数学期中模拟卷（一）（高教版拓展模块一上册1-3章）-2026-2027学年高二上学期《期中考点大串讲》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以高教版《数学拓展模块一（上册）》为基准，覆盖向量、圆锥曲线等核心考点，贴合职教高考真题题型，通过选择、填空、解答题梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|充分必要条件（2题）、向量坐标（6题）、椭圆离心率（8题）|基础巩固，聚焦概念辨析| |填空题|6/24|向量夹角（19题）、双曲线焦距（20题）、命题真假判断（23题）|能力提升，强化公式应用| |解答题|6/72|椭圆性质（27题）、双曲线与椭圆综合（29题）、抛物线应用（30题）|创新应用，贴合真题趋势，如29题结合双曲与椭圆焦点，30题渗透数学建模|

编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以高教版《数学 拓展模块一（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1． 可化简为（　　）. A． B． C． D． 2．在实数范围内，“”是“”的（　　）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．若是的必要不充分条件，则下列关系正确的是（　　）. A．，且 B．，但不能推出 C．与都不能推出对方 D．，但不能推出 4．设，可判断是的（　　）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某系统规则：输入密码正确可以进入系统；进入系统时日志必须密码正确.设：密码正确，：进入系统.则是的（　　）. A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量，的方向相反，若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，若与垂直，则（    ）. A． B．1 C． D．2 8．已知椭圆的离心率为，则（    ）． A． B． C． D． 9．已知椭圆的两个焦点分别是，，是椭圆上的任意点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，且双曲线过点.则双曲线的渐近线方程是（    ）. A． B． C． D． 11．已知抛物线上一点P到准线的距离为7，则点P的横坐标为（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 12．若抛物线开口向左，焦点到顶点的距离为，其标准方程为（　　） A． B． C． D． 13．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．要保证“”成立，下列条件中只能作为必要条件的是（　　） A． B． C． D． 15．如图所示，点在直线上，且，是任意一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知非零向量，，若，，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 17．平面内一点到、的距离之差的绝对值为，对应的标准方程为（    ） A． B． C． D． 18．若向量，，则与的夹角等于（    ）. A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知向量，向量与的夹角为，且，则________． 20．双曲线的焦距为 ______. 21．已知向量，向量，则________． 22．椭圆的两个焦点坐标为______. 23．对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“”是“”的必要不充分条件； ④“是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件． 其中真命题的序号为____________． 24．过点的直线与抛物线相交于，两点，若恰为的中点，则弦的长为________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，. (1)求； (2)求. 26．(本题10分)条件，条件. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 27．(本题12分)已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦距； (2)求椭圆的离心率. 28．(本题12分)已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 29．(本题14分)已知双曲线（，）和椭圆有相同的焦点、，且两曲线在第一象限交于点P，点是双曲线与x轴的一个交点.求： (1)双曲线的标准方程； (2)的面积. 30．(本题14分)已知抛物线（）经过点，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，线段的垂直平分线，分别与直线交于点P，与抛物线的准线交于点Q． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程． 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以高教版《数学 拓展模块一（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1． 可化简为（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．在实数范围内，“”是“”的（　　）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程，结合充要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得，解得，解得， ，且”， 即“”是“”的充要条件. 故选：D. 3．若是的必要不充分条件，则下列关系正确的是（　　）. A．，且 B．，但不能推出 C．与都不能推出对方 D．，但不能推出 【答案】D 【分析】根据必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】是的必要不充分条件，则不能推出，. 故选：D. 4．设，可判断是的（　　）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】由可推出，故充分性成立； 但由 不一定推出，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．某系统规则：输入密码正确可以进入系统；进入系统时日志必须密码正确.设：密码正确，：进入系统.则是的（　　）. A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件和充要条件的概念以及传递性求解即可. 【详解】由密码正确则可进入系统，故充分性成立； 进入系统则说明密码正确，故必要性成立； 则是的充要条件. 故选：A. 6．已知向量，的方向相反，若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量方向相反的关系以及向量模长的倍数关系来确定向量的坐标. 【详解】已知，可得， 所以， 由于向量，的方向相反，所以存在实数，使得， 因为，所以， 则，又因为，所以， 那么. 故选：C. 7．已知平面向量，，若与垂直，则（    ）. A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为平面向量， 则， 因为与垂直，则， 可化为，解得. 故选：B. 8．已知椭圆的离心率为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率公式及的关系可求解. 【详解】由题可得，， 即，可化为，故A错误，B正确； 因为，所以，故CD错误. 故选：B. 9．已知椭圆的两个焦点分别是，，是椭圆上的任意点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由椭圆方程求出的值，然后根据椭圆的定义求解. 【详解】已知椭圆方程为，则，从而， 因为点是椭圆上的任意一点，是椭圆的两个焦点， 所以，由椭圆的定义可知. 故选：D. 10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，且双曲线过点.则双曲线的渐近线方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程的系数关系，结合渐近线方程公式即可求解. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别是，，所以， 因为双曲线过点，所以，解得，所以， 则双曲线的渐近线方程是. 故选：A. 11．已知抛物线上一点P到准线的距离为7，则点P的横坐标为（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】求出抛物线的准线，根据条件建立方程求解. 【详解】在抛物线中，，则，所以准线方程为， 设点的横坐标为，， 已知点到准线的距离为，可得，解得， 故点P的横坐标为5. 故选：A. 12．若抛物线开口向左，焦点到顶点的距离为，其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出抛物线方程的值即可得解. 【详解】抛物线开口向左，焦点到顶点的距离为， 则，解得， 所以标准方程为， 故选：. 13．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系，分别判断充分性和必要性是否成立，由此求解即可. 【详解】 若，根据同角三角函数的基本关系， 可得， 不一定得到，故充分性不成立. 若，同理可得： ， 不一定得到，故必要性不成立. 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 14．要保证“”成立，下列条件中只能作为必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】选项A：，所以是的充要条件； 选项B：，所以是的充要条件； 选项C：若，则， 若，则，即不能推出，还可能有， 所以是的必要不充分条件，满足题意； 选项D：，所以是的充要条件， 故选：C. 15．如图所示，点在直线上，且，是任意一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件，结合向量加减法的三角形法则即可求解. 【详解】已知，，所以， 因为，且与方向相同，所以， 所以. 故选：C. 16．已知非零向量，，若，，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再对平方展开计算. 【详解】因为，所以 ， 展开得， 又因为，即，解得， 对两边同时平方，得：，展开得：， 所以，整理得， 因为为非零向量，故. 故选：C. 17．平面内一点到、的距离之差的绝对值为，对应的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定双曲线的基本参数、、，进而得出双曲线的标准方程即可. 【详解】平面内到的距离之差的绝对值为6的点的轨迹为双曲线， 且，，代入可得，即， 因为焦点在轴上，可得. 故选：A. 18．若向量，，则与的夹角等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数乘和加减运算求出与的坐标，再利用向量的夹角公式求出夹角. 【详解】已知，，可得， 则；， 可得：；， ， 设与的夹角为， 可得：， 因为两向量夹角的范围是，所以. 故选：C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知向量，向量与的夹角为，且，则________． 【答案】 【分析】先计算向量的模，再根据平面向量数量积的定义代入已知条件计算即可. 【详解】因为向量，所以， 又因为，，所以. 故答案为：. 20．双曲线的焦距为 ______. 【答案】10 【分析】根据双曲线的方程得到的值，进而求解即可. 【详解】因为双曲线的方程为：， 所以，所以， 又因为，所以， 因此双曲线的焦距. 故答案为：. 21．已知向量，向量，则________． 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，再根据向量模的计算公式求出其模. 【详解】已知向量，则， 又已知向量， 可得， 所以. 故答案为：. 22．椭圆的两个焦点坐标为______. 【答案】 【分析】利用椭圆中、、的关系求出的值，进而得到焦点坐标. 【详解】对于椭圆方程，因为，即分母大， 所以焦点在轴上，且，， 所以，则， 所以焦点坐标为. 故答案为：. 23．对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“”是“”的必要不充分条件； ④“是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件． 其中真命题的序号为____________． 【答案】③ 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，时，，必要性不成立，故①错误， 若，时，则，充分性不成立，故②错误， 若，当时，，充分性不成立， 若，则，必要性成立，故③正确， 若是无理数，则是无理数，必要性成立，故④错误， 故答案为：③. 24．过点的直线与抛物线相交于，两点，若恰为的中点，则弦的长为________． 【答案】 【分析】先通过点差法求出直线的斜率，得到直线方程后与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式计算弦的长度. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设为， 设，由在抛物线上， 可得，两式相减得， 因此直线的斜率， 因为是的中点，所以， 代入得. 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 联立直线与抛物线方程，则. 由韦达定理可得， 由焦半径公式得 . 故答案为：10. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】运用向量线性运算的坐标表示计算. 【详解】（1）已知，， 可得：. （2）已知，那么， 又，则. 26．(本题10分)条件，条件. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据充分、必要条件的定义，将问题转化为集合间的基本关系，解不等式即可. （1）设， 若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，即，a的取值范围为； （2）若p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，即，a的取值范围为. 27．(本题12分)已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦距； (2)求椭圆的离心率. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为 (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长、短轴长和焦距的定义求解； （2）根据椭圆的离心率公式求解. 【详解】（1）已知椭圆方程，设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距， 因为，所以该椭圆的焦点在轴上，且，， 所以，，从而， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦距为. （2）因为，，， 所以椭圆的离心率为. 28．(本题12分)已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）先表示出的坐标，再由模长公式求解即可； （2）先表示出与的坐标，再由向量平行的坐标表示求解即可； （3）先表示出的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）因为向量，， 所以， 所以； （2）因为向量，， 所以，， 因为， 所以，解得； （3）因为向量，， 所以， 因为，即， 所以，解得. 29．(本题14分)已知双曲线（，）和椭圆有相同的焦点、，且两曲线在第一象限交于点P，点是双曲线与x轴的一个交点.求： (1)双曲线的标准方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据椭圆方程求出焦点坐标，利用双曲线的性质求出参数即可得解. （）根据双曲线及椭圆的定义求出的值，利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆，焦点在轴上， 设椭圆的参数为，则，， 则，解得，所以椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线的焦点坐标为， 设双曲线的参数，则， 由题意可知，双曲线的一个顶点，则， 则， 所以双曲线方程为. （2）设， 则，解得， 因为， 在中，， 因为，则， 则的面积为. 30．(本题14分)已知抛物线（）经过点，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，线段的垂直平分线，分别与直线交于点P，与抛物线的准线交于点Q． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程． 【答案】(1). (2)或 【分析】（）将点代入抛物线方程中即可得解. （）当直线斜率不存在时，求出的坐标即可得解；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立方程组利用韦达定理求出，利用垂直的性质及中点坐标公式设出直线的方程，得到点坐标，利用题意及两点间距离公式列出等式即可得解. 【详解】（1）把点代入得，即， 所以抛物线的标准方程为． （2）抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，      将代入抛物线方程中得，解得， 所以，， 此时，，不合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为（），则直线的方程为，    设，， 联立，消去y得， 所以，， 所以，线段的中点， 所以直线的方程为， 令，则，得， 所以， 所以， 因为， 所以， 解得或， 即或， 所以直线的方程为或． 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $