第三单元 多边形的面积（思维拓展培优）-五年级上册数学从课本到奥数系列讲义（苏教版）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理多边形面积单元知识，涵盖平行四边形、三角形、梯形面积推导与应用，公顷与平方千米换算，组合及不规则图形面积计算六大知识点，每个知识点从公式推导、核心性质到易错点分层呈现，突出转化思想、等积变形等内在联系。 讲义亮点在于“推导-应用-拓展”的递进式题型设计，如平行四边形推拉变形问题培养几何直观与空间观念，三角形等积变形例题强化推理意识，分层培优练习覆盖选择、解答题，基础学生掌握方法，优秀学生拓展思维，助力教师实施精准化复习教学。

第三单元 多边形的面积（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：平行四边形的面积推导与应用 1. 面积公式推导 (1) 转化思想：利用“割补法”，沿平行四边形的高剪开，平移拼接成一个长方形。 (2) 对应关系：拼成的长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 (3) 结论：因为长方形面积 = 长 × 宽，所以平行四边形面积 = 底 × 高。 (4) 字母公式： （其中 表示面积， 表示底， 表示高）。 2. 核心性质与应用 (1) 等底等高特性：等底等高的平行四边形面积相等；形状可以不同，但面积一定相同。 (2) 逆向应用：已知面积和底，求高： ；已知面积和高，求底： 。 (3) 拉伸变形规律：用木条钉成的平行四边形框架，拉成长方形时，周长不变，面积变大（因为高变大了，最大高等于邻边长）；压扁时，周长不变，面积变小。 知识点二：三角形的面积与等积变形 1. 面积公式推导 (1) 倍拼法：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 (2) 对应关系：三角形的底等于平行四边形的底，高等于平行四边形的高。 (3) 结论：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 (4) 字母公式： 或 。 2. 易错点与关键细节 (1) 除以2的重要性：计算三角形面积时切勿遗漏“ ”；反之，已知面积求底或高时，需先乘2再除以已知量（即 ， ）。 (2) 底高对应：公式中的底和高必须是相互对应的（即高必须是该底边上的垂直距离）。 3. 等积变形原理（培优重点） (1) 同底等高模型：若两个三角形底相等、高相等，则面积相等。 (2) 夹在平行线间：两条平行线之间的三角形，若底边在同一条直线上且长度相等，顶点在另一条平行线上，则这些三角形面积均相等。 (3) 共边模型：若两个三角形共用一条底边，且第三个顶点所在的直线与底边平行，则面积相等。此原理常用于几何图形中的面积替换与简化计算。 知识点三：梯形的面积公式与逆向应用 1. 面积公式推导 (1) 拼接法：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 (2) 对应关系：平行四边形的底 = 梯形的（上底 + 下底），高 = 梯形的高。 (3) 结论：梯形面积 = （上底 + 下底）× 高 ÷ 2。 (4) 字母公式： （其中 为上底， 为下底， 为高）。 2. 特殊梯形与逆向思维 (1) 直角梯形：其中一个腰即为高，计算时直接代入。 (2) 逆运算公式： 1　 已知面积、高、上底，求下底： 2　 已知面积、高、下底，求上底： 3　 已知面积、上底、下底，求高： (3) 注意：所有涉及梯形的逆运算，第一步必须先将面积乘以2。 知识点四：公顷与平方千米的认识与换算 1. 单位定义 (1) 公顷（hm²）：边长是100米的正方形面积是1公顷。 1　 。 2　 适用场景：测量校园、公园、广场、大型建筑用地等中等规模土地面积。 (2) 平方千米（km²）：边长是1千米的正方形面积是1平方千米。 1　 。 2　 。 3　 适用场景：测量城市、省份、国家、湖泊、森林等大规模土地面积。 2. 单位换算体系 (1) 进率记忆： 1　 平方米 公顷 平方千米 2　 平方米 平方千米 (2) 换算技巧： 1　 大单位换小单位：乘以进率（小数点向右移动）。 2　 小单位换大单位：除以进率（小数点向左移动）。 (3) 常见陷阱：注意区分“平方米”与“公顷”之间是4个0，“公顷”与“平方千米”之间是2个0。 知识点五：组合图形面积的计算 1. 基本解题策略 (1) 分割法（加法）：将组合图形分割成若干个已学过的简单图形（如长方形、三角形、梯形），分别计算面积后求和。关键：寻找辅助线，确保分割后的图形数据可求。 (2) 添补法（减法）：将组合图形补成一个大的规则图形，计算出大图形的面积，再减去空白部分（多余部分）的面积。关键：适用于凹形或缺角图形，通常比分割法步骤更少。 2. 高级思维技巧（培优） (1) 割补平移法：将图形的一部分切割下来，平移到另一位置，使不规则部分转化为规则图形（如将半圆移至空缺处形成矩形）。 (2) 重叠扣除法：当两个图形重叠时，总面积 = 图形A面积 + 图形B面积 - 重叠部分面积。 (3) 整体减空白：在方格纸或特定背景下，用外接矩形面积减去周围几个直角三角形或梯形的面积，是解决复杂多边形面积的高效方法。 知识点六：不规则图形的面积估算 1. 数方格法 (1) 规则： 1　 满格的按1格计算。 2　 不满格的按半格计算。 (2) 步骤：数出整格数 ，数出不满格数 ，面积 。 (3) 误差控制：方格越小，估算结果越精确。 2. 近似图形法 (1) 将不规则图形看作一个与其形状接近的规则图形（如将树叶看作椭圆或三角形，将池塘看作梯形）。 (2) 测量出近似图形的关键数据（底、高、半径等），利用公式计算。 (3) 适用性：适用于对精度要求不高，或无法使用方格纸的实际生活场景。 重难点题型精讲 题型一、平行四边形的面积推导与应用 【例题1】如图，一个长方形框架，推拉变形为一个平行四边形。原来长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米；比现在平行四边形的面积大( )平方厘米。 【跟踪训练1】林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 题型二、三角形的面积与等积变形 【例题2】如图中，平行四边形的面积是180平方分米，则三角形的面积是( )平方分米。 【跟踪训练2】你认识如图的道路交通警示牌吗？做如图这样的三块大小相同的警示牌大约需要多少平方厘米的不锈钢钢板？每平方分米不锈钢钢板重3千克，这些不锈钢钢板共重多少千克？ 题型三、梯形的面积公式与逆向应用 【例题3】一堆钢管，相邻两层之间相差1根，已知最上层有8根，最下层有16根，这堆钢管共有( )根。 【跟踪训练3】一个梯形的下底是10厘米，把它的上底一端延长6厘米，就成为一个面积是30平方厘米的平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 题型四、公顷与平方千米的认识与换算 【例题4】在括号里填上合适的数。 3公顷＝( )平方米         5000公顷＝( )平方千米 4平方千米＝( )公顷＝( )平方米 【跟踪训练4】小明家有一块平行四边形麦田，底是500米，高是120米，今年共收获小麦630千克，平均每公顷收多少千克小麦？ 题型五、组合图形面积的计算 【例题5】计算下面组合图形的面积。（单位：cm） 【跟踪训练5】求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 题型六、不规则图形的面积估算 【例题6】估测图形的面积，下图涂色部分的面积大约是( )平方厘米。 【跟踪训练6】下图是一片树叶的平面图（每个小方格表示1平方厘米）这片树叶的面积大约是( )平方厘米。（不满整格的，都按半格进行计算） 培优练习 1．一个三角形和一个平行四边形等底等高，平行四边形的面积比三角形的面积多16平方分米，这个三角形的面积是（    ）平方分米。 A．8 B．16 C．24 D．32 2．阴影部分的面积不是图形①面积的一半的是（    ）。 A．A B．B C．C D．无 3．如图，每个小方格的边长表示1cm，图案的面积约是（    ）cm2。 A．30 B．44 C．55 D．70 4．如图，比较梯形中甲、乙两个阴影部分三角形的面积，甲的面积（    ）乙的面积。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 5．一个三角形的面积是30平方厘米，底是6厘米，高是( )厘米；如果一个平行四边形与这个三角形的面积和高都相等，这个平行四边形与高对应的底是( )厘米。 6．一个长方形木框，长10分米，宽8分米，把它拉成一个高是7分米的平行四边形，平行四边形的面积是( )平方分米。 7．如图，大平行四边形的面积是100km2，A、B，分别是它上、下两边的中点，图中阴影部分的面积是( )公顷。 8．一块平行四边形涂鸦板分成黑白两部分（如图），黑色部分的面积比白色部分大24平方米。黑色部分的面积是( )平方米。 9．中秋以圆月比喻团圆，月饼作为象征符号更是必不可少。糕点师傅将莲蓉月饼、五仁月饼等月饼摆成梯形贡塔形状，象征“步步高升”。已知最底层摆放13个月饼，每往上一层减少1个，共8层。这座“月饼塔”共有( )个月饼。 10．计算下列组合图形的面积。（单位：cm） 11．计算下面图形中涂色部分的面积。 （1）            （2） 12．如图，小正方形ABCD的边长是4厘米，大正方形CEFG的边长是8厘米，求图中阴影部分的面积。 13．把一边长20厘米的正方形拉成平行四边形后，它的面积减少80平方厘米，这个平行四边形的高是多少厘米？ 14．如下图，公园里有一块长方形草坪，管理人员打算在中间修建两条完全相同的平行四边形小路。此时草坪的面积是多少平方米？ 15．陈家村新修一条水渠，渠道的横截面是梯形（如图）。这个梯形的面积是432平方分米，渠底宽24分米，渠口宽是渠底宽的2倍，这条水渠深多少分米？ 16．张奶奶家有一块直角梯形的瓜地上底是20米，下底是34米，其中阴影部分的种甜瓜的面积是340平方米，梯形瓜地的面积是多少平方米？ 17．淘气的爸爸在淘气卧室的墙角安装了一个小书桌，如下图所示，书桌的面积是多少平方分米？（单位：分米） 18．“月季花展”是人民公园的特色之一。为了估算人民公园的面积，甜甜绘制了公园的平面图，并测出相关数据（如下图）。请你利用这些数据帮助甜甜算一算人民公园的面积。 (1)你想怎样求这个图形的面积？在平面图上画一画。 (2)按照你的想法算出人民公园的面积是多少平方米？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 多边形的面积（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：平行四边形的面积推导与应用 1. 面积公式推导 (1) 转化思想：利用“割补法”，沿平行四边形的高剪开，平移拼接成一个长方形。 (2) 对应关系：拼成的长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 (3) 结论：因为长方形面积 = 长 × 宽，所以平行四边形面积 = 底 × 高。 (4) 字母公式： （其中 表示面积， 表示底， 表示高）。 2. 核心性质与应用 (1) 等底等高特性：等底等高的平行四边形面积相等；形状可以不同，但面积一定相同。 (2) 逆向应用：已知面积和底，求高： ；已知面积和高，求底： 。 (3) 拉伸变形规律：用木条钉成的平行四边形框架，拉成长方形时，周长不变，面积变大（因为高变大了，最大高等于邻边长）；压扁时，周长不变，面积变小。 知识点二：三角形的面积与等积变形 1. 面积公式推导 (1) 倍拼法：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 (2) 对应关系：三角形的底等于平行四边形的底，高等于平行四边形的高。 (3) 结论：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 (4) 字母公式： 或 。 2. 易错点与关键细节 (1) 除以2的重要性：计算三角形面积时切勿遗漏“ ”；反之，已知面积求底或高时，需先乘2再除以已知量（即 ， ）。 (2) 底高对应：公式中的底和高必须是相互对应的（即高必须是该底边上的垂直距离）。 3. 等积变形原理（培优重点） (1) 同底等高模型：若两个三角形底相等、高相等，则面积相等。 (2) 夹在平行线间：两条平行线之间的三角形，若底边在同一条直线上且长度相等，顶点在另一条平行线上，则这些三角形面积均相等。 (3) 共边模型：若两个三角形共用一条底边，且第三个顶点所在的直线与底边平行，则面积相等。此原理常用于几何图形中的面积替换与简化计算。 知识点三：梯形的面积公式与逆向应用 1. 面积公式推导 (1) 拼接法：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 (2) 对应关系：平行四边形的底 = 梯形的（上底 + 下底），高 = 梯形的高。 (3) 结论：梯形面积 = （上底 + 下底）× 高 ÷ 2。 (4) 字母公式： （其中 为上底， 为下底， 为高）。 2. 特殊梯形与逆向思维 (1) 直角梯形：其中一个腰即为高，计算时直接代入。 (2) 逆运算公式： 1　 已知面积、高、上底，求下底： 2　 已知面积、高、下底，求上底： 3　 已知面积、上底、下底，求高： (3) 注意：所有涉及梯形的逆运算，第一步必须先将面积乘以2。 知识点四：公顷与平方千米的认识与换算 1. 单位定义 (1) 公顷（hm²）：边长是100米的正方形面积是1公顷。 1　 。 2　 适用场景：测量校园、公园、广场、大型建筑用地等中等规模土地面积。 (2) 平方千米（km²）：边长是1千米的正方形面积是1平方千米。 1　 。 2　 。 3　 适用场景：测量城市、省份、国家、湖泊、森林等大规模土地面积。 2. 单位换算体系 (1) 进率记忆： 1　 平方米 公顷 平方千米 2　 平方米 平方千米 (2) 换算技巧： 1　 大单位换小单位：乘以进率（小数点向右移动）。 2　 小单位换大单位：除以进率（小数点向左移动）。 (3) 常见陷阱：注意区分“平方米”与“公顷”之间是4个0，“公顷”与“平方千米”之间是2个0。 知识点五：组合图形面积的计算 1. 基本解题策略 (1) 分割法（加法）：将组合图形分割成若干个已学过的简单图形（如长方形、三角形、梯形），分别计算面积后求和。关键：寻找辅助线，确保分割后的图形数据可求。 (2) 添补法（减法）：将组合图形补成一个大的规则图形，计算出大图形的面积，再减去空白部分（多余部分）的面积。关键：适用于凹形或缺角图形，通常比分割法步骤更少。 2. 高级思维技巧（培优） (1) 割补平移法：将图形的一部分切割下来，平移到另一位置，使不规则部分转化为规则图形（如将半圆移至空缺处形成矩形）。 (2) 重叠扣除法：当两个图形重叠时，总面积 = 图形A面积 + 图形B面积 - 重叠部分面积。 (3) 整体减空白：在方格纸或特定背景下，用外接矩形面积减去周围几个直角三角形或梯形的面积，是解决复杂多边形面积的高效方法。 知识点六：不规则图形的面积估算 1. 数方格法 (1) 规则： 1　 满格的按1格计算。 2　 不满格的按半格计算。 (2) 步骤：数出整格数 ，数出不满格数 ，面积 。 (3) 误差控制：方格越小，估算结果越精确。 2. 近似图形法 (1) 将不规则图形看作一个与其形状接近的规则图形（如将树叶看作椭圆或三角形，将池塘看作梯形）。 (2) 测量出近似图形的关键数据（底、高、半径等），利用公式计算。 (3) 适用性：适用于对精度要求不高，或无法使用方格纸的实际生活场景。 重难点题型精讲 题型一、平行四边形的面积推导与应用 【例题1】如图，一个长方形框架，推拉变形为一个平行四边形。原来长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米；比现在平行四边形的面积大( )平方厘米。 【答案】 26 40 8 【分析】长方形框架推拉变成平行四边形，四条边长度不变，因此周长不变；长方形长8厘米，宽5厘米，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长方形面积公式：面积＝长×宽，分别求出长方形的周长和面积；推拉后平行四边形底是8厘米，高是4厘米，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，求出平行四边形面积，再用长方形面积减去平行四边形面积，得到面积相差多少。 【详解】长方形周长：（8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 长方形面积：8×5＝40（平方厘米） 平行四边形面积：8×4＝32（平方厘米） 面积差：40－32＝8（平方厘米） 【跟踪训练1】林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 【答案】152平方米 【分析】将石子路两侧的种菜区域向中间平移，能拼成一个新的平行四边形。用原平行四边形的底减去石子路的底即可求出新平行四边形的底，即20－1＝19米；新平行四边形的高与原平行四边形的高相同，为8米；最后根据“平行四边形的面积＝底×高”即可求出种菜的面积。据此解答。 【详解】（20－1）×8 ＝19×8 ＝152（平方米） 答：种菜的面积是152平方米。 题型二、三角形的面积与等积变形 【例题2】如图中，平行四边形的面积是180平方分米，则三角形的面积是( )平方分米。 【答案】135 【分析】根据平行四边形面积底高，可以算出平行四边形的高；由图可知三角形与平行四边形是等高的，代入三角形面积公式：底高，即可求出三角形面积。 【详解】（分米） （平方分米） 【跟踪训练2】你认识如图的道路交通警示牌吗？做如图这样的三块大小相同的警示牌大约需要多少平方厘米的不锈钢钢板？每平方分米不锈钢钢板重3千克，这些不锈钢钢板共重多少千克？ 【答案】10800平方厘米，324千克 【分析】三角形面积＝底×高÷2，求出一块三角形警示牌的面积再乘3求出3块的总面积；总面积除以进率100将单位化为平方分米，然后乘每平方分米的质量求出铁板总质量。 【详解】90×80÷2×3 ＝7200÷2×3 ＝3600×3 ＝10800（平方厘米） 10800平方厘米＝108平方分米 108×3＝324（千克） 答：做如图这样的三块大小相同的警示牌大约需要10800平方厘米的不锈钢钢板；这些不锈钢钢板共重324千克。 题型三、梯形的面积公式与逆向应用 【例题3】一堆钢管，相邻两层之间相差1根，已知最上层有8根，最下层有16根，这堆钢管共有( )根。 【答案】 108 【分析】从最上层的8根钢管开始，每层增加1根，最下层为16根，由于每层增加1根钢管，则一共有（16－8＋1＝9）层，可以将这堆钢管看作一个梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可得出答案。 【详解】16－8＋1＝9（层） （8＋16）×9÷2 ＝24×9÷2 ＝108（根） 即这堆钢管共有108根。 【跟踪训练3】一个梯形的下底是10厘米，把它的上底一端延长6厘米，就成为一个面积是30平方厘米的平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】 21 平方厘米 【分析】把梯形的上底延长6厘米后变成一个平行四边形，说明平行四边形的底等于梯形的下底，且延长的长度等于梯形下底与上底的差。由此可求出梯形的上底。已知平行四边形的面积和底（即梯形的下底），根据平行四边形面积公式可求出高，该高也是梯形的高。最后利用梯形面积公式计算原来梯形的面积。 【详解】梯形的上底：（厘米） 梯形的高：（厘米） 梯形的面积： ＝ ＝21（平方厘米） 答：原来梯形的面积是 21 平方厘米。 题型四、公顷与平方千米的认识与换算 【例题4】在括号里填上合适的数。 3公顷＝( )平方米         5000公顷＝( )平方千米 4平方千米＝( )公顷＝( )平方米 【答案】 30000 50 400 4000000 【分析】根据1公顷＝10000平方米和1平方千米＝100公顷直接换算即可。 【详解】3×10000＝30000，3公顷＝（30000）平方米 5000÷100＝50，5000公顷＝（50）平方千米 4×100＝400，400×10000＝4000000，4平方千米＝（400）公顷＝（4000000）平方米 【跟踪训练4】小明家有一块平行四边形麦田，底是500米，高是120米，今年共收获小麦630千克，平均每公顷收多少千克小麦？ 【答案】105千克 【分析】先利用平行四边形面积公式：面积＝底×高，求出麦田的面积；再把平方米换算成公顷；最后用小麦总千克数除以公顷数，求出平均每公顷收小麦的千克数。 【详解】500×120＝60000（平方米） 60000平方米＝6公顷 630÷6＝105（千克） 答：平均每公顷收105千克小麦。 题型五、组合图形面积的计算 【例题5】计算下面组合图形的面积。（单位：cm） 【答案】； 【分析】图一：将图形分割成一个长方形（长是6cm，宽是5cm）和一个梯形（上底是5cm、下底是10cm、高是（12－6）cm）；组合图形的面积＝长方形的面积＋梯形的面积。（长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2） 图二：组合图形的面积＝平行四边形的面积＋三角形的面积。（平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2） 【详解】图一： 图二： 【跟踪训练5】求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】88平方厘米；22平方厘米 【分析】图一：根据长方形的面积公式和梯形的面积公式计算出它们的面积，最后将它们相减即可。 图二：根据正方形的面积公式计算出两个正方形的面积，再根据三角形的面积公式计算出空白三角形的面积，最后将两个正方形的面积之和减去空白三角形的面积即可。 【详解】图一：16×10＝160（平方厘米） 10－4＝6（厘米） （8＋16）×6÷2 ＝24×6÷2 ＝144÷2 ＝72（平方厘米） 160－72＝88（平方厘米） 图二：6×6＋4×4 ＝36＋16 ＝52（平方厘米） （6＋4）×6÷2 ＝10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 52－30＝22（平方厘米） 题型六、不规则图形的面积估算 【例题6】估测图形的面积，下图涂色部分的面积大约是( )平方厘米。 【答案】315 【分析】由图可知，每个小方格的边长是3厘米，则每个小方格的面积是3×3＝9（平方厘米）；用数方格的方法估算涂色部分面积，满格算1格，不满格按半格计算；用每个小方格的面积乘总格数，得到涂色部分的大约面积。 【详解】由图可知，涂色部分大约有24个满格，22个不满格。 24＋22÷2＝24＋11＝35（个） 3×3＝9（平方厘米） 9×35＝315（平方厘米） 因此，图中涂色部分的面积大约是315平方厘米。（答案不唯一，合理即可） 【跟踪训练6】下图是一片树叶的平面图（每个小方格表示1平方厘米）这片树叶的面积大约是( )平方厘米。（不满整格的，都按半格进行计算） 【答案】48 【分析】先数出整格个数，再数出半格的个数，然后再求出它的面积。 【详解】整格的有36格，不满整格的有24个。 （平方厘米） 所以下图是一片树叶的平面图（每个小方格表示1平方厘米）这片树叶的面积大约是48平方厘米。 培优练习 1．一个三角形和一个平行四边形等底等高，平行四边形的面积比三角形的面积多16平方分米，这个三角形的面积是（    ）平方分米。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，二者的面积差正好等于三角形的面积。 【详解】把三角形面积看作1份，等底等高的平行四边形面积是2份。 （份） 1份对应的面积就是16平方分米，即三角形的面积是16平方分米。 2．阴影部分的面积不是图形①面积的一半的是（    ）。 A．A B．B C．C D．无 【答案】C 【详解】根据平行四边形的面积公式：，三角形的面积公式：，梯形的面积公式：，把数据分别代入公式求出它们的面积然后进行比较即可。 【解答】图①是平行四边形，底是6，高是3，它面积的一半是 A．三角形的底是6，高是3，面积是，正好是图形①面积的一半。 B．三角形的底是3，高是6，面积是，正好是图形①面积的一半。 C．梯形的上底是3，下底是5，高是3，面积是，不是图形①面积的一半。 阴影部分的面积不是图形①面积的一半的是C。 3．如图，每个小方格的边长表示1cm，图案的面积约是（    ）cm2。 A．30 B．44 C．55 D．70 【答案】B 【分析】数方格估算不规则图形面积的方法：先数满格的图案部分，再数出不满格的（2个不满格的按1个满格算），每个小方格面积是1×1＝1；据此计算即可。 【详解】满格有30格，不满格有28格。 28÷2＝14（格） 30＋14＝44（格） 1×1＝1（） 44×1＝44（） 4．如图，比较梯形中甲、乙两个阴影部分三角形的面积，甲的面积（    ）乙的面积。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 【答案】B 【分析】如下图，三角形ABC和三角形BCD等底等高，所以三角形ABC与三角形BCD的面积相等；且三角形ABC是由甲和三角形BOC组成，三角形BCD是由乙和三角形BOC组成，据此得出甲、乙的面积大小。 【详解】如图： 三角形ABC的面积＝三角形BCD的面积 甲的面积＋三角形BOC的面积＝乙的面积＋三角形BOC的面积 所以，甲的面积＝乙的面积。 5．一个三角形的面积是30平方厘米，底是6厘米，高是( )厘米；如果一个平行四边形与这个三角形的面积和高都相等，这个平行四边形与高对应的底是( )厘米。 【答案】 10 3 【分析】三角形面积＝底×高÷2，用三角形的面积乘2除以底即可得到对应的高； 平行四边形面积＝底×高，用平行四边形的面积除以高即可得到对应的底。 【详解】三角形的高： 30×2÷6 ＝60÷6 ＝10（厘米） 平行四边形的底： 30÷10＝3（厘米） 6．一个长方形木框，长10分米，宽8分米，把它拉成一个高是7分米的平行四边形，平行四边形的面积是( )平方分米。 【答案】 70/56 【分析】长方形木框拉成平行四边形后，四条边的长度不变，即平行四边形的相邻两边长分别为10分米和8分米；平行四边形的高必须小于其对应的相邻边长。平行四边形的面积＝底×高，代入数值计算即可。 【详解】若底为10分米，相邻边为8分米，高7分米小于8分米，成立。 面积：10×7＝70（平方分米） 若底为8分米，相邻边为10分米，高7分米小于10分米，成立。 面积：7×8＝56（平方分米） 综上，平行四边形的面积是70平方分米或56平方分米。 7．如图，大平行四边形的面积是100km2，A、B，分别是它上、下两边的中点，图中阴影部分的面积是( )公顷。 【答案】5000 【分析】平行四边形面积公式：面积＝底×高。A、B是大平行四边形上下两边的中点，所以阴影小平行四边形的底是大平行四边形底的一半，两个平行四边形的高完全相等，因此阴影部分的面积是大平行四边形的一半。最后进行单位换算即可。 【详解】100÷2＝50（km2） 1km2＝100公顷 50km2＝50×100＝5000公顷 8．一块平行四边形涂鸦板分成黑白两部分（如图），黑色部分的面积比白色部分大24平方米。黑色部分的面积是( )平方米。 【答案】36 【分析】 观察题中图形可发现：沿虚线分开后黑色部分比白色部分大的部分为小平行四边形（面积为24平方米），用小平行四边形的面积除以平行四边形的高可得到小平行四边形的底，也就是梯形（黑色部分）的上底；再根据梯形的面积公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可求出黑色部分的面积。 【详解】根据分析可得： 梯形的上底（黑色部分）：（米） 梯形的面积（黑色部分）： （平方米） 所以黑色部分的面积是36平方米。 【点睛】本题利用面积差与平行四边形面积公式建立关系，再根据梯形的公式解答。 9．中秋以圆月比喻团圆，月饼作为象征符号更是必不可少。糕点师傅将莲蓉月饼、五仁月饼等月饼摆成梯形贡塔形状，象征“步步高升”。已知最底层摆放13个月饼，每往上一层减少1个，共8层。这座“月饼塔”共有( )个月饼。 【答案】 76 【分析】已知最底层摆放13个月饼，每往上一层减少1个，共8层，则从最底层到最上层共需要减少（8－1）次，每次减少1个，所以最上层月饼数为13－（8－1）；这个可以看成梯形，梯形的上底是最上层月饼数，下底是最底层月饼数，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，也就是总数＝（顶层数量＋底层数量）×层数÷2代入公式计算。 【详解】最上层月饼的数量：（个） 总数量： （个） 10．计算下列组合图形的面积。（单位：cm） 【答案】1872；218；105 【分析】（1）将组合图形拆分为三角形和平行四边形，三角形的底与平行四边形的底长度相同，所以分别用三角形面积＝底×高÷2、平行四边形面积＝底×高计算两部分面积后求和。 （2）将组合图形拆分为直角三角形和梯形，因为直角三角形的直角边长度已知，梯形的上底、下底和高已知，所以分别用三角形面积＝底×高÷2、梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2计算两部分面积后求和。 （3）用长方形面积减去内部梯形的面积，因为长方形的长和宽已知，梯形的上底、下底和高已知，所以分别用长方形面积＝长×宽、梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2计算后作差。 【详解】（1）52×26＝1352（） 52×20÷2 ＝1040÷2 ＝520（） 1352＋520＝1872（） 所以组合图形的面积为1872。 （2）10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（） （18＋10）×12÷2 ＝28×12÷2 ＝336÷2 ＝168（） 168＋50＝218（） 所以组合图形的面积为218。 （3）12×10＝120（） （6＋4）×3÷2 ＝10×3÷2 ＝30÷2 ＝15（） 120－15＝105（） 所以组合图形的面积为105。 11．计算下面图形中涂色部分的面积。 （1）            （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）涂色部分的面积＝长方形面积－梯形的面积，长方形面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 （2）涂色部分的面积＝梯形面积－白色三角形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2。 【详解】（1）10×6－（2＋10）×6÷2 ＝10×6－12×6÷2 ＝60－36 ＝（） 所以，涂色部分的面积是。 （2）（4＋9）×6÷2－4×6÷2 ＝13×6÷2－4×6÷2 ＝39－12 ＝（） 所以，涂色部分的面积是。 12．如图，小正方形ABCD的边长是4厘米，大正方形CEFG的边长是8厘米，求图中阴影部分的面积。 【答案】24平方厘米 【分析】由图可知，阴影部分的面积＝梯形ABEF的面积－正方形ABCD的面积－三角形CEF的面积，根据题意小正方形ABCD的边长是4厘米，大正方形CEFG的边长是8厘米，所以AB＝4厘米，EF＝8厘米，BE＝BC＋CE＝4＋8＝12厘米，根据梯形的面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，正方形的面积公式＝边长×边长，以及三角形的面积公式＝底×高÷2解答即可。 【详解】（4＋8）×（4＋8）÷2－4×4－8×8÷2 ＝12×12÷2－16－64÷2 ＝72－16－32 ＝24（平方厘米） 13．把一边长20厘米的正方形拉成平行四边形后，它的面积减少80平方厘米，这个平行四边形的高是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】正方形的面积＝边长×边长，题中平行四边形的面积＝正方形的面积－80平方厘米，平行四边形的面积＝底×高，已知底为20厘米，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷底，据此解答。 【详解】（20×20－80）÷20 ＝（400－80）÷20 ＝320÷20 ＝16（厘米） 答：这个平行四边形的高是16厘米。 14．如下图，公园里有一块长方形草坪，管理人员打算在中间修建两条完全相同的平行四边形小路。此时草坪的面积是多少平方米？ 【答案】560平方米 【分析】整个大长方形的长是40米，两条完全相同的平行四边形小路，它们的高都等于长方形的宽20米，先计算出平行四边形小路的底边长度，再用长方形草坪的面积－两条平行四边形小路的面积＝此时的草坪面积。 【详解】小路底边：（40－28）÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 40×20－6×20×2 ＝800－240 ＝560（平方米） 答：此时草坪的面积是560平方米。 15．陈家村新修一条水渠，渠道的横截面是梯形（如图）。这个梯形的面积是432平方分米，渠底宽24分米，渠口宽是渠底宽的2倍，这条水渠深多少分米？ 【答案】12分米 【分析】已知渠底宽24分米，渠口宽是渠底宽的2倍，用渠底宽度乘2求出渠口宽度。根据梯形面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，这里的梯形的高就是水渠的深度。把公式变形：高＝梯形面积×2÷（上底＋下底）。代入数值计算。 【详解】24×2＝48（分米） 432×2÷（24＋48） ＝864÷72 ＝12（分米） 答：这条水渠深12分米。 16．张奶奶家有一块直角梯形的瓜地上底是20米，下底是34米，其中阴影部分的种甜瓜的面积是340平方米，梯形瓜地的面积是多少平方米？ 【答案】540平方米 【分析】观察图形可知三角形的高即是梯形的高，首先根据三角形的面积公式：，我们可以反推出高：，代入数值计算出梯形的高。然后根据梯形的面积公式：，代入数值计算出结果。 【详解】340×2÷34 ＝680÷34 ＝20（米） （20＋34）×20÷2 ＝54×20÷2 ＝1080÷2 ＝540（平方米） 答：梯形瓜地的面积是540平方米。 17．淘气的爸爸在淘气卧室的墙角安装了一个小书桌，如下图所示，书桌的面积是多少平方分米？（单位：分米） 【答案】28平方分米 【分析】解答这道题需明确：长方形的面积＝长×宽；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。如下图，将桌面分割成一个长方形和一个梯形，再计算面积。 由图可知：长方形的长是6分米，宽是2分米；梯形的上底是6分米，下底是2分米，高是分米。利用公式分别算出长方形和梯形的面积，再相加即可。 【详解】根据分析： （平方分米） （分米） （平方分米） （平方分米） 答：书桌的面积是28平方分米。 18．“月季花展”是人民公园的特色之一。为了估算人民公园的面积，甜甜绘制了公园的平面图，并测出相关数据（如下图）。请你利用这些数据帮助甜甜算一算人民公园的面积。 (1)你想怎样求这个图形的面积？在平面图上画一画。 (2)按照你的想法算出人民公园的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 125580平方米 【分析】（1）确定图形的分割方式，可将该组合图形拆分为平行四边形和梯形两个基础图形，在图中画出分割线明确两部分的范围。 （2）找到平行四边形对应的底和高，根据平行四边形面积公式计算该部分面积。 找到梯形对应的上底、下底和高，根据梯形面积公式计算该部分面积。 将两部分面积相加，得到组合图形的总面积，也就是人民公园的面积。 【详解】（1）略（方法不唯一） （2）（216＋160＋500）×140÷2 ＝876×140÷2 ＝61320（平方米） 306×210＝64260（平方米） 61320＋64260＝125580（平方米） 答：人民公园的面积是125580平方米。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $