2.3 单摆（讲义）物理粤教版选择性必修第一册

第二章 机械振动 第3节 单摆 课标要点 1. 理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时，回复力的来源； 2. 知道影响单摆周期的因素，能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题。 学习重难点 重点：了解单摆振动时，回复力的来源； 难点：了解影响单摆周期的因素，能够熟练运用单摆的周期公式解决问题。 知识点 单摆及其回复力 1. 单摆的理想化模型 单摆是实际摆的一种理想化模型，需满足以下条件： ①悬挂物体的绳子质量可以忽略不计； ②绳长比物体的尺寸大得多； ③物体可以看作质点。 这样的装置就可以看作单摆。 说明： 单摆是实际摆的理想模型。若单摆的摆角小于 5°，单摆的摆动可近似看成简谐运动。 2. 单摆的受力分析 单摆在振动过程中受两个力作用： ①重力 mg （竖直向下）； ②绳子的拉力 T （沿绳指向悬点）。 3. 回复力的来源 单摆的回复力不是重力和拉力的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力。 设摆角为，摆球偏离平衡位置的位移为x，摆长为L，则回复力大小为： 当摆角很小时，有 ，代入得： ，L为摆长，x为摆球偏移平衡位置的距离，负号表示力的方向与位移方向相反。 4. 单摆做简谐运动的条件 ①必要条件：摆角 θ<5∘ （此时成立）； ②理想化条件：绳质量不计、摆球可视为质点、空气阻力不计。 特别提醒 单摆的回复力是重力沿切向的分力，不是重力和拉力的合力。在平衡位置（最低点），回复力为零，但合力不为零（合力提供向心力）。在最大位移处，速度为零，向心力为零，此时合力等于回复力。 随学随练 1．关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的回复力也可以是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F=-kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 【答案】B 【详解】A．简谐运动的回复力满足公式 其中x是物体相对平衡位置的位移，大小和方向随运动过程不断变化，因此回复力是变力，不可能为恒力，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得简谐运动的加速度 式中负号表明加速度方向与位移方向始终相反，故B正确； C．公式中的k是比例系数，并非一定是弹簧的劲度系数（如单摆回复力的k与弹簧劲度系数无关），x是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧的形变量，故C错误； D．做简谐运动的物体经过平衡位置时回复力为零，但合力不一定为零，例如单摆经过最低点（平衡位置）时，合力需要提供向心力，合力不为零，故D错误。 故选B。 2．（多选）如图所示，一根不可伸缩的轻绳一端系在天花板上，一端与一质量为m的小球连接，轻绳长为L。现将小球拉起，使轻绳与竖直方向成一小角度θ（θ＜5°），由静止释放小球，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，小球可视为质点，下列说法正确的是（     ） A．小球做简谐运动的回复力为重力和轻绳拉力的合力 B．小球做简谐运动的回复力为重力沿轨迹圆弧切线方向的分力 C．小球做简谐运动的周期为2π D．小球运动到最低点时所受合力为零 【答案】BC 【详解】AB．小球做简谐运动的回复力为重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，故A错误，B正确； C．小球做简谐运动时，因小球可视为质点，则绳长即为摆长，则其周期为，故C正确； D．小球运动到最低点时所受合力提供向心力，即所受合力不为零，故D错误。 故选BC。 知识点 单摆的周期 1. 影响单摆周期的因素 通过实验探究可知，在摆角很小的情况下： ·单摆的周期与小球质量无关； ·单摆的周期与振幅无关； ·单摆的周期与摆长有关； ·单摆的周期与重力加速度有关。 2. 单摆的周期公式 荷兰物理学家惠更斯首先发现了单摆的周期公式： ·L为等效摆长（悬点到摆球重心的距离）； ·g为当地的重力加速度。 3. 对周期公式的理解 ·周期 T 跟摆长 L 的二次方根成正比； ·周期 T 跟重力加速度g的二次方根成反比； ·周期 T 与摆球质量、振幅（摆角小于时）无关； ·单摆的周期由系统本身的性质决定，称为固有周期，其频率为 。 随学随练 1．摆钟是最早能够精确计时的一种工具，至今仍在很多地方使用。把摆钟的钟摆简化成一个摆长为L的单摆，如图所示。摆球质量为m，不计细线质量和空气阻力，将摆球从最低点在竖直平面内向左缓慢拉开一个偏角θ（θ＜5°），静止释放。下列说法正确的是（     ） A．增大m会使该钟摆周期增大 B．增大L会使该钟摆周期减小 C．摆球在最低点时受力平衡 D．摆球在最低点时的回复力为零 【答案】D 【详解】A．单摆周期公式，周期只和摆长L、重力加速度g有关，与摆球质量m无关，故A错误； B．根据单摆周期公式，知增大L会使该钟摆周期增大，故B错误； C．最低点摆球做圆周运动，有向上向心加速度，合力向上，受力不平衡，故C 错误； D．单摆回复力：沿切线方向、使摆球回到平衡位置的分力，；平衡位置（最低点）：，，回复力。故D正确。 故选D。 2．一个单摆做简谐运动，周期为T。若将摆长缩短为原来的，其他条件不变，则新的周期为（　　） A． B． C．2T D．4T 【答案】B 【详解】单摆做简谐运动的周期公式为，其中l为摆长，g为当地重力加速度，若将摆长缩短为原来的，则周期应变为原来的，即新的周期为 故选B。 知识点 单摆模型的拓展 1. 类单摆模型 在光滑弧面上来回滚动的小球（可视为质点），若圆弧半径 R 远大于运动弧长，则小球的运动可看成简谐运动，其周期为： 此时圆弧半径 R 相当于单摆的摆长。 2. 等效摆长 在某些变形单摆中，摆球做简谐运动的等效摆长不一定等于绳长，而是指摆球做圆周运动的圆心到摆球重心的距离。 常见情形： ·双线摆：等效摆长为 （为两绳夹角的一半）； ·折线摆（钉挡摆）：碰到钉子后摆长变短，需分段计算； ·圆弧摆：等效摆长为圆弧半径减去摆球半径。 3. 等效重力加速度 一般情况下，公式中的g值等于摆球相对系统"静止"在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 常见情形： 加速系统（如向上加速的电梯）：=g+a； 减速系统（如向下加速的电梯）：=g−a； 斜面摆（光滑斜面上）：（α为斜面倾角）； 电场中：需考虑电场力对回复力的影响。 随学随练 1．某同学设计了如图所示的单摆实验，将摆长为l的单摆上端固定在天花板上O点处，下端连接一小球，在O点正下方的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，取向右为正方向。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】摆长为时单摆的周期 最大回复力（为摆角） 摆长为时单摆的周期 故最大回复力（为摆角）。 根据机械能守恒定律得 利用， 解得 可得，故。 综上有，，故ACD错误，B正确。 2．在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态，如图所示。现给小球一垂直于细线的初速度，使小球在水平面上开始运动。若很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若很小，则小球摆动的幅度很小，即摆角很小，则小球的运动是简谐运动，小球处于平衡状态时，绳的弹力 则等效重力加速度为 小球简谐运动的周期 小球第一次回到平衡位置所需时间 解得 故选A。 题型 单摆回复力与运动规律分析 1. 受力分析要点： ·明确单摆只受重力和绳的拉力两个力； ·回复力是重力沿切线方向的分力，不是合力； ·在平衡位置，回复力为零，但合力提供向心力，不为零； ·在最大位移处，速度为零，向心力为零，合力等于回复力。 2. 运动规律分析： ·靠近平衡位置：位移减小，回复力减小，加速度减小，速度增大； ·远离平衡位置：位移增大，回复力增大，加速度增大，速度减小； ·平衡位置：速度最大，动能最大，势能最小； ·最大位移处：速度为零，动能为零，势能最大。 3. 简谐运动条件的判断： ·首先看摆角是否小于 5°； ·其次看回复力是否满足 的形式。 活学活用 1．如图所示为小球在做单摆运动，平衡位置为点，、为最大位移处，、点关于点对称。小球运动到点时，小球受到重力和拉力，这两力的合力图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球受到拉力T，重力G作用，这两个力的合力为F，如图所示 把重力正交分解为、，沿半径方向的合力指向圆心，所以 所以合力F的方向如右图所示 故选A 。 2．图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在点和点处，速度为零，回复力也为零 C．摆球在点处，速度最大，细线拉力也最大 D．摆球在点处，速度最大，回复力也最大 【答案】C 【详解】A．摆球在运动过程中只受到重力和细线的拉力两个实际力的作用，回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，属于效果力，不是物体实际受到的力，故A错误； B．摆球在A点和C点处，速度为零，但此时摆角最大，重力沿切线方向的分力（即回复力） 此时回复力最大，不为零，故B错误； C．摆球在B点处，重力势能最小，动能最大，速度最大。根据牛顿第二定律则有 解得 由于速度v最大，故细线拉力T也最大，故C正确； D．摆球在B点处，速度最大，但此时重力与拉力在同一直线上，切向合力（回复力）为零，故D错误。 故选C。 题型 单摆周期公式的理解与应用 1. 周期公式的适用条件： ·仅适用于摆角 的情况； ·L为等效摆长（悬点到球心的距离）； ·g为当地的重力加速度或等效重力加速度。 2. 比例关系的应用： ·：摆长变为原来的n倍，周期变为原来的倍； ·：重力加速度变为原来的n倍，周期变为原来的倍； ·与质量、振幅无关。 3. 常见场景分析： ·地点变化（如赤道到两极）：g变化导致T变化； ·摆长变化（如绳长改变、钉挡摆）：L变化导致T变化； ·系统加速：利用等效重力加速度分析周期变化。 活学活用 1．已知地球和天王星的密度和半径参数如表所示。假如将摆长为的单摆移动到天王星表面，则它的振动周期约为（　　） 行星 密度 半径（） 地球 5.5 6400 天王星 1.3 25000 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】星球表面物体重力等于万有引力，有 解得表面重力加速度 行星质量 代入的表达式得，即与成正比。天王星与地球表面重力加速度的比值 即 单摆周期公式为 代入、，得 故选B。 2．如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，g=10m/s²，π2≈10，下列说法正确的是（　　） A．甲单摆的摆长较小 B．甲摆的振幅比乙摆的大 C．甲摆的最大偏角为0.05° D．在t=0.5s时有正向最大加速度的是甲摆 【答案】B 【详解】A．由图可得，振幅，根据单摆周期公式 可得，不变时，周期相等则摆长相等，故A错误； B．振幅是单摆的最大位移，甲振幅，乙振幅，甲摆振幅更大，故B正确； C．代入，，得 小角度偏角满足，单位错误，故C错误； D．t=0.5s时，甲摆位移，加速度为0；乙摆在负向最大位移处，根据 位移为负时加速度为正，且大小最大，因此有正向最大加速度的是乙摆，故D错误。 故选B。 题型等效单摆问题 1. 等效摆长的确定方法： ·找到摆球做圆周运动的圆心（等效悬点）； ·测量圆心到摆球重心的距离，即为等效摆长； ·注意：遇到钉子、圆弧面等情况时，圆心位置可能发生变化。 2. 等效重力加速度的确定方法： ·让摆球相对系统静止在平衡位置； ·分析此时绳的拉力； ·等效重力加速度。 3. 常见模型速解： ·钉挡摆：周期为两个不同摆长单摆周期的一半之和，即； ·圆弧摆：直接用圆弧半径 R 代替摆长 L （注意减去球半径）； ·斜面摆/电场中：先求等效g，再代入周期公式。 活学活用 1．如图所示，一光滑圆环竖直固定放置，为其竖直直径，穿在光滑直杆上的小球a从点由静止释放，到达点所用的时间为；穿在圆环上的小球b从靠近点的点由静止释放，第1次到达点所用的时间为。已知、均在圆环上，远小于圆环的半径，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令直杆与水平方向夹角为，根据牛顿第二定律有 小球a从点开始做匀加速直线运动，根据位移公式有 解得 由于远小于圆环的半径，则b球的运动可以等效为单摆，则有 结合上述解得 故选A。 2．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为。摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为，摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、F3、均已知。当地的重力加速度为g。下列选项正确的是（     ） A．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 B．单摆n次全振动的时间为 C．多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 D．在图2的测量过程中，满足的关系 【答案】A 【详解】A．摆球在光滑斜面上运动，沿斜面方向的等效重力加速度为 仅和斜面倾角有关，改变可获得不同的等效重力加速度，故A正确； B．单摆摆动时，最高点速度为0，拉力最小；最低点速度最大，拉力最大。由图2可知，单摆的周期 因此次全振动的时间为，故B错误； C．原结论为“单摆周期与重力加速度的二次方根成反比”，即 本题中等效重力加速度 即，因此，应多次改变倾角，得出就可以验证该结论成立，故C错误； D．静止时 最高点拉力最小为 解得 最低点拉力最大，由动能定理和向心力公式得， 整理得，故D错误； 故选A。 基础通关 1．单摆在小角度范围内摆动，摆球在t=0时刻从最高点由静止释放，摆动过程中单摆的能量随时间变化的图线如图中①②③所示。下列说法正确的是（     ） A．图线①表示机械能，其大小与振幅无关 B．图线②和③分别表示重力势能和动能 C．单摆的周期为 D．在时间内，小球受到的回复力增大 【答案】D 【详解】A．单摆做理想小角度摆动时，机械能守恒，因此图线①确实表示机械能，但机械能的大小与振幅相关：振幅越大，最大重力势能越大，总机械能越大，因此“机械能大小与振幅无关”错误。故A错误； B．时刻摆球在最高点，动能为，重力势能最大。由图可知，时图线②，图线③最大，因此②是动能，③是重力势能，二者对应关系颠倒，故B错误； C．时刻摆球第一次回到最低点（动能最大、势能最小），时刻摆球第一次回到最高点，对应的时间间隔为个周期。因此，得单摆周期，故C错误； D．单摆回复力大小满足（是偏离平衡位置的位移），是摆球从最低点（）向最高点（）运动，过程中位移大小一直增大，因此回复力一直增大，故D正确。 故选 D。 2．荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动，如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为摆球，忽略空气阻力，在摆动过程中，下列说法正确的是（　　） A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力和向心力的作用 B．经过最低点时摆球处于平衡状态 C．远离最低点运动的过程中，摆球的动能逐渐减小 D．摆球做简谐运动时，摆线越短，其运动周期越大 【答案】C 【详解】A．摆球在摆动过程中，实际受到的力为重力和摆线的拉力。回复力是重力沿切线方向的分力，向心力是重力和拉力的合力沿径向的分力，二者均为效果力，并非独立存在的力。因此，摆球只受重力和拉力两个力的作用，故A错误； B．平衡状态的条件是物体所受合力为零。摆球经过最低点时，速度最大，需要向心力维持圆周运动，此时摆线拉力与重力的合力提供向心力，合力不为零，故摆球不处于平衡状态，故B错误； C．忽略空气阻力时，摆球摆动过程中机械能守恒。远离最低点运动时，摆球高度增加，重力势能增大，根据机械能守恒定律，动能必然减小，故C正确； D．单摆做简谐运动的周期公式为，当摆线越短时，摆长越小，周期越小，故D错误。 故选C。 3．物体做机械振动时，下列叙述正确的是（　　） A．单摆的平衡位置就是回复力为零的位置 B．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确 C．单摆到达平衡位置时，合力一定为零 D．做简谐运动的物体最大位移就是振幅 【答案】A 【详解】A．机械振动中平衡位置的定义就是回复力为零的位置，单摆的回复力是重力沿切线方向的分力，在平衡位置时切线方向分力为零，即回复力为零，A正确； B．摆钟走快说明周期偏小，根据单摆周期公式，要增大周期使其走时准确，需要调长摆长，B错误； C．单摆到达平衡位置时，回复力为零，但单摆做圆周运动需要向心力，合力沿悬线方向提供向心力，合力不为零，C错误； D．振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；位移是矢量，最大位移是矢量，其大小等于振幅，D错误。 故选A。 4．两个小球P、Q构成的单摆振动的图像如下表所示（位移x随时间t变化的部分数据）。下列说法正确的是（     ） 时间t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 P位移x/cm 5.0 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 Q位移x/cm 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 2.5 A．t=0.6s时，P和Q的速度都为0 B．t=1.0s时，P和Q的速度方向相同 C．t=1.0s时，P和Q的加速度方向相同 D．根据图像无法比较P和Q的摆长 【答案】C 【详解】A．时，P的位移为，是最大位移，速度为； Q的位移为，不是最大位移，速度不为，故A错误； B．时，P的位移为，逐渐增大到，说明P向正方向运动； Q在位移为最大值，速度为0，没有方向，二者速度方向不可能相同，故B错误； C．时，二者位移均为正，加速度均沿负方向，P和Q的加速度方向相同，C正确； D．从表格数据可得，P从（位移）到回到原位移，Q从（位移 ）到也回到原位移，二者周期均为。 根据单摆周期公式，同一地点重力加速度相同，周期相同则摆长相等，可以比较摆长，因此D错误。 故选 C。 5．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时其中细沙匀速流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面应是如图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】漏斗摆动时，经过最大位移处左右两个端点时，漏斗的速度最小，通过相同距离所用时间较长，而细沙匀速流出，则木板上沙子堆积较多； 漏斗经过平衡位置时速度最大，通过相同距离所用时间较短，而细沙匀速流出，说明平衡位置堆积的沙子较少。 故选B。 6．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2，对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x 随时间t变化的关系式为x=10sin（2πt）cm B．单摆的摆长约为 10cm C．从t=2s到t=2.5s的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大 D．从t=2s到t=2.5s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大 【答案】C 【详解】A．根据图乙可知 故A错误； B．根据 周期为2s，解得 故B错误； C．根据图乙可知，从t=2s到t=2.5s的过程中，摆球远离平衡位置，位移增大，根据 可知，回复力也逐渐增大，故C正确； D．根据图乙可知，从t=2s到t=2.5s的过程中，摆球远离平衡位置，令摆线与竖直方向夹角为，则有 解得 由于摆球远离平衡位置，位移增大，速度减小，增大，可知，摆球所受绳子拉力逐渐减小，故D错误。 故选C。 7．如图甲所示，单摆固定悬点为O，将摆球拉至A点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角，B点为运动中的最低位置。从A点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力三个力的作用 C．摆球在B点处，向心加速度最大，回复力也最大 D．在的时间内，摆球从B点向A点运动 【答案】A 【详解】A．根据图乙可知，周期为2s，根据周期公式有 解得 故A正确； B．摆球受到重力、拉力两个力的作用。向心力是一种效果力，在实际受力分析中不存在，故B错误； C．最低位置B是单摆做简谐运动的平衡位置，摆球在B点处，速度最大，向心加速度最大，但回复力最小，故C错误； D．从A点刚释放开始计时，根据图乙可知，在的时间内，摆球从C点向B点运动，故D错误。 故选A。 8．下列关于机械振动的说法中，正确的是（　　） A．简谐运动的回复力大小与位移的大小成正比，方向总指向平衡位置 B．物体做受迫振动时，振动频率与固有频率一定相等 C．阻尼振动的振幅逐渐减小，周期也随之减小 D．单摆的周期与摆球质量成正比，与摆长平方根成正比 【答案】A 【详解】A．简谐运动的回复力满足公式 即回复力大小与位移大小成正比，回复力方向与位移方向相反，始终指向平衡位置，故A正确； B．物体做受迫振动时，稳定振动的频率等于驱动力的频率，与自身固有频率无关，若发生共振时振动频率才等于固有频率，故B错误； C．阻尼振动的振幅因能量损耗逐渐减小，但周期由振动系统本身的性质决定，与振幅无关，周期保持不变，故C错误； D．根据单摆周期公式可知，单摆周期与摆球质量无关，仅与摆长的平方根成正比，故D错误。 故选A。 9．如图所示为一单摆装置，点是摆球的平衡位置，、两点为摆球摆动过程中的最高点（摆角小于5°）。不计空气阻力，在摆球由点运动到点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．摆球在点时的回复力最大 B．摆球在点时的回复力最小 C．摆球在点时的加速度方向水平向右 D．摆球在点时的加速度为0 【答案】B 【详解】AB．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力。在平衡位置点，重力沿切线方向的分力为，因此回复力最小，等于；在最高点、回复力最大，故A错误，B正确； CD．摆球经过点时，做圆周运动，速度不为零，需要指向圆心（沿绳竖直向上）的向心力，因此合外力方向竖直向上，加速度不为零，方向竖直向上，故CD错误。 故选B。 10．单摆在做简谐运动时，下列物理量与摆球速率变化趋势相一致的是（     ） A．重力势能 B．回复力大小 C．机械能 D．动能 【答案】D 【详解】单摆做简谐运动时，从最高点向平衡位置运动过程速率增大，从平衡位置向最高点运动过程速率减小 A．重力势能公式为，速率增大时摆球高度降低，重力势能减小，二者变化趋势相反，A错误； B．单摆回复力大小满足（为相对平衡位置的位移），速率增大时位移减小，回复力减小，二者变化趋势相反，B错误； C．单摆运动过程只有重力做功，机械能守恒，大小始终不变，与速率的变化趋势不同，C错误； D．动能公式为，动能随速率增大而增大，随速率减小而减小，二者变化趋势一致，D正确。 故选D。 素养提升 11．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin100πt(cm) C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】A 【详解】A．由题图乙可知，单摆的周期为2s，振幅为8cm，由单摆的周期公式 代入数据解得，故A正确； B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为，故B错误； C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，故C错误； D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，故D错误。 故选A。 12．甲、乙两个单摆在同一平面内各自做简谐运动，从t=0时刻开始计时，0~8s内它们的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．两摆球质量相等 B．甲单摆的周期是乙单摆的两倍 C．t=0时刻甲、乙的相位差为 D．从计时开始，甲摆球第2次经过最低点时甲、乙两摆球速度方向相反 【答案】C 【详解】A．单摆的周期与振幅都与质量无关，故质量无法判断，故A错误； B．由振动图像可知，甲单摆完成一次全振动的时间（即周期）为，乙单摆完成一次全振动的时间（即周期）为，故B错误； C．t=0时刻，甲摆球处于正向最大位移处，其相位为，乙摆球处于平衡位置且向正方向运动，其相位为0，所以甲、乙的相位差，故C正确； D．从计时开始，甲摆球第2次经过最低点时，用时，速度为最大，此时，乙处于负向最大位移处，故乙摆球速度为零，故D错误。 故选C。 13．甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（     ） A．摆长之比为 B．振动频率之比为2∶3 C．在时刻，振动方向相反 D．在时刻，加速度均不为零 【答案】D 【详解】A．由图像可知，甲、乙单摆振动周期之比为2：1，根据单摆的周期公式可知，甲、乙单摆摆长之比为4：1，故A错误； B．根据周期与频率的关系所以振动频率之比为1：2，故B错误； C．根据振动图像可知，在时刻，甲、乙两单摆均沿轴正向振动，故C错误； D．在时刻，沿振动方向的加速度均为零，但还有向心加速度，因此加速度不为零，故D正确。 故选D。 14．如图所示为一单摆的振动图像，则（　　） A．t1和t3时刻摆线的拉力大小相等 B．t2和t3时刻摆球速度相等 C．t3时刻摆球速度正在减小 D．t4时刻摆线的拉力正在增大 【答案】A 【详解】A．由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线的拉力大小相等，故A正确； B．t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误； C．t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C错误； D．t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线的拉力也减小，故D错误。 故选A。 15．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 【答案】D 【详解】A．由题图可知时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误； B．时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误； C．时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C错误； D．时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确。 故选D。 迁移创新 16．精彩绝伦的杂技表演中，有一个节目如图所示，两名演员在同一个杆上绕悬点做一些高难度动作，现将某一段运动过程简化如下，从左侧最高点到最低点过程中，两名演员重心高度相同，身体弯曲，经过最低点时，调整动作，两演员身体均伸直（演员速度未变），之后保持此姿势一起运动到右侧最高点点，若杆的质量可忽略不计，摆动幅度远小于杆长，不计空气阻力，下列说法错误的是（     ） A．过程比过程用的时间长 B．的过程，回复力逐渐减小 C．两演员在最低点时，回复力和加速度都为零 D．点位置比点位置要高 【答案】C 【详解】A．将该摆动看作是单摆，因过程两名演员的重心低于过程，则单摆摆长减小，周期变短，即过程比过程用的时间长，A正确； B．过程逐渐向平衡位置运动，根据，回复力减小，B正确； C．点时离开平衡位置的位移为零，则回复力为零，在点具有向心加速度，故加速度不为零，C错误； D．演员调整了重心高度，速度不变，两演员上升过程中机械能守恒，重心升高的高度不变，故点位置比点高，D正确。 此题选择错误的，故选C。 17．如图所示，上表面为光滑足够小的圆弧槽（弧ACB的长度远远小于所在圆的半径）固定在水平地面上，C为圆弧槽最低点，D为弧CB上的点，现将完全相同且可视为质点的小球分别从A与D两点静止同时释放，两小球相撞时视为弹性碰撞，下列说法正确的是（　　） A．两小球在C点相撞 B．两小球在C点左侧相撞 C．两小球在相撞前的瞬间加速度大小相同 D．两小球第一次相撞后，都能回到最初的位置 【答案】A 【详解】AB．由于弧长远小于R，所以两球的运动都可以看作是单摆，由单摆的等时性可知，两球从释放到最低点的时间都等于单摆周期的四分之一，根据单摆的周期公式可知，两小球摆长相等，则周期相等，所以两球会同时到达C点相撞，故A正确，B错误； C．两小球在相撞前的瞬间加速度大小为 根据机械能守恒定律可得 所以 由于两小球从初始位置运动到最低点时竖直高度不相等，所以加速度不相等，故C错误； D．设左侧小球运动到最低点的速度大小为v1，右侧小球运动到最低点的速度大小为v2，由于两小球发生弹性碰撞，根据动量守恒定律可得， 联立解得， 即两小球碰撞后进行速度交换，所以左侧小球将返回到初始右侧小球初始释放的高度处，右侧小球将返回到左侧小球初始释放的高度处，故D错误； 故选A。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 第3节 单摆 课标要点 1. 理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时，回复力的来源； 2. 知道影响单摆周期的因素，能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题。 学习重难点 重点：了解单摆振动时，回复力的来源； 难点：了解影响单摆周期的因素，能够熟练运用单摆的周期公式解决问题。 知识点 单摆及其回复力 1. 单摆的理想化模型 单摆是实际摆的一种理想化模型，需满足以下条件： ①悬挂物体的绳子质量可以忽略不计； ②绳长比物体的尺寸大得多； ③物体可以看作质点。 这样的装置就可以看作单摆。 2. 单摆的受力分析 单摆在振动过程中受两个力作用： ①重力 mg （竖直向下）； ②绳子的拉力 T （沿绳指向悬点）。 3. 回复力的来源 单摆的回复力不是重力和拉力的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力。 设摆角为，摆球偏离平衡位置的位移为x，摆长为L，则回复力大小为： 当摆角很小时，有 ，代入得： ，L为摆长，x为摆球偏移平衡位置的距离，负号表示力的方向与位移方向相反。 4. 单摆做简谐运动的条件 ①必要条件：摆角 θ<5∘ （此时成立）； ②理想化条件：绳质量不计、摆球可视为质点、空气阻力不计。 特别提醒 单摆的回复力是重力沿切向的分力，不是重力和拉力的合力。在平衡位置（最低点），回复力为零，但合力不为零（合力提供向心力）。在最大位移处，速度为零，向心力为零，此时合力等于回复力。 随学随练 1．关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的回复力也可以是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F=-kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 2．（多选）如图所示，一根不可伸缩的轻绳一端系在天花板上，一端与一质量为m的小球连接，轻绳长为L。现将小球拉起，使轻绳与竖直方向成一小角度θ（θ＜5°），由静止释放小球，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，小球可视为质点，下列说法正确的是（     ） A．小球做简谐运动的回复力为重力和轻绳拉力的合力 B．小球做简谐运动的回复力为重力沿轨迹圆弧切线方向的分力 C．小球做简谐运动的周期为2π D．小球运动到最低点时所受合力为零 知识点 单摆的周期 1. 影响单摆周期的因素 通过实验探究可知，在摆角很小的情况下： ·单摆的周期与小球质量无关； ·单摆的周期与振幅无关； ·单摆的周期与摆长有关； ·单摆的周期与重力加速度有关。 2. 单摆的周期公式 荷兰物理学家惠更斯首先发现了单摆的周期公式： ·L为等效摆长（悬点到摆球重心的距离）； ·g为当地的重力加速度。 3. 对周期公式的理解 ·周期 T 跟摆长 L 的二次方根成正比； ·周期 T 跟重力加速度g的二次方根成反比； ·周期 T 与摆球质量、振幅（摆角小于时）无关； ·单摆的周期由系统本身的性质决定，称为固有周期，其频率为 。 随学随练 1．摆钟是最早能够精确计时的一种工具，至今仍在很多地方使用。把摆钟的钟摆简化成一个摆长为L的单摆，如图所示。摆球质量为m，不计细线质量和空气阻力，将摆球从最低点在竖直平面内向左缓慢拉开一个偏角θ（θ＜5°），静止释放。下列说法正确的是（     ） A．增大m会使该钟摆周期增大 B．增大L会使该钟摆周期减小 C．摆球在最低点时受力平衡 D．摆球在最低点时的回复力为零 2．一个单摆做简谐运动，周期为T。若将摆长缩短为原来的，其他条件不变，则新的周期为（　　） A． B． C．2T D．4T 知识点 单摆模型的拓展 1. 类单摆模型 在光滑弧面上来回滚动的小球（可视为质点），若圆弧半径 R 远大于运动弧长，则小球的运动可看成简谐运动，其周期为： 此时圆弧半径 R 相当于单摆的摆长。 2. 等效摆长 在某些变形单摆中，摆球做简谐运动的等效摆长不一定等于绳长，而是指摆球做圆周运动的圆心到摆球重心的距离。 常见情形： ·双线摆：等效摆长为 （为两绳夹角的一半）； ·折线摆（钉挡摆）：碰到钉子后摆长变短，需分段计算； ·圆弧摆：等效摆长为圆弧半径减去摆球半径。 3. 等效重力加速度 一般情况下，公式中的g值等于摆球相对系统"静止"在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 常见情形： 加速系统（如向上加速的电梯）：=g+a； 减速系统（如向下加速的电梯）：=g−a； 斜面摆（光滑斜面上）：（α为斜面倾角）； 电场中：需考虑电场力对回复力的影响。 随学随练 1．某同学设计了如图所示的单摆实验，将摆长为l的单摆上端固定在天花板上O点处，下端连接一小球，在O点正下方的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，取向右为正方向。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的关系的是（     ） A． B． C． D． 2．在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态，如图所示。现给小球一垂直于细线的初速度，使小球在水平面上开始运动。若很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为（　　） A． B． C． D． 题型 单摆回复力与运动规律分析 1. 受力分析要点： ·明确单摆只受重力和绳的拉力两个力； ·回复力是重力沿切线方向的分力，不是合力； ·在平衡位置，回复力为零，但合力提供向心力，不为零； ·在最大位移处，速度为零，向心力为零，合力等于回复力。 2. 运动规律分析： ·靠近平衡位置：位移减小，回复力减小，加速度减小，速度增大； ·远离平衡位置：位移增大，回复力增大，加速度增大，速度减小； ·平衡位置：速度最大，动能最大，势能最小； ·最大位移处：速度为零，动能为零，势能最大。 3. 简谐运动条件的判断： ·首先看摆角是否小于 5°； ·其次看回复力是否满足 的形式。 活学活用 1．如图所示为小球在做单摆运动，平衡位置为点，、为最大位移处，、点关于点对称。小球运动到点时，小球受到重力和拉力，这两力的合力图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 2．图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在点和点处，速度为零，回复力也为零 C．摆球在点处，速度最大，细线拉力也最大 D．摆球在点处，速度最大，回复力也最大 题型 单摆周期公式的理解与应用 1. 周期公式的适用条件： ·仅适用于摆角 的情况； ·L为等效摆长（悬点到球心的距离）； ·g为当地的重力加速度或等效重力加速度。 2. 比例关系的应用： ·：摆长变为原来的n倍，周期变为原来的倍； ·：重力加速度变为原来的n倍，周期变为原来的倍； ·与质量、振幅无关。 3. 常见场景分析： ·地点变化（如赤道到两极）：g变化导致T变化； ·摆长变化（如绳长改变、钉挡摆）：L变化导致T变化； ·系统加速：利用等效重力加速度分析周期变化。 活学活用 1．已知地球和天王星的密度和半径参数如表所示。假如将摆长为的单摆移动到天王星表面，则它的振动周期约为（　　） 行星 密度 半径（） 地球 5.5 6400 天王星 1.3 25000 A． B． C． D． 2．如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，g=10m/s²，π2≈10，下列说法正确的是（　　） A．甲单摆的摆长较小 B．甲摆的振幅比乙摆的大 C．甲摆的最大偏角为0.05° D．在t=0.5s时有正向最大加速度的是甲摆 题型等效单摆问题 1. 等效摆长的确定方法： ·找到摆球做圆周运动的圆心（等效悬点）； ·测量圆心到摆球重心的距离，即为等效摆长； ·注意：遇到钉子、圆弧面等情况时，圆心位置可能发生变化。 2. 等效重力加速度的确定方法： ·让摆球相对系统静止在平衡位置； ·分析此时绳的拉力； ·等效重力加速度。 3. 常见模型速解： ·钉挡摆：周期为两个不同摆长单摆周期的一半之和，即； ·圆弧摆：直接用圆弧半径 R 代替摆长 L （注意减去球半径）； ·斜面摆/电场中：先求等效g，再代入周期公式。 活学活用 1．如图所示，一光滑圆环竖直固定放置，为其竖直直径，穿在光滑直杆上的小球a从点由静止释放，到达点所用的时间为；穿在圆环上的小球b从靠近点的点由静止释放，第1次到达点所用的时间为。已知、均在圆环上，远小于圆环的半径，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 2．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为。摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为，摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、F3、均已知。当地的重力加速度为g。下列选项正确的是（     ） A．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 B．单摆n次全振动的时间为 C．多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 D．在图2的测量过程中，满足的关系 基础通关 1．单摆在小角度范围内摆动，摆球在t=0时刻从最高点由静止释放，摆动过程中单摆的能量随时间变化的图线如图中①②③所示。下列说法正确的是（     ） A．图线①表示机械能，其大小与振幅无关 B．图线②和③分别表示重力势能和动能 C．单摆的周期为 D．在时间内，小球受到的回复力增大 2．荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动，如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为摆球，忽略空气阻力，在摆动过程中，下列说法正确的是（　　） A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力和向心力的作用 B．经过最低点时摆球处于平衡状态 C．远离最低点运动的过程中，摆球的动能逐渐减小 D．摆球做简谐运动时，摆线越短，其运动周期越大 3．物体做机械振动时，下列叙述正确的是（　　） A．单摆的平衡位置就是回复力为零的位置 B．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确 C．单摆到达平衡位置时，合力一定为零 D．做简谐运动的物体最大位移就是振幅 4．两个小球P、Q构成的单摆振动的图像如下表所示（位移x随时间t变化的部分数据）。下列说法正确的是（     ） 时间t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 P位移x/cm 5.0 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 Q位移x/cm 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 2.5 A．t=0.6s时，P和Q的速度都为0 B．t=1.0s时，P和Q的速度方向相同 C．t=1.0s时，P和Q的加速度方向相同 D．根据图像无法比较P和Q的摆长 5．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时其中细沙匀速流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面应是如图中的（　　） A． B． C． D． 6．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2，对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x 随时间t变化的关系式为x=10sin（2πt）cm B．单摆的摆长约为 10cm C．从t=2s到t=2.5s的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大 D．从t=2s到t=2.5s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大 7．如图甲所示，单摆固定悬点为O，将摆球拉至A点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角，B点为运动中的最低位置。从A点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力三个力的作用 C．摆球在B点处，向心加速度最大，回复力也最大 D．在的时间内，摆球从B点向A点运动 8．下列关于机械振动的说法中，正确的是（　　） A．简谐运动的回复力大小与位移的大小成正比，方向总指向平衡位置 B．物体做受迫振动时，振动频率与固有频率一定相等 C．阻尼振动的振幅逐渐减小，周期也随之减小 D．单摆的周期与摆球质量成正比，与摆长平方根成正比 9．如图所示为一单摆装置，点是摆球的平衡位置，、两点为摆球摆动过程中的最高点（摆角小于5°）。不计空气阻力，在摆球由点运动到点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．摆球在点时的回复力最大 B．摆球在点时的回复力最小 C．摆球在点时的加速度方向水平向右 D．摆球在点时的加速度为0 10．单摆在做简谐运动时，下列物理量与摆球速率变化趋势相一致的是（     ） A．重力势能 B．回复力大小 C．机械能 D．动能 素养提升 11．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin100πt(cm) C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 12．甲、乙两个单摆在同一平面内各自做简谐运动，从t=0时刻开始计时，0~8s内它们的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．两摆球质量相等 B．甲单摆的周期是乙单摆的两倍 C．t=0时刻甲、乙的相位差为 D．从计时开始，甲摆球第2次经过最低点时甲、乙两摆球速度方向相反 13．甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（     ） A．摆长之比为 B．振动频率之比为2∶3 C．在时刻，振动方向相反 D．在时刻，加速度均不为零 14．如图所示为一单摆的振动图像，则（　　） A．t1和t3时刻摆线的拉力大小相等 B．t2和t3时刻摆球速度相等 C．t3时刻摆球速度正在减小 D．t4时刻摆线的拉力正在增大 15．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 迁移创新 16．精彩绝伦的杂技表演中，有一个节目如图所示，两名演员在同一个杆上绕悬点做一些高难度动作，现将某一段运动过程简化如下，从左侧最高点到最低点过程中，两名演员重心高度相同，身体弯曲，经过最低点时，调整动作，两演员身体均伸直（演员速度未变），之后保持此姿势一起运动到右侧最高点点，若杆的质量可忽略不计，摆动幅度远小于杆长，不计空气阻力，下列说法错误的是（     ） A．过程比过程用的时间长 B．的过程，回复力逐渐减小 C．两演员在最低点时，回复力和加速度都为零 D．点位置比点位置要高 17．如图所示，上表面为光滑足够小的圆弧槽（弧ACB的长度远远小于所在圆的半径）固定在水平地面上，C为圆弧槽最低点，D为弧CB上的点，现将完全相同且可视为质点的小球分别从A与D两点静止同时释放，两小球相撞时视为弹性碰撞，下列说法正确的是（　　） A．两小球在C点相撞 B．两小球在C点左侧相撞 C．两小球在相撞前的瞬间加速度大小相同 D．两小球第一次相撞后，都能回到最初的位置 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $