A (2) 【详解】（1）根据单摆周期公式 可得 假设横坐标只代表摆线长，则真实的摆长应为 代入公式得 当时，，即纵截距大于零，图线不过原点，符合图丁描述，假设成立。 因此图线不过原点的原因是计算摆长时未加上小球半径，故A正确。 故选A。 （2）由图像可知，图线斜率为（横坐标单位应换算为） 因此 根据 可知 因此（保留两位小数） 题型误差分析与实验改进 1. 常见操作失误的影响： ·形成圆锥摆： 实际周期，导致 g 测量值偏大； ·悬点松动：摆动过程中摆长变长，测得的周期对应的是变长后的摆长，但计算时用的是初始摆长，导致 g 偏小； ·计时起点不在平衡位置：可能导致全振动次数计数误差； ·摆角超过 5°：单摆不再是简谐运动，周期公式不再严格成立，g 测量值存在系统误差。 2. 实验改进与创新方法： ·光电计时器： 在平衡位置处放置光电门，自动记录摆球经过次数，减小人工计时误差； ·力传感器： 通过测量摆线拉力的周期性变化（最低点拉力最大）来确定周期，注意拉力变化的周期等于单摆周期； 活学活用 1．某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。回答下列问题： (1)若开始计时时，秒表过迟按下，则直接用单摆周期公式所计算出的重力加速度的值____________（填“偏大”“偏小”或“无影响”）。 【答案】(1)偏大 【详解】（1）开始计时时，停表过迟按下，周期的测量值偏小，根据可知，重力加速度的测量值偏大。 2．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 (1)某同学将摆球沿圆弧拉离竖直方向约，然后由静止释放，摆动稳定后，自摆球经过最低点时记为0次并用秒表开始计时，此后摆球每经过最低点一次计数一次，计数到50时，秒表的读数为t，则摆的振动周期________（用t表示）。图丁中用游标卡尺测量的小球直径是________cm。 (2)甲同学多次改变摆长L，测量对应的周期T，绘制出图像，如图乙所示，直线的斜率为k。由此可得重力加速度________（用含k的式子表示）。 (3)实验过程中，由于操作失误给了小球初速度，使小球做圆锥摆运动，但仍按照单摆公式计算。请通过推理，证明此操作测量出的重力加速度偏大。________ 【答案】(1) (2) (3)设细线与竖直方向的夹角为，为细线对小球的拉力，为运动周期，则由牛顿第二定律得 在竖直方向，由平衡条件可得 解得 等效摆长比真实值偏小，测得的运动周期偏小，根据单摆公式求出的重力加速度偏大。 【详解】（1）[1]摆球完成一次全振动会2次经过最低点，从记为0次的初始时刻到计数到50次，共完成25次全振动，总时间为，因此振动周期为 [2]根据游标卡尺读数规则，小球直径是 （2）由单摆周期公式 整理可得 因此图像的斜率 整理得重力加速度 （3）设细线与竖直方向的夹角为，为细线对小球的拉力，为运动周期，则由牛顿第二定律得 在竖直方向，由平衡条件可得 解得 等效摆长比真实值偏小，测得的运动周期偏小，根据单摆公式求出的重力加速度偏大。 基础通关 1．某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 【答案】B 【详解】A．一个周期内小球两次经过最低点，小球经过最低点时磁感应强度最大，根据图乙所示可知，单摆的周期为2t0，故A错误； BC．小球做单摆运动，根据周期公式有 可知周期与摆幅无关，解得重力加速度为，故B正确，C错误； D．小球经过最低点时，速度最大，小球的运动方向发生改变，合力提供向心力，合力不为零，故D错误。 故选B。 2．（多选）某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁感应传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁场强弱（磁感应强度）变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为2t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 【答案】AB 【详解】A．一个周期内小球两次经过最低点，小球经过最低点时磁感应强度最大，根据图乙所示可知，单摆的周期为2t0，故A正确； BC．小球做单摆运动，根据周期公式有 解得重力加速度为 由此可知，周期与摆幅无关，故B正确，C错误； D．小球经过最低点时，速度最大，小球的运动方向发生改变，合力提供向心力，合力不为零，故D错误。 故选AB。 3．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法不正确的是（     ） A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供 B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力 C．秋千摆动的周期为 D．该地的重力加速度 【答案】AD 【详解】A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力沿切线方向的分力提供，故A错误，符合题意； B．当秋千摆至最低点时，秋千的加速度方向竖直向上，则有 得，即秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B正确，不符合题意； C．结合秋千的运动可知，秋千在和时刻相继通过同一侧的最大位移处，故秋千摆动的周期为，故C正确，不符合题意； D．由单摆的周期公式，得，故D错误，符合题意。 故选AD 。 4．如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图像。根据图像可得，单摆振动的频率是______Hz；开始时摆球在______位置（填“C”、“B”或“O”）；若将其制作成摆钟，将该摆钟从赤道带到北极，发现摆钟走时变______（填“快”或“慢”）了 【答案】 1.25 B 快 【详解】[1]根据图乙可知，单摆周期 则单摆频率 [2]单摆的位移是相对于平衡位置的位移，由于规定向右为正方向，根据图乙可知，开始时摆球在B位置。 [3]根据单摆周期公式有 当将该摆钟从赤道带到北极时，重力加速度增大，则周期减小，即发现摆钟走时变快了。 5．图（a）中盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙子在板上形成曲线，显示出摆的位移随时间变化的关系。图（b）表示两个摆中的沙子在各自木板上形成的曲线，若板N1和N2拉动速度v1和v2的关系v1∶v2=4∶3，则板N1、N2对应曲线所代表的振动周期关系为T1∶T2=________，若漏斗作小幅度摆动，则两摆对应的等效摆长关系为L1∶L2=________。 【答案】 3:2 9:4 【详解】[1]设板长为l，则 根据题意，有 联立解得 [2]根据周期公式 可得 则两摆对应的等效摆长关系为 6．如图甲是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线代表时间轴。图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板和板拉动的速度和的关系为，则板，上曲线所代表的振动周期________，两个摆的摆长________。 【答案】 4 16 【详解】[1]由图可知 解得 [2]根据 可得 7．“积木摆”通常指用积木搭建的摆动装置，使用积木搭建摆动装置不仅能让学习过程更有趣，还能直观地观察到摆动周期、平衡性以及重力作用等物理现象。一个简单的积木摆如图所示，直径为D的刚性小球在半径为R的固定光滑圆弧面内做往返运动，从小球运动至最低点开始计时，再一次回到最低点所用时间为t，通过这样简单的实验可以测出当地的重力加速度。 (1)在本实验中，R应________（填“远大于”“等于”或“远小于”）D，小球在最高点时，与圆弧圆心的连线和竖直方向的夹角应________（填“小于”或“大于”）。 (2)由实验可测得重力加速度________（用t、R和D表示）。 (3)若小球没到最低点就开始计时，则导致重力加速度的测量值________（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 【答案】(1) 远大于 小于 (2) (3)小于 【详解】（1）[1]本实验将小球的运动等效为单摆，需要将小球视为质点，因此圆弧半径需要远大于小球直径。 [2]只有当摆角（本题对应连线与竖直方向的夹角）小于时，小球的运动才可近似为简谐运动，能使用单摆周期公式计算。 （2）小球做简谐运动的等效摆长为 ；从最低点出发再一次回到最低点经过半个周期，因此周期。 根据单摆周期公式 联立可得 。 （3）若没到最低点就开始计时，测量得到的时间（从计时开始到再一次回到最低点的间隔）会比真实的半个周期偏大； 由可知，与成反比，因此重力加速度的测量值小于真实值。 8．如图甲，将一个小钢球通过两根长均为s的不可伸长的细线悬挂在A、B两点，A、B两点连线水平且距离为x，摆球直径为d。摆球在垂直纸面内的竖直面内小角度摆动，则： (1)该单摆的摆长L=_______（用s、x、d表示）； (2)用游标卡尺测量d如图乙，则d=_______mm； (3)写出该双线摆的一个优点：_______。 【答案】(1) (2)15.3 (3)可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动 【详解】（1）如图，摆长为O点到球心的距离 由勾股定理可得图中虚线长度为 故摆长为 （2）游标卡尺的主尺部分读数为，游标尺有10小格，分度值为，游标尺上的第3小格与主尺对齐，读数为 摆球直径 （3）该双线摆的一个优点：可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动，答案合理均可。 9．为了测量当地的重力加速度，某学校科技兴趣小组利用激光切割机切割出如图甲所示半径为的两块完全相同的金属工件，然后将两块金属板正对平行固定，在两板之间形成距离为的较为光滑的圆槽轨道。现将直径为的小球放入轨道，使之做简谐运动，等效为单摆运动。图乙为小球在圆槽轨道最低点的示意图。 (1)更换大小相同，质量更大的小球进行实验，小球的运动周期将_______（填“变大”“变小”“不变”） (2)从小球运动到最低点开始计时，并记为第1次，第101次经过最低点的时间如图丙所示，则单摆的周期T=_______s。 (3)更换半径不同的小球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制的图像如图丁所示，横、纵截距分别为、，则当地的重力加速度_______，圆弧面的半径R=_______。（用字母π、a、b表示） 【答案】(1)不变 (2)1.936 (3) 【详解】（1）根据单摆的振动周期可知，更换大小相同，质量更大的小球进行实验，小球的运动周期将不变。 （2）由图丙得小球从第1次到第101次经过最低点的时间 单摆的振动周期为 （3）[1][2]根据几何关系可得小球在最低点时，其重心到圆槽平面的距离为 所以该单摆的等效摆长为 由公式，得 结合图丁得， 解得， 10．某实验小组利用两根等长的轻细线将小物块P悬挂在铁架台的水平横杆上，制成一个双线摆，如图所示。 （1）已知悬线长度为L，两悬点间距为d，则双线摆的等效摆线长度L1=___________（用L、d表示）；用双线摆代替单线摆测重力加速度的优点之一是_________________________________。 （2）P在垂直横杆的竖直面内做小角度摆动，改变悬线长度L，结合小物块P的高度计算出摆长L0，用秒表测量对应的周期T，获得多组数据。 （3）为了直观地验证T与摆长L0的关系并求重力加速度，应以T2为纵轴、L0为横轴作出T2-L0图像，求出图线的斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g=___________。 （4）另一同学在实验后发现铁架台上方为空调出风口，即实验装置一直受到向下的风力作用，只考虑该风力的影响，测得的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】 可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动（答案合理即可） 偏大 【详解】[1]等效单摆的摆长是等效摆动悬点O到小物块的距离，如图所示，摆长为O点到小物块的距离L1 （小物块可看做质点，大小不计） 由勾股定理可得图中虚线长度为  故摆长为 [2]普通单摆摆动时容易偏出竖直平面，形成圆锥摆带来误差，双线摆可以约束摆球，保证摆球始终在要求的竖直平面内摆动，避免圆锥摆误差，摆动更稳定。因此该双线摆的一个优点：可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动（答案合理即可）。 [3]根据单摆周期公式 可得，图像的斜率 则有 [4]利用等效重力加速度法：受到恒定向下的风力作用相当于小物块受到的重力变大，即重力加速度变大。测得的重力加速度为等效重力加速度，实际加速度为当地重力加速度。故测量值偏大。 素养提升 11．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆在时刻小球加速度_____（选填“指向圆心”或“沿切线方向”）。 (2)若已知摆长和周期，则当地重力加速度的表达式_____（用、表示）。 (3)若实验时，固定细线的铁夹出现松动，摆动过程中摆线变长了，则测得的重力加速度_____（选填“偏大”或“偏小”）。 【答案】(1)沿切线方向 (2) (3)偏小 【详解】（1）时刻线中拉力最小，对应小球在最高点，小球的速度为0，向心加速度为0，所以加速度沿切线方向。 （2）由单摆的周期公式，可得当地重力加速度的表达式为 （3）摆线松动变长后，测量得到的摆长（初始摆长）小于实际摆过程中的摆长，周期测量值是实际摆动的周期，根据，测得的重力加速度值偏小。 12．在“用单摆测定重力加速度”实验中： (1)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，以L为横坐标、为纵坐标，作出了图像，求得该直线的斜率为k。则重力加速度________。 (2)乙同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的________。 A． B． C． D． 【答案】(1) (2)B 【详解】（1）根据单摆周期公式 整理得 根据图像中直线的斜率 解得重力加速度为 （2）某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，则有单摆周期公式 整理得 可知图像的斜率为，图像的纵截距为，图B符合要求。 故选B。 13．如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，智能手机与力传感器连接可实时记录传感器的力与时间的关系图像。某实验小组用手机、力传感器、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度。 (1)将摆线上端固定在力传感器上，下端系在小球上。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为（从悬点到摆球的最上端），再用游标卡尺测得摆球的直径为（读数如图乙所示），摆球的直径________cm； (2)智能手机与力传感器连接后记录传感器的力与时间的关系图像如图丙所示，则单摆的周期为________s； (3)改变悬线长度，重复操作，可以得到多组周期和悬线长度的值，以________（填“”“”或“”）为纵坐标，以的值为横坐标，描点作图，若所得图像的斜率为，则重力加速度的测量值为________。 【答案】(1)2.125 (2)0.8π (3) 【详解】（1）游标卡尺主尺读数为，游标卡尺第5条刻线与主尺刻线对齐，故。 （2）小球每经过最低点一次，拉力出现一个峰值。可知相邻两次拉力最大值之间的时间间隔为半个周期，根据图丙可知相邻峰值间时间为，故单摆周期为。 （3）[1]根据单摆周期公式可得 可得 则为纵坐标 [2]图像斜率 则重力加速度的测量值为。 迁移创新 14．某实验小组利用两根等长的轻细线将小物块P悬挂在铁架台的水平横杆上，制成一个双线摆，如图所示。 （1）已知悬线长度为L，两悬点间距为d，则双线摆的等效摆线长度L1=___________（用L、d表示）；用双线摆代替单线摆测重力加速度的优点之一是_________________________________。 （2）P在垂直横杆的竖直面内做小角度摆动，改变悬线长度L，结合小物块P的高度计算出摆长L0，用秒表测量对应的周期T，获得多组数据。 （3）为了直观地验证T与摆长L0的关系并求重力加速度，应以T2为纵轴、L0为横轴作出T2-L0图像，求出图线的斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g=___________。 （4）另一同学在实验后发现铁架台上方为空调出风口，即实验装置一直受到向下的风力作用，只考虑该风力的影响，测得的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】 可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动（答案合理即可） 偏大 【详解】[1]等效单摆的摆长是等效摆动悬点O到小物块的距离，如图所示，摆长为O点到小物块的距离L1 （小物块可看做质点，大小不计） 由勾股定理可得图中虚线长度为  故摆长为 [2]普通单摆摆动时容易偏出竖直平面，形成圆锥摆带来误差，双线摆可以约束摆球，保证摆球始终在要求的竖直平面内摆动，避免圆锥摆误差，摆动更稳定。因此该双线摆的一个优点：可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动（答案合理即可）。 [3]根据单摆周期公式 可得，图像的斜率 则有 [4]利用等效重力加速度法：受到恒定向下的风力作用相当于小物块受到的重力变大，即重力加速度变大。测得的重力加速度为等效重力加速度，实际加速度为当地重力加速度。故测量值偏大。 【点睛】 15．如图所示，摆长为l的单摆悬于架上，架固定于小车，使小车沿倾角为的斜面以加速度a向下做匀加速运动，求此时单摆振动的周期。 【答案】 【详解】以加速下滑的小车为参照系，在平衡位置小球受到重力、细线拉力、及惯性力的作用，如图所示 惯性力与重力间的夹角为，这两个力的合力为 摆动过程中的回复力就是由F的切向分力来提供，则等效的重力加速度 故该摆的周期 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 第4节 用单摆测重力加速度 课标要点 1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义； 2. 会利用单摆的周期公式测量重力加速度； 3. 熟练掌握用图像法处理实验数据的方法。 学习重难点 重点： 实验原理的理解；摆长和周期的准确测量；图像法处理数据。 难点： 周期测量中的计时起点选择；各类图像的物理意义与误差分析； 知识点 实验原理与器材 1. 实验原理 由单摆的周期公式： 变形可得： 2. 物理量的测量 物理量 测量工具 测量方法 摆长L 毫米刻度尺、游标卡尺 L=悬线长度+摆球半径r（或） 周期T 秒表 测出完成n次（30~50 次）全振动的时间 t，则 T=t/n​ 注意： 摆长 L 是指悬点到摆球球心的距离，不是单纯的摆线长度。 3. 实验器材 带铁夹的铁架台、金属小球（有孔）、细丝线（1 m 左右）、毫米刻度尺、游标卡尺、秒表等。 特别提醒 本实验采用累积法测周期，即测量多次全振动的总时间再求平均，目的是减小人工计时的偶然误差。摆球应选用密度大、直径小的金属球，以减小空气阻力的影响。 随学随练 1．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 (1)当他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹紧，如图1所示。这样做的目的是（　　） A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆长在同一竖直平面内摆动 2．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 (1)组装单摆时，应该选用________（选填器材前的字母代号）。 A．长度为1 m左右的细线 B．长度为20 cm左右的细线 C．直径约为1.0 cm的木质球 D．直径约为1.0 cm的小钢球 知识点 实验步骤与操作要点 1. 实验步骤 （1）制作单摆：将细线穿过金属小球上的小孔，在细线穿出端打一个稍大一些的结，把细线上端用铁夹固定在铁架台上，使摆球自由下垂。 （2）测量摆长：用毫米刻度尺量出悬线长度（精确到 1 mm）；用游标卡尺测出摆球直径，则摆长。 （3）测量周期：把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过），由静止释放。 待摆动稳定后，从摆球经过平衡位置（最低点）时开始计时，用秒表测出单摆完成 30-50 次全振动所用的时间，计算出平均周期 （4）改变摆长，重复实验：将摆长改变 3~5 次，重复步骤（2）（3），记录多组 (L,T) 数据。 2. 注意事项 （1）摆线要细且弹性小，长度一般不应短于 1 m； （2）摆球应选用密度大、直径小的金属球； （3）悬线上端应紧夹在铁夹中，不可随意卷在铁杆上，防止悬点变动； （4）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应不超过 5°； （5）摆球摆动时要保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆； （6）计算全振动次数时，应从摆球通过最低位置（平衡位置）时开始计时，并默数全振动的次数。 特别提醒 计时起点必须选在平衡位置（最低点）。因为摆球在该位置速度最大，人眼判断摆球经过该位置的时刻误差最小；若在最大位移处开始计时，摆球速度几乎为零，判断位置的时刻误差较大。 随学随练 1．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 (1)他组装好单摆后自然垂悬的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度，再用游标卡尺测量摆球直径。结果如图2所示，则该摆球的直径为_______mm，单摆长为_______m。 (2)图3的振动图像真实地描述了对摆长约为1m的单摆进行周期测量得四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A，B，C均为30次全振动的图像，已知，，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是_______（填字母代号）。 2.在“用单摆测定重力加速度”的实验中： (1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最_______（选填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图2中停表示数为该单摆全振动30次所用的时间，则单摆的振动周期为____________s（结果保留3位有效数字）。 知识点 数据处理与误差分析 1. 数据处理方法 （1）公式法 每改变一次摆长，将相应的和代入公式，求出 g 值，最后求出 g 的平均值。 （2） 图像法 由，变形得 以为纵坐标、为横坐标建立坐标系，根据实验数据描点作图，可得到一条过原点的倾斜直线。 图线的斜率​ 由此可得 优点： 图像法可以减小偶然误差，且能直观地剔除错误数据。 2. 误差分析 （1）系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求： 悬点是否固定（松动会导致摆长变化）； 摆球、摆线是否符合理想模型（摆线是否有弹性、摆球是否可视为质点）； 摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内。 （2）偶然误差 （3） 图像法中的误差表现 ①若实验中误将摆线长度 L 当作摆长（漏加摆球半径 r ），则 ，所作图像仍为直线，斜率不变，但纵轴截距为正（不过原点）。 ②若图像中 a 、b 两直线平行，说明斜率相同，即测得的 g 值相同，但截距不同说明存在摆长测量的系统偏差（如漏加或多加半径）。 特别提醒 分析实验误差时，应紧扣公式，判断 L 和 T 的测量值相对真实值是偏大还是偏小，进而确定 g 的测量误差方向。图像法中，−L 图线的斜率只与 g 有关，因此即使图像不过原点，只要斜率测量准确，仍可得准确的 g 值。 随学随练 1．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)若实验时，固定细线的铁夹出现松动，摆动过程中摆线变长了，则测得的重力加速度_____（选填“偏大”或“偏小”）。 2．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 题型 实验原理与器材选择 1. 器材选择原则： ·摆线：细、轻、不可伸长（弹性小），长度约 1 m； ·摆球：密度大、直径小的金属球，以减小空气阻力； ·固定装置：铁夹夹紧，确保悬点固定不动。 2. 摆长的正确测量： ·用刻度尺测悬线长（悬点到球上边缘或标记处）； ·用游标卡尺测摆球直径，精确到或； ·摆长（必须是悬点到球心的距离）。 3.周期的正确测量： ·采用累积法，测量 30-50 次全振动的总时间 t ； ·计时起点选在平衡位置（速度最大，判断误差最小）； ·周期。 活学活用 1．在“用单摆测定重力加速度”实验中： (1)除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要__________。（填正确答案的标号） A．秒表 B．米尺 C．天平 D．弹簧测力计 (2)下列做法正确的是________。（填正确答案的标号） A．从摆球达到最高位置时开始计时 B．记录摆球完成一次全振动的时间 C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度不小于5 D．选用的细线应细、质量小，且不易伸长 2．在“用单摆做测量重力加速度”的实验中，采用双线摆，装置如图1所示。 (1)改单线摆为双线摆的目的是__________。 A．便于测量摆长 B．便于小球在竖直面内摆动 C．无需控制摆角大小 (2)调整悬挂点、等高，如图2所示，用刻度尺测量两悬挂点之间的距离______cm。 题型 实验数据处理 【方法总结】 1. 公式法计算要点： 每次改变摆长后，分别计算对应的 g 值，最后取平均值； 注意单位统一，L 用（m），T 用 秒（s），g 的单位为 （m/s²）。 2. 图像法处理要点： 由 可知， 图像应为过原点的直线； 斜率 ，故 ； 若纵轴为 L、横轴为 ，则斜率 ，注意区分坐标轴变量。 3. 图像不过原点的分析： 若纵轴截距为正：可能是将摆线长当作摆长（漏加半径），或存在其他摆长测量的正偏差； 若纵轴截距为负：可能是摆长测量时多加了半径，或标记位置不在悬点； 关键结论：只要图线是直线，其斜率就不受截距影响，仍可由斜率准确求g。 活学活用 1．某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中 (1)该组同学测出五组单摆振动周期 与摆长的数据如下表，请在图丙中作出关系图像。__________根据图像算出重力加速度_________；（结果保留位有效数字） 次数 2．某学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)小明在测量后作出的图线如图丁所示，图线不过原点的原因是 。 A．计算摆长时未加上小球半径 B．计算摆长时加上了小球直径 C．这是实验的系统误差 (2)从图丁测得的结果应是 _____________（取9.87，结果保留2位小数）。 题型误差分析与实验改进 1. 常见操作失误的影响： ·形成圆锥摆： 实际周期，导致 g 测量值偏大； ·悬点松动：摆动过程中摆长变长，测得的周期对应的是变长后的摆长，但计算时用的是初始摆长，导致 g 偏小； ·计时起点不在平衡位置：可能导致全振动次数计数误差； ·摆角超过 5°：单摆不再是简谐运动，周期公式不再严格成立，g 测量值存在系统误差。 2. 实验改进与创新方法： ·光电计时器： 在平衡位置处放置光电门，自动记录摆球经过次数，减小人工计时误差； ·力传感器： 通过测量摆线拉力的周期性变化（最低点拉力最大）来确定周期，注意拉力变化的周期等于单摆周期； 活学活用 1．某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。回答下列问题： (1)若开始计时时，秒表过迟按下，则直接用单摆周期公式所计算出的重力加速度的值____________（填“偏大”“偏小”或“无影响”）。 2．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 (1)某同学将摆球沿圆弧拉离竖直方向约，然后由静止释放，摆动稳定后，自摆球经过最低点时记为0次并用秒表开始计时，此后摆球每经过最低点一次计数一次，计数到50时，秒表的读数为t，则摆的振动周期________（用t表示）。图丁中用游标卡尺测量的小球直径是________cm。 (2)甲同学多次改变摆长L，测量对应的周期T，绘制出图像，如图乙所示，直线的斜率为k。由此可得重力加速度________（用含k的式子表示）。 (3)实验过程中，由于操作失误给了小球初速度，使小球做圆锥摆运动，但仍按照单摆公式计算。请通过推理，证明此操作测量出的重力加速度偏大。________ 基础通关 1．某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 2．（多选）某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁感应传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁场强弱（磁感应强度）变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为2t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 3．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法不正确的是（     ） A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供 B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力 C．秋千摆动的周期为 D．该地的重力加速度 4．如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图像。根据图像可得，单摆振动的频率是______Hz；开始时摆球在______位置（填“C”、“B”或“O”）；若将其制作成摆钟，将该摆钟从赤道带到北极，发现摆钟走时变______（填“快”或“慢”）了 5．图（a）中盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙子在板上形成曲线，显示出摆的位移随时间变化的关系。图（b）表示两个摆中的沙子在各自木板上形成的曲线，若板N1和N2拉动速度v1和v2的关系v1∶v2=4∶3，则板N1、N2对应曲线所代表的振动周期关系为T1∶T2=________，若漏斗作小幅度摆动，则两摆对应的等效摆长关系为L1∶L2=________。 6．如图甲是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线代表时间轴。图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板和板拉动的速度和的关系为，则板，上曲线所代表的振动周期________，两个摆的摆长________。 7．“积木摆”通常指用积木搭建的摆动装置，使用积木搭建摆动装置不仅能让学习过程更有趣，还能直观地观察到摆动周期、平衡性以及重力作用等物理现象。一个简单的积木摆如图所示，直径为D的刚性小球在半径为R的固定光滑圆弧面内做往返运动，从小球运动至最低点开始计时，再一次回到最低点所用时间为t，通过这样简单的实验可以测出当地的重力加速度。 (1)在本实验中，R应________（填“远大于”“等于”或“远小于”）D，小球在最高点时，与圆弧圆心的连线和竖直方向的夹角应________（填“小于”或“大于”）。 (2)由实验可测得重力加速度________（用t、R和D表示）。 (3)若小球没到最低点就开始计时，则导致重力加速度的测量值________（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 8．如图甲，将一个小钢球通过两根长均为s的不可伸长的细线悬挂在A、B两点，A、B两点连线水平且距离为x，摆球直径为d。摆球在垂直纸面内的竖直面内小角度摆动，则： (1)该单摆的摆长L=_______（用s、x、d表示）； (2)用游标卡尺测量d如图乙，则d=_______mm； (3)写出该双线摆的一个优点：_______。 9．为了测量当地的重力加速度，某学校科技兴趣小组利用激光切割机切割出如图甲所示半径为的两块完全相同的金属工件，然后将两块金属板正对平行固定，在两板之间形成距离为的较为光滑的圆槽轨道。现将直径为的小球放入轨道，使之做简谐运动，等效为单摆运动。图乙为小球在圆槽轨道最低点的示意图。 (1)更换大小相同，质量更大的小球进行实验，小球的运动周期将_______（填“变大”“变小”“不变”） (2)从小球运动到最低点开始计时，并记为第1次，第101次经过最低点的时间如图丙所示，则单摆的周期T=_______s。 (3)更换半径不同的小球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制的图像如图丁所示，横、纵截距分别为、，则当地的重力加速度_______，圆弧面的半径R=_______。（用字母π、a、b表示） 10．某实验小组利用两根等长的轻细线将小物块P悬挂在铁架台的水平横杆上，制成一个双线摆，如图所示。 （1）已知悬线长度为L，两悬点间距为d，则双线摆的等效摆线长度L1=___________（用L、d表示）；用双线摆代替单线摆测重力加速度的优点之一是_________________________________。 （2）P在垂直横杆的竖直面内做小角度摆动，改变悬线长度L，结合小物块P的高度计算出摆长L0，用秒表测量对应的周期T，获得多组数据。 （3）为了直观地验证T与摆长L0的关系并求重力加速度，应以T2为纵轴、L0为横轴作出T2-L0图像，求出图线的斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g=___________。 （4）另一同学在实验后发现铁架台上方为空调出风口，即实验装置一直受到向下的风力作用，只考虑该风力的影响，测得的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 素养提升 11．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆在时刻小球加速度_____（选填“指向圆心”或“沿切线方向”）。 (2)若已知摆长和周期，则当地重力加速度的表达式_____（用、表示）。 (3)若实验时，固定细线的铁夹出现松动，摆动过程中摆线变长了，则测得的重力加速度_____（选填“偏大”或“偏小”）。 12．在“用单摆测定重力加速度”实验中： (1)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，以L为横坐标、为纵坐标，作出了图像，求得该直线的斜率为k。则重力加速度________。 (2)乙同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的________。 A． B． C． D． 13．如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，智能手机与力传感器连接可实时记录传感器的力与时间的关系图像。某实验小组用手机、力传感器、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度。 (1)将摆线上端固定在力传感器上，下端系在小球上。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为（从悬点到摆球的最上端），再用游标卡尺测得摆球的直径为（读数如图乙所示），摆球的直径________cm； (2)智能手机与力传感器连接后记录传感器的力与时间的关系图像如图丙所示，则单摆的周期为________s； (3)改变悬线长度，重复操作，可以得到多组周期和悬线长度的值，以________（填“”“”或“”）为纵坐标，以的值为横坐标，描点作图，若所得图像的斜率为，则重力加速度的测量值为________。 迁移创新 14．某实验小组利用两根等长的轻细线将小物块P悬挂在铁架台的水平横杆上，制成一个双线摆，如图所示。 （1）已知悬线长度为L，两悬点间距为d，则双线摆的等效摆线长度L1=___________（用L、d表示）；用双线摆代替单线摆测重力加速度的优点之一是_________________________________。 （2）P在垂直横杆的竖直面内做小角度摆动，改变悬线长度L，结合小物块P的高度计算出摆长L0，用秒表测量对应的周期T，获得多组数据。 （3）为了直观地验证T与摆长L0的关系并求重力加速度，应以T2为纵轴、L0为横轴作出T2-L0图像，求出图线的斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g=___________。 （4）另一同学在实验后发现铁架台上方为空调出风口，即实验装置一直受到向下的风力作用，只考虑该风力的影响，测得的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 15．如图所示，摆长为l的单摆悬于架上，架固定于小车，使小车沿倾角为的斜面以加速度a向下做匀加速运动，求此时单摆振动的周期。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $