专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期中真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 6大高频考点概览 考点01 集合及其基本运算 考点02 集合的新定义 考点03 常用逻辑用语 考点04 等式与不等式的性质 考点05 基本不等式及其应用 考点06 不等式的解法 考点01 集合及其基本运算 1．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知集合，那么（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）若集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）若全集，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知集合，且，则集合可以是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D. 且 12．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）设集合,若集合有且仅有个元素,则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 14．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 考点02 集合的新定义 1．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（       ） A. 一个“好子集”中最多有个元素 B. 一个“好子集”中最多有个元素 C. 一个“好子集”中最多有个元素 D. 一个“好子集”中最多有个元素 2．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. （1）若，求的值； （2）若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 3．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集． （1）判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；                       ②． （2）若是的3元完美子集，求的最小值； （3）若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件． 4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）设有序数阵 ，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． （1）若 为的覆盖数阵，求的值； （2）当时，写出所有的的取值，使得 为的覆盖数阵． （3）设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 5．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 6．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）给定正整数，已知 是一个行列的数表，其中．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质： ①对任意，有； ②对任意，且，有； ③对任意，有． （1）判断数表 是否具有性质，并说明理由； （2）若数表具有性质，求的最小值； （3）若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）． 考点03 常用逻辑用语 1．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知命题“”，则为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）定义域为的函数，，“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知是的内角，则“”是“”的（        ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）设点不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知均为第二象限角，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知非零向量，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）无穷等比数列的公比为，前项和为，则“”是“，使得对任意的正整数都成立”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 17．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知是公比为的无穷等比数列，前项和为，且，则“”是“有最大值”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 20．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中为非零常数.则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 21．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知命题：对任意，，．能说明为假命题的一组，的值　　　　　，　　　　　． 22．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数， 且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为． （1）当时，设 ，，写出，并求； （2）当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； （3）证明：对给定的数阵，总存在，使得． 考点04 等式与不等式的性质 1．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）若，且，则下列说法一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）若且，则下列不等式中恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知x，，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）设，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知函数，且，则（       ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 7．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知，，，则此三数的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  考点05 基本不等式及其应用 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）若实数满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知，则函数的最小值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  3．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（       ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 4．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 　　　　　　　 5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）如图，在边长为3的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角（）到的位置，同时点沿着从点运动到点，，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切值的最大值为　　　　　　　　　　. 考点06 不等式的解法 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）不等式的解集为　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 6大高频考点概览 考点01 集合及其基本运算 考点02 集合的新定义 考点03 常用逻辑用语 考点04 等式与不等式的性质 考点05 基本不等式及其应用 考点06 不等式的解法 考点01 集合及其基本运算 1．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知集合，那么（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据集合的并集的概念及运算，即可求解. 【详解】 由题意，集合，可得. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解不等式化简集合，再利用并集的定义求解即得. 【详解】 集合，而， 所以. 故选：B 3．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解不等式求得集合，进而可求. 【详解】 由，可得，解得或， 所以或，所以. 故选：C. 4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 解不等式求得集合，进而求得. 【详解】 由解得，所以， 所以 故选：A 5．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）若集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】 因为，，故. 故选：C. 6．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）若全集，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】 因为， 所以，则. 故选：A 7．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 解不等式，根据集合的运算即可得解. 【详解】 由可得，又， 所以，即为. 故选：D. 8．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知集合，且，则集合可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据集合交集的运算，将选项逐个代入进行排除即可. 【详解】 对于A：，故A错； 对于B： ，故B错； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错. 故选：C 9．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】 集合，，所以. 故选：A 10．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 解不等式求得集合，进而求得. 【详解】 ，解得或， 所以或， 所以. 故选：D 11．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D. 且 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式的解法，可求得集合B，根据并集运算的概念，即可得答案. 【详解】 因为，所以，即， 所以. 故选：A 12．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）设集合,若集合有且仅有个元素,则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据集合的交集运算，由题意知，由此可得，． 【详解】因为集合有且仅有个元素，所以，即有． 故选：B． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 13．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 计算出集合、后，利用并集定义即可得. 【详解】 由，则，即， 由，解得或，则或， 故或. 故选：C. 14．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据集合的运算法则计算． 【详解】 由已知， 所以， 故选：B． 15．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 解不等式得到，进而根据补集和交集求出答案. 【详解】 或， ，故. 故选：A 16．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合一元二次不等式解法化简集合，根据并集的定义求结论. 【详解】 ， 又，所以. 故选：D 17．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先解一元二次不等式求集合B，再结合题设韦恩图确定阴影部分的集合. 【详解】 因为， 所以阴影部分表示的集合为， 故选：A 18．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】 因为集合，， 所以. 故选：D. 19．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 由Venn图可知，阴影部分表示集合，进而可求解. 【详解】 由Venn图可知，阴影部分表示集合， 由， 得， 所以或， 故选：D 考点02 集合的新定义 1．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（       ） A. 一个“好子集”中最多有个元素 B. 一个“好子集”中最多有个元素 C. 一个“好子集”中最多有个元素 D. 一个“好子集”中最多有个元素 【答案】A 【分析】 不妨设，则三者为1或0，分类讨论，确定，一个“好子集”中最多有个元素. 【详解】 中有且只有一个为，不妨设， 则三者为1或0， 若三者均为0，则此时A中只有1个元素，即， 不合要求，舍去， 若三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求， 若三者中有2个0，或没有0，则此时不满足， 综上，一个“好子集”中最多有个元素. 故选：A 2．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. （1）若，求的值； （2）若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 【答案】（1）     （2）（i）5；（ii）4050      【分析】 （1）当 ，先按条件确定 ，再根据 定义找出元素，最后数元素个数得 . （2）（i）解法一：设 元素，算 元素，让 、 相同元素最多求 最小. 解法二：由等差性质得范围，结合 最小元素确定 范围，用公式求 最小.    （i i）先证引理确定 元素及，再根据 、 元素关系确定 范围，用公式求 最小，最后代入 求值. (1) 小问详解： 若，则，此时，， ，所以. (2) 小问详解： （i）解法一：设，则有， ， 所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多， 而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小， ，此时. 解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有 又中最小元素为，则，则有，所以， 另一方面，当时，，此时， 综上，时，的最小值为5. （ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则 引理的证明：对任意 当时，，当时，， 因此有； 另一方面，再证明可以取到满足的所有整数， ① 取，当依次取时，可取到满足的所有整数； ② 取，当依次取时，可取到满足的所有偶数； ③ 取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数； ④ 取，此时， 由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有 综上，引理得证． 故当时，，， 又，即，则有， 所以； 另一方面，当时，，，， 此时， 综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050. 3．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集． （1）判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；                       ②． （2）若是的3元完美子集，求的最小值； （3）若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】（1） ① 因为，又，所以不是的3元完美子集． ② 因为，且，而， 所以是的3元完美子集．     （2）12     （3） 不妨设． 对任意，都有， 否则，存在某个，使得． 由，得． 所以是中个不同的元素，且均属于集合， 该集合恰有个不同的元素，显然矛盾． 所以对任意，都有． 于是． 即． 等号成立的条件是且．      【分析】 （1）根据元完美子集的定义判断可得结论； （2）不妨设．由，，分别由定义可求得的最小值； （3）不妨设，有．是中个不同的元素，且均属于集合，此时该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．因此对任意，都有，由此可得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 不妨设． 若，则，，，与3元完美子集矛盾； 若，则，，而，符合题意，此时． 若，则，于是，，所以． 综上，的最小值是12． (3) 小问详解： 略 4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）设有序数阵 ，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． （1）若 为的覆盖数阵，求的值； （2）当时，写出所有的的取值，使得 为的覆盖数阵． （3）设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 【答案】（1）、、、、     （2）可为与     （3） 若 为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵 ， 有，满足条件② ， ，满足条件① ， 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有.      【分析】 （1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义可得，则可得符合要求的值，即可得解； （3）构造有序数阵 ，计算可得该有序数阵也是的覆盖数阵，且，则可得的覆盖数阵成对出现，即可得证. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 则且，故，， 综上，有、、、、； (2) 小问详解： 由，则，， 故， 又， 故， 则有， 即， 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上， 符合要求； 当时，，符合， 由（1）知， 符合要求； 综上所述：时，可为与； (3) 小问详解： 略 5．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 【答案】（1）     （2） 不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由① ② 可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③ 可知，存在集合与的交集不为， 且由② 可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由② 可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与① 矛盾. 所以不存在使得.     （3）13      【分析】 （1）假设，根据条件② 来进行排除，同理排除，最终得出； （2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可； （3）结合（2）先证明，最多属于中的4个集合，再列举出时符合题意，反证不符合题意即可. (1) 小问详解： 由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件② ，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与② 或③ 矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与② 矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 6．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）给定正整数，已知 是一个行列的数表，其中．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质： ①对任意，有； ②对任意，且，有； ③对任意，有． （1）判断数表 是否具有性质，并说明理由； （2）若数表具有性质，求的最小值； （3）若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）． 【答案】（1）不具有；     （2）5；     （3）最大值 .      【分析】 （1）取，验证即可； （2）求出数表元素总和为，再求出，再构造出时的数表即可； （3）分，然后利用递推构造可求最大值. (1) 小问详解： 数表 不具有性质， 因为取，则有，不满足条件③ ． (2) 小问详解： 由① ② 知数表中的元素总和为． 设， 又由③ ，有，解得． 又当时，可构造数表 具有性质， 所以的最小值为5． (3) 小问详解： 当时，由（2）知， 所以的最大值为． 当时， 因为，所以． 若，则，矛盾． 所以． 所以． 当时，若，则， 此时，矛盾． 所以． 又可构造数表 具有性质，且， 所以的最大值为7． 当时，，且 当时， 若，不同列的元素的和的和至少为，矛盾； 故，此时， 当时，构造如下符合条件的矩阵： 此时， 当时，可得前者基础上最右列（除）均为1，最下面一行均为0， 此时， 依次利用类似的构造方法则可得一个符合条件的矩阵， ， 所以当时，最大值为， 综上所述，最大值为 . 考点03 常用逻辑用语 1．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知命题“”，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】 命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“”的否定是. 故选：C 2．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案. 【详解】 因为指数函数单调递增， 由可得：，充分性成立， 当时，，但不一定，必要性不成立， 故选：A 3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充要条件的定义及等比数列的和与项的关系即可判断. 【详解】 若，，则，则为递减数列． 若为递增数列，则，，． 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：B． 4．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果. 【详解】 解不等式可得或； 显然是或的真子集， 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）定义域为的函数，，“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分不必要条件的概念结合奇偶函数的概念与性质进行判断. 【详解】 因为“、均为偶函数”可以推出“函数为偶函数”，所以“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分条件； 因为当、均为奇函数时，也为偶函数， 所以“、均为偶函数”不是“函数为偶函数”的必要条件. 综上“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 6．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立. 【详解】 因为为锐角三角形，所以且，所以， 其中， 因为在上单独递增，所以，充分性成立， 若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立. 故选：A 7．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先化简，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 在中，，则， 又， 所以， 则有，又，所以，故角B为锐角. 当B为锐角时，不一定是锐角三角形； 当为锐角三角形时，B为锐角， 故“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B 8．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知是的内角，则“”是“”的（        ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 在中，， 先证充分性：在中，取，此时，即“”推不出“”，充分性不成立； 再证必要性：在中，，即“”推出“”，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 首先解高次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 由，即，解得且， 所以由推得出，即充分性成立； 由推不出，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据线面垂直的判定、性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 已知直线平面，平面平面直线， 若，由平面，则； 若，此时得不到，直线可能与平面斜交，如下图： 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 11．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）设点不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 ∵三点不共线， ∴，即， 可得，得， 所以与的夹角为锐角. 故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件. 【点睛】 本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想. 12．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知均为第二象限角，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】 由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 13．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】 若，则，， 所以，， 当时，，所以是充分条件， 因为，只有当与反向时，等号成立，即， 此时，所以是必要条件， 综上可知，“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C 14．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知非零向量，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由数量积的运算律以及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】 对于非零向量， 若，则，即； 反之，，则或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 15．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）无穷等比数列的公比为，前项和为，则“”是“，使得对任意的正整数都成立”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用等比数列的求和公式、充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】 由题意，当时，， 则， 取，则对任意的正整数都成立， 所以“”“，使得对任意的正整数都成立”， 另一方面，当时，， 此时存在，当时，恒成立， 所以“”“，使得对任意的正整数都成立”， 故“”是“，使得对任意的正整数都成立”的充分而不必要条件. 故选：A 16．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【详解】 假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 17．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得. 【详解】 因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数. 所以，即.所以充分性成立. 反过来，当，即， 根据正切函数的性质可得，存在，使得，即. 所以必要性成立.所以“存在，使得”是“”的充要条件. 故选：C. 18．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知是公比为的无穷等比数列，前项和为，且，则“”是“有最大值”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用充分条件、必要条件的意义，结合等比数列前项和分析判断得解. 【详解】 当时，，，， 则，当为偶数时，，而，则； 当为奇数时，，而，则， 因此对任意的正整数均有，即有最大值； 而当时， ，此时也有最大值， 所以“”是“有最大值”的充分不必要条件. 故选：A 19．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 将中的角变形，再利用两角和差公式得到，得到或，分别讨论求解，得到充分性不成立；由得到，分别讨论和两种情况进行求解，从而得到必要性不成立. 【详解】 充分性分析： ，，， ， ， 或， 当时，，即，， 当时，，即， 综上可得，当时，或， 不能得到，充分性不成立； 必要性分析： ，， 当时，，不一定有成立， 当时，，则有成立， 综上，由不一定得到，故必要性不成立， 故选：D. 20．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中为非零常数.则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 分，，，，再根据，，利用一元二次不等式的解法求解判断. 【详解】 当时， 若，则不等式为，解得， 所以，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：或，不等式的解集为：或，所以； 当时， 若，则不等式为，所以，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：或，不等式的解集为：，所以； 当时， 若，则不等式为，，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：，不等式的解集为：或,所以； 当时， 若，则不等式为，，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：，不等式的解集为：，所以； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 21．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知命题：对任意，，．能说明为假命题的一组，的值　　　　　，　　　　　． 【答案】① 2（答案不唯一）    ② 1（答案不唯一） 【分析】 取，代入验证即可. 【详解】 取， 则，， 则，所以命题为假命题. 故答案为：2；1 22．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数， 且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为． （1）当时，设 ，，写出，并求； （2）当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； （3）证明：对给定的数阵，总存在，使得． 【答案】（1） ， ；，     （2） 设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为． 经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为． 所以． 即是的倍数．     （3） 数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为． 由（2）可知，． 设当时，取得最小值，其中． 记每行中的个数为，则必有． 否则，若存在使得，则令，有 ，与为最小值矛盾． 在中，① 若等于的个数不超过， 则．                     ② 若等于的个数大于，则必存在满足，且． 否则，不妨设，则共有个满足，且， 所以中至多有个等于，矛盾． 故存在满足，且．                                    取，因为，所以． 由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为． 故， 这与为最小值矛盾． 综上，对给定的数阵，总存在，使得．      【分析】 （1）由变换的由来，可得，由的定义即可求解， （2）由变换的定义以及的定义即可求解， （3）每行中的个数为，由反证法证明，进而由在中考虑等于的个数与的关系，即可分类讨论求解， (1) 小问详解： 由题设 ， ．                                  所以，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 考点04 等式与不等式的性质 1．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）若，且，则下列说法一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 对于A，结合幂函数的单调性判断即可；对于BCD，举特例判断即可. 【详解】 对于A，由，且函数在上单调递增，则，故A正确； 对于B，当时，满足，而，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，当时，满足，而，故D错误. 故选：A 2．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）若且，则下列不等式中恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】 对于A，若，但，故A错误； 对于B，由于且，则，故，故B错误； 对于C，若，此时 ，不满足，故C错误； 对于D， 由于，故，因此，由于，故，D正确， 故选：D. 3．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论. 【详解】 根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即； 由三角函数单调性可知； 利用指数函数为单调递增可得； 所以. 故选：C 4．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知x，，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用反比例函数，指数函数，对数函数，余弦函数的性质判断即可. 【详解】 因为，所以，即，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，而余弦函数在上不单调， 如，故C错误； 因为，由于当时，恒有，故D错误； 故选：B. 5．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）设，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对A反例即可；对B和C利用不等式性质即可判断；对D，去绝对值，再比较大小即可. 【详解】 对于A：，则，则，故A错误； 对于B：，所以，B错误： 对于C：因为，所以，所以，C错误； 对于D，由题知，又因为，则，即，故D正确， 故选：D 6．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知函数，且，则（       ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【分析】 由得出的符号,可得抛物线的开口方向以及,根据选项逐一判断即可. 【详解】 由可知，抛物线开口向上.因为，即1是方程的一个根，所以，都有， 故选:B. 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质,体现了转化思想和数形结合思想,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题. 7．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合函数的图象与性质可判断A；结合函数的图象与性质可判断B；举出反例说明可判断C；利用作差法可判断D. 【详解】 实数，满足，则， 对于A，因为在不单调， 所以、、都有可能，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，所以，故B错误； 对于C，取，，，故C错误； 对于D，， 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：D 8．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 举反例判断AC；利用基本不等式判断BD. 【详解】 对于A，若，则，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，当，，则，错误； 对于D：若，则，所以，正确. 故选：D. 9．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知，，，则此三数的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由函数在上单调递增，结合，，证明，由函数在上单调递增， 结合，证明，由此可得结论. 【详解】 因为函数在上单调递增，， 所以，， 化简可得，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即 所以， 所以，即， 故选：D. 考点05 基本不等式及其应用 1．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）若实数满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先表示，再根据选项代入，结合基本不等式，即可判断. 【详解】 由条件可知，，， 所以，当时，即时等号成立，故AB错误； ， 当，即时，等号成立， 所以，故C错误，D正确. 故选：D 2．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知，则函数的最小值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  【答案】B 【分析】 由基本不等式即可求解. 【详解】 因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 3．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（       ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【分析】 对A，C选项可用平方数大于等于0进行判断得出，对C，D选项用基本不等式判断. 【详解】 当时，，再由，且. 所以, 当且仅当 ，即 或 时等号成立， 所以时，，故A错误，C错误； 当时，，再由，且. 所以， 当且仅当时，即等号成立，故B正确，D错误. 故选：B 4．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据平面向量基本定理及向量共线的条件可得，，再由基本不等式可得最大值. 【详解】 因为是内部或边上的动点，且， 根据平面向量基本定理可得，，（当P在边上时，）， 由基本不等式得，当且仅当时，即P是的中点时等号成立. 故答案为：. 5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）如图，在边长为3的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角（）到的位置，同时点沿着从点运动到点，，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切值的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二面角的平面角的概念，求出各线段长度，作出正方形的平面图形，再根据两角差的正切公式，以及基本不等式，求出最大值. 【详解】 由题意可知，则与的距离为， 作正方形的平面图形，如下图： 可知，设， ， 因为，当且仅当，即时取等号， 即，所以的最大值为. 故答案为：. 考点06 不等式的解法 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）不等式的解集为　　　　　. 【答案】 【分析】 利用对数函数的单调性结合函数的定义域可求解. 【详解】 由，得 ， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 考点01 集合及其基本运算 考点02 集合的新定义 考点03 常用逻辑用语 考点04 等式与不等式的性质 考点05 基本不等式及其应用 考点06 不等式的解法 考点01 集合及其基本运算 1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 9．A 10．D 11．A 12．B 13．C 14．B 15．A 16．D 17．A 18．D 19．D 考点02 集合的新定义 1．A 2．【答案】（1）     （2）（i）5；（ii）4050      【分析】 （1）当 ，先按条件确定 ，再根据 定义找出元素，最后数元素个数得 . （2）（i）解法一：设 元素，算 元素，让 、 相同元素最多求 最小. 解法二：由等差性质得范围，结合 最小元素确定 范围，用公式求 最小.    （i i）先证引理确定 元素及，再根据 、 元素关系确定 范围，用公式求 最小，最后代入 求值. (1) 小问详解： 若，则，此时，， ，所以. (2) 小问详解： （i）解法一：设，则有， ， 所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多， 而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小， ，此时. 解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有 又中最小元素为，则，则有，所以， 另一方面，当时，，此时， 综上，时，的最小值为5. （ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则 引理的证明：对任意 当时，，当时，， 因此有； 另一方面，再证明可以取到满足的所有整数， ① 取，当依次取时，可取到满足的所有整数； ② 取，当依次取时，可取到满足的所有偶数； ③ 取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数； ④ 取，此时， 由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有 综上，引理得证． 故当时，，， 又，即，则有， 所以； 另一方面，当时，，，， 此时， 综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050. 3．【答案】（1） ① 因为，又，所以不是的3元完美子集． ② 因为，且，而， 所以是的3元完美子集．     （2）12     （3） 不妨设． 对任意，都有， 否则，存在某个，使得． 由，得． 所以是中个不同的元素，且均属于集合， 该集合恰有个不同的元素，显然矛盾． 所以对任意，都有． 于是． 即． 等号成立的条件是且．      【分析】 （1）根据元完美子集的定义判断可得结论； （2）不妨设．由，，分别由定义可求得的最小值； （3）不妨设，有．是中个不同的元素，且均属于集合，此时该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．因此对任意，都有，由此可得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 不妨设． 若，则，，，与3元完美子集矛盾； 若，则，，而，符合题意，此时． 若，则，于是，，所以． 综上，的最小值是12． (3) 小问详解： 略 4．【答案】（1）、、、、     （2）可为与     （3） 若 为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵 ， 有，满足条件② ， ，满足条件① ， 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有.      【分析】 （1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义可得，则可得符合要求的值，即可得解； （3）构造有序数阵 ，计算可得该有序数阵也是的覆盖数阵，且，则可得的覆盖数阵成对出现，即可得证. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 则且，故，， 综上，有、、、、； (2) 小问详解： 由，则，， 故， 又， 故， 则有， 即， 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上， 符合要求； 当时，，符合， 由（1）知， 符合要求； 综上所述：时，可为与； (3) 小问详解： 略 5．【答案】（1）     （2） 不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由① ② 可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③ 可知，存在集合与的交集不为， 且由② 可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由② 可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与① 矛盾. 所以不存在使得.     （3）13      【分析】 （1）假设，根据条件② 来进行排除，同理排除，最终得出； （2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可； （3）结合（2）先证明，最多属于中的4个集合，再列举出时符合题意，反证不符合题意即可. (1) 小问详解： 由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件② ，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与② 或③ 矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与② 矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 6．【答案】（1）不具有；     （2）5；     （3）最大值 .      【分析】 （1）取，验证即可； （2）求出数表元素总和为，再求出，再构造出时的数表即可； （3）分，然后利用递推构造可求最大值. (1) 小问详解： 数表 不具有性质， 因为取，则有，不满足条件③ ． (2) 小问详解： 由① ② 知数表中的元素总和为． 设， 又由③ ，有，解得． 又当时，可构造数表 具有性质， 所以的最小值为5． (3) 小问详解： 当时，由（2）知， 所以的最大值为． 当时， 因为，所以． 若，则，矛盾． 所以． 所以． 当时，若，则， 此时，矛盾． 所以． 又可构造数表 具有性质，且， 所以的最大值为7． 当时，，且 当时， 若，不同列的元素的和的和至少为，矛盾； 故，此时， 当时，构造如下符合条件的矩阵： 此时， 当时，可得前者基础上最右列（除）均为1，最下面一行均为0， 此时， 依次利用类似的构造方法则可得一个符合条件的矩阵， ， 所以当时，最大值为， 综上所述，最大值为 . 考点03 常用逻辑用语 1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．B 9．A 10．A 11．C 12．C 13．C 14．B 15．A 16．B 17．C 18．A 19．D 20．B 21．【答案】① 2（答案不唯一）    ② 1（答案不唯一） 【分析】 取，代入验证即可. 【详解】 取， 则，， 则，所以命题为假命题. 故答案为：2；1 22．【答案】（1） ， ；，     （2） 设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为． 经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为． 所以． 即是的倍数．     （3） 数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为． 由（2）可知，． 设当时，取得最小值，其中． 记每行中的个数为，则必有． 否则，若存在使得，则令，有 ，与为最小值矛盾． 在中，① 若等于的个数不超过， 则．                     ② 若等于的个数大于，则必存在满足，且． 否则，不妨设，则共有个满足，且， 所以中至多有个等于，矛盾． 故存在满足，且．                                    取，因为，所以． 由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为． 故， 这与为最小值矛盾． 综上，对给定的数阵，总存在，使得．      【分析】 （1）由变换的由来，可得，由的定义即可求解， （2）由变换的定义以及的定义即可求解， （3）每行中的个数为，由反证法证明，进而由在中考虑等于的个数与的关系，即可分类讨论求解， (1) 小问详解： 由题设 ， ．                                  所以，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 考点04 等式与不等式的性质 1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．B 7．D 8．D 9．D 考点05 基本不等式及其应用 1．D 2．B 3．B 4．【答案】 【分析】 根据平面向量基本定理及向量共线的条件可得，，再由基本不等式可得最大值. 【详解】 因为是内部或边上的动点，且， 根据平面向量基本定理可得，，（当P在边上时，）， 由基本不等式得，当且仅当时，即P是的中点时等号成立. 故答案为：. 5．【答案】 【分析】 根据二面角的平面角的概念，求出各线段长度，作出正方形的平面图形，再根据两角差的正切公式，以及基本不等式，求出最大值. 【详解】 由题意可知，则与的距离为， 作正方形的平面图形，如下图： 可知，设， ， 因为，当且仅当，即时取等号， 即，所以的最大值为. 故答案为：. 考点06 不等式的解法 1．【答案】 【分析】 利用对数函数的单调性结合函数的定义域可求解. 【详解】 由，得 ， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $