专练21 等腰三角形的性质(二) 整体思想求角&专练22 等腰三角形的性质(三) 分类思想求边角-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

6=或a=-6=- I∠ABC=∠DCB DE-DC BC=CB ∠E=∠C, 专练08 整式的乘法（五） ∠2=∠1 AE=BC x士上型的变形技巧 ..△ABC≌△DCB(ASA), .△DEA≌△DCB(SAS), ..AB=DC. ..AD-BD. 典例导练 知能检测 又.DF=DF,∴.Rt△ADF≌△Rt (1)八x+=3,(x- 1..ADI BC,CE⊥AB,∴.∠ADB △BDF(HL),.AF=BF x =∠CDF=∠CEB=90°， 知能检测 +)°-4=9-4=5，则x 1 1.连接AC,易证△ABC≌△CDA, x .∠BAD+∠B=∠FCD+∠B =90°，∴∠BAD=∠FCD, 从而∠BAC=∠DCA, ±√5； 在△ABD和△CFD中， ∴.AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE. 2:x+=8，(x+》-d ∠ADB=∠CDF 2.连接BC.在△ABC和△DCB中， 十2+=9，整理得+=7，则 AD=CD AB=DC N∠BAD=∠FCD AC=DB BC=CB 原式=(x2+)°-2=49-2=47. .∴.△ABD≌△CFD(ASA) 2.在△ABE与△ACF中，易证 .∴.△ABC≌△DCB(SSS), 知能检测 △ABE≌△ACF(SAS); .∠A=∠D 1.(1)x2-3x+1=0,..x2+1 ∠B=∠C; 在△AOB和△DOC中， I∠A=∠D 3x,两边同时除以x得：x十1 .AB=AC,AE=AF, .BF=CE; ∠AOB=∠DOC, 3则+=(x+)月 在△BDF与△CDE中， AB-DC -2=9 易证△BDF≌△CDE(AAS),故 .△AOB≌△DOC(AAS) -2=7 BD-CD. .∠ABO=∠DCO. (2)x+=(x+) 专练11找全等（二） 专练13构全等（四）截长补短 -2=49 等量代换证和差 典例导练 -2=47. 如图，在AB上截取AE,使AE=AC, 典例导练 2.(a+)=+()'+4=d+ AE∥BF,.∠DAE=∠DBF, 连接PE,在△AEP和△ACP中， :CD是△ABC的中线，.AD= (AE-AC ()-4+8=(a-2) +8=9, ∠1=∠2，.△AEP≌△ACP BD,在△ADE和△BDF中， AP=AP :a>0,a+2=3. I∠DAE=∠DBF (SAS),∴.PE=PC,在△PBE中，BE AD-BD ,.△ADE≌ >PB-PE,AB-AC>>PB-PC. 专练09 整式的乘法（六） ∠ADE=∠BDF 知能检测 特殊法分解因式 △BDF,∴DE=DF,∴.CE-CF= 延长FD到点G,使DG=BE,连接 知能检测 EF-2DE. AG,易证△ABE≌△ADG(SAS), 1.(1)(x-3)(x+2); 知能检测 ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, (2)(x-2)(x-4); 1.根据AD∥BC可知∠ADC= .EF=BE+FD,DG=BE,.EF (3)(x+3)(x-5): ∠ECF,再根据E是CD的中点 =DG+FD=GF, (4)(x-2)(x+5); 可证△ADE≌△FCE(ASA),从 且AE=AG,AF=AF, (5)(3x-4)(x+3): 而AE=EF,AD=CF,再证 ∴.△AEF≌△AGF(SSS), (6)x(x-2)(x-6). △ABE≌△FBE(SAS),得到AB ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+ 2.(x2+x)2-8(x2+x)+12 =BF=BC十CF,等量代换得到 ∠DAF=∠BAE+∠DAF. =(x2+x-6)(x2+x-2) AB-BC+AD. 专练14构全等（五）中点模型 =(x+3)(x-2)(x+2)(x-1). 2.,∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD 典例导练 3.原式=x2-(2a+1)x十a(a+1) =∠AFE..∠DBF=∠EAF. (1)①(2)1AD4 =(x-a)[x-(a+1)] 又，∠BDF=∠ADC=90°，BF= 知能检测 =(x-a)(x-a-1). AC,∴.△BFD≌△ACD(AAS), 1.过点E作EF∥AC交AD的延 专练10找全等（一） .FD-CD,BD=AD. 长线于点F,利用AAS证△ABC 知二寻一证全等 .BC=BD+CD=AD+CD= ≌△FBE,从而EF=AC,∠A= 典例导练 (AF+FD)+CD=AF+2CD. ∠F,易证∠A=∠EDF,知 ∠1=∠2，∠3=∠4， 专练12构全等（三）连接与延长 ∠EDF=∠F,从而EF=DE,得 .∠ABC=∠DCB, 典例导练 证AC=DE. 在△ABC和△DCB中， 连接AD、DB,在△DEA和△DCB中， 2.延长OE到F,使得EF=OE,连 52 接DF.易证△BEO≌△DEF :AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴.∠ACE=∠A=x,:EC平分 (SAS),∴.∠BOE=∠F,OB= ∠C=90°，.DC=DE, ∠ACB,.∠ACB=2x,AB= DF,.OB∥DF,.∠ODF+ 在Rt△DCF和Rt△DEB中， AC,∴.∠ABC=∠ACB=2x,在 ∠BOD=180°，∠AOC与 DC=DE △ABC中，.x+2x+2x=180°， ∠BOD互补，.∠AOC DF-DB' x=36°，即∠A=36°； ∠ODF,OA=OB,∴.OA= ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB,∴.CF= (2)54 DF,在△AOC和△FDO中， EB;易证Rt△DCA≌Rt△DEA 知能检测 (OA-DF (HL), 1.设∠C=x,.ED=EC,.∠EDC= ∠AOC=∠FDO,.△AOC≌ AC=AE,.AE=AF+FC,即 ∠C=x,∴∠DEA=∠C+∠EDC OC-DO AE=AF+BE. =2x,DA=DE,.∠DAE= △FDO(SAS),∴.AC=OF,.AC 2.(1)过点C作CF⊥AD于点F, ∠DEA=2x,.∴.∠ADB=∠C十 =20E,即0E-号AC :AC平分∠BAD,CE⊥AB, ∠DAE=3x,AB=AD,∴.∠B= ..CE=CF..CD=CB, ∠ADB=3x,·∠BAC=100°， 专练15构全等六)角平分线模型 ∴.Rt△CFD≌Rt△CEB(HL), .∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=80° 典例导练 ..∠CDF=∠CBE 即3.x+x=80°， (1)SSS(2)>6 .·∠CDF+∠ADC=180°， .x=20°，.∠C=20」 (3)PE=PF,理由如下：如图③，在 ∴./ADC+/ABC=180°： 2.连接AE,设∠B=x,AE=BE, BC上截取BG=BF,连接PG, (2)在Rt△CAF和Rt△CAE中， ∴.∠BAE=∠B=x,∴.∠AEC= ∠BPC=120°，.∠BPF= .CF=CE,AC=AC, 2x,AE=BE=AC,∴.∠C= ∠CPE=180°-∠BPC=60°，易证 ∴.Rt△CAF≌Rt△CAE(HL), ∠AEC=2x,在△ABC中，3x+ △BPF≌△BPG(SAS),.∴.PF= .'.AE=AF, 75°=180°，懈得x=35°，.∠B PG,∠BPF=∠BPG=60°， 又·△CFD≌△CEB, =35°. ∴.∠CPE=∠CPG=60°，在△CPE .DF=BE, 专练21等腰三角形的性质（二） I∠CPE=∠CPG ..AB-AD=(AE+BE)-(AF 整体思想求角 和△CPG中，CP=CP -DF)=BE+DF=2BE=4. 典例导练 ∠PCE=∠PCG 专练18构全等（九）手拉手模型 AB=AC,AE=AF,AD、AG分别为 ∴.△CPE≌△CPG(ASA), 典例导练 △ABC和△AEF的中线， ..PE=PG..'.PE=PF. (1)·∠ACB=∠DCE=&, 1 ./DAC= 2 ∠BAC, EAG 专练16构全等（七】 .∠ACD=∠BCE,在△ACD和 一线等三角模型 CA-CB ∠EAF,.∴.∠DAG=∠DAC+ 典例导练 △BCE中， ∠ACD=∠BCE, :∠EAF+∠BAG=9O°，∠EAF+ CD-CE ∠CAE+∠EAG = 2∠BAC+ ∠AEF=90°，.∠BAG=∠AEF, .△ACD≌△BCE(SAS), :在△AEF和△BAG中， ..AD-BE: ∠CAE+∠EAF= 2∠BAF+ (∠F=∠AGB=90° (2).△ACD≌△BCE,.∠CAD ∠AEF=∠BAG,.△AEF≌ =∠CBE,在△ACF和△BFM中， 2∠CAE,'∠BAF=110°，∠CAE AE=BA ∠CAF+∠FCA =∠FBM+ 24°，.∴./DAG=55°+12°=67°. △BAG(AAS),同理△BCG≌ ∠FMB,∴.∠AMB=∠ACB=a. 知能检测 ACDH,..AF=BG,AG=EF,GC ②CM平分∠AME正确.证明：过 1..AP=BP,AQ=CQ, =DH,BG=CH,,梯形DEFH的 点C作CG⊥AD于点G,CH⊥BE .∴.∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, 面积=合(EF+DH)·FH=80. 于点H,△ACD≌△BCE, ∠BAC=105°，∴.∠BAP+ C.SAD=SAE,7 ADXCG月 ∠CAQ=∠B+∠C=180 1 SAAEF-SAAIG 2 AF·EF=9, ∠BAC=180°-105°=75°， 2 CHXBE,又AD=BE,CG= ∴.∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+ Sam=SamH=zCH·DH=6, ∠CAQ)=105°-75°=30°」 CH,CG⊥AD,CH⊥BE,.CM 2.B ∴.图中实线所围成的图形的面积S 平分∠AME. △ABC中，∠B+∠C=180°- =80-2×9-2×6=50. 专练19构全等（十） ∠A=180°-a;△BED中，BE= 知能检测 全等与无刻度直尺作图 (1,4) 知能检测 BD,∠BDE=2180-∠B: 专练17构全等（八）对角互补模型 略. 典例导练 专练20等腰三角形的性质（一） 同理，得：∠CDF=合(180 ①②③ 方程思想求角 ∠C);∴.∠BDE+∠CDF=180° 知能检测 典例导练 1 1.AF+BE=AE.理由如下： (1)设∠A=x,EA=EC, 2(∠B+∠C)=180°- (180° o)=90+7a:∠BDE+∠CDF 2.过点C作CF⊥BE于点F, 知能检测 ,CB=CE,∴.BF=EF 1.方法一：连DE,证△ABD≌ +g=180,2+g=90,即a+29 ,AB=AC,.∠ABC=∠ACB, △EBD(SAS),从而∠BED= 又'∠CFB=∠BDC=90°，BC ∠A=108°，故∠DEC=∠CDE =180°. =CB,.△BFC≌△CDB, =72°，CD=CE 专练22等腰三角形的性质（三） .CD=BF,∴.BE=2CD 方法二：连DE,只证CD=DE 分类思想求边角 专练24构等腰三角形（一） AE即可 典例导练 作平行线 2.(1)45° 50°或65°或80 知能检测 知能检测 (2)如图，在DH上截取HM= 1.作BG∥CE交AC于点G,证 1.6 HF,连接CM, △BGM≌△ECM. 2.在△BCD与△CBE中， :CH⊥DF,HM=HF,∴.CM= 2.BD=DE十CE,理由如下：易证 (BC=BC, CF,∴.∠F=∠CMF, ∠ACB=∠ABC, ∠DBO=∠DOB,则BD=OD, .DH=CF+HF. :CO平分∠ACG,DO∥BC, BD=CE, ∴.DH=MH+DM=CF+DM, ∴.△BCD≌△CBE(SAS), ∴.∠OCG=∠ECO=∠EOC, ∴.DM=CM,∴.∠FDC=∠MCD, .∠FBC=∠FCB, ..CE=OE, ∴.∠FMC=2∠FDC,.∠F= 设∠FBD=∠ECF=x, .'BD=DO=DE+OE 2∠FDC. 则∠FBC=∠FCB=60°一x, ∴.BD=DE+CE. 专练27构等腰三角形（四） ∠BDF=∠ECF+∠A=x十 专练25构等腰三角形（二）】 二倍角关系 60°，∠DFB=2∠FBC=2(60° 中线倍长 知能检测 x)=120°-2x, 知能检测 1.方法一：AD⊥BC,BD=DF, 分三种情况讨论： 1.延长AD到点G,使得DG=AD, ∴.AB=AF,∠ABC=∠AFB= ①当BD=BF时，此时∠BDF= 连接BG,AD是△ABC的中 2∠C,.∠FAC=∠C,∴.AF= ∠DFB,.x+60°=120°-2x,得 线，∴BD=CD, CF,BD=DF=4,..AB=AF x=20°，即∠FBD=20°； 在△BDG与△CDA中， =CF=CD-DF=12. ②当BD=DF时，此时∠FBD= BD-CD 方法二：可得∠F=∠C,FD=DC ∠DFB,.x=120°-2x,得x= BDG-/CDA, =16,.AB=BF=12. 40°，即∠FBD=40°； DG-DA 2.方法一：连AE,则CE=AB ③当BF=DF时，此时∠FBD= ..△BDG≌△CDA(SAS), AE,.∠B=∠AED=∠C+ ∠FDB,∴x=x十60°，不符题意， .BG=CA,∠G=∠CAD, ∠CAE=2∠C,:∠BAC=120°， 舍去； 又：AE=EF, .∠C=20°. 综上所述，∠FBD=20°或40°. .∠CAD=∠EFA=∠BFG, 方法二：连AF,则AB+BD=DF 专练23等腰三角形的性质（四） ∴.∠G=∠BFG, =CD,∴.AF=AC,∠C=∠F 巧构三线合一 .BF=BG,..BF=AC. √ 典例导练 2.延长AE至点G,使得AE=EG, ∠ABC,∠C=20 证明：连接OC,,AC=BC,∠ACB 连接DG.:点E是CD的中点， 专练28 勾股定理与面积问题 90°，点O为AB的中点，.∠AOC .DE=CE, 典例导练 ∠BOC=90°，∠A=∠BCO=45°，AO 在△DEG和△CEA中， =CO,又.AE=CF,.△AOE≌ DE=CE (1)直角 (2)2(3)210 5 △COF(SAS),∴.OE=OF,∠AOE= ∠DEG=∠CEA, ∠COF,∴.∠EOC+∠COF=90°， 知能检测 EG-AE .△OEF为等腰直角三角形，∠OEF 1.(1)连接AC,易求AC=15,CD ∴.△DEG≌△CEA(SAS), =45° +AC=AD,可知∠ACD=90°， ∴.GD=AC,∠G=∠CAE, 知能检测 .'DF=AC..'.GD=DF, Swm=SAe十Sam=号AB 1.连接BD.:AB=BC,点D是AC ∴.∠G=∠DFG, 的中点，BD⊥AC,∠ABD= ∴.∠CAE=∠DFG, ·BC+2ACCD=×9X12 ∠CBD=∠ABC, DF∥AB,.∠BAE=∠DFG, ∴.∠CAE=∠BAE +2×15x8=14cm. DE⊥AB,.∠ADE+∠BDE =90°，∠ABD+∠BDE=90°， ∴.AE平分∠BAC. 2.过点C作CD⊥AB于D,由勾股 .∠ADE=∠ABD,∴∠ADE= 专练26构等腰三角形（三）】 定理得：CD=AC一AD=BC -BD,.132-AD=152-(14 2∠ABC, 1 截长补短 典例导练 -AD)2,解得：AD=5,∴.CD .∴.∠ABC=2∠ADE, 5 AC-AD=√132-5=12， 55 .S△Awc= 1ABX CD= 1×14 ②当∠BAP为直角时，BP= (2)当AB=DB时，AB=25= 4 cm,CP=(1-4)cm,AC=3 cm, DB,CD=10,AD=10√5，.周长 ×12=84. 在Rt△ACP中，AP2=AC+ 专练29勾股定理与折叠问题 为(50+10√5)m; CP2=32+(t-4)2, (3)当AD=DB时，设DC=x,则 典例导练 在Rt△BAP中，AB2+AP= 24 AD=x+15,.(x+15)2=x2+ BP2,即52+[3+(t-4)2]=, 知能检测 1..AF=AD=10,AO=8,Rt 解得一草 20-要周长为29m 专练32勾股定理与 △AOF中，易求OF=6,则FC= ∴当△ABP为直角三角形时，t 无刻度直尺作图 OC-OF=10-6=4,设EC=a, 在Rt△EFC中，EC+FC= =4或=5 知能检测 2.(1)当AD=AB时，DC=BC= 略. EF,a2+42=(8-a)2,.a= 3,.E(10,3). 15,AD=25,..周长为80m: 2.由翻折的性质，得∠1=∠2， ∠1=∠3，∠2=∠3， 《学情监测》参考答案 ..BF-DF. 学情监测（一） ∴.长方形的长为24cm,宽 AD=8,AF=8-DF,在Rt 1.C2.A3.B4.C5.D 为16cm; △ABF中，AB2+AF=BF, 6.B7.A8.A9.D10.C (2)她能裁出符合要求的长方 .42+(8-DF)2=DF2,解得DF 11.112.±/513.> 形，理由：设新长方形纸片的长 =5. 14.55.8615.-4 为5acm,宽为4acm, 专练30勾股定理与方程思想 由题意得：5a·4a=300,解得：a 典例导练 16.1)8；(2)-8」 =√15或a=-√5（舍去）， 设CD=x,在Rt△ABD中，由勾股 (2)x=6. .新长方形的长为5√15cm,宽 定理得AD=AB2-BD=162-(6 120=±子 +x)2=256-(6+x)2, 18.a-b>0,a>0,b<0, 为4√/15cm, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD ∴.la-bl-√a-w√-b) .(5/15)2=375,242=576,(4 =AC2-CD2=142-x2=196-x2, =a-b-a-(-b)=0. √/15)2=240,162=256， .256-(6+x)2=196-x2,解得x 19.x=3,y=8,/+3y=3. ..375<576,240256, =2,∴.CD=2,.AD=196-4= 20.(1)由题意，得5a+2=27,3a十b .5√15<24,4√/15<16， 192,.AD=83. -1=16,解得a=5,b=2, ∴她能裁出符合要求的长方形 知能检测 c是√3的整数部分， 23.(1)6(2)n(3)52 1.设AD=x,在Rt△ACD中，AC .c=3. 学情监测（二） =AD2+CD=x2+4, (2)将a=5,b=2,c=3代人得：1.A2.D3.C4.A5.C 在Rt△BCD中，BC=CD+ 3a-b+c=16, 6.D7.B8.A9.C10.B BD=42+22, ∴.3a一b+c的平方根是士4. 11.x-312.±413.2 在Rt△ABC中，AC+BC 21.(1)一个小正方体的体积为6414.x2-115.47 =AB2, ÷64=1(cm),它的棱长为 x2+4+4+22=(x+2)2,解得 16.)10a:(2)-2mgm-1 =1(cm). x=8,.AD=8. 答：组成这个4阶魔方的小正方17.(1)a(x+4);(2)(p+2)(p-2). 2.设CD=BD=x,在Rt△ACD 体的棱长是1cm. 18.(1)二去括号时没有变号 中，AC+x2=13①， (2)4阶魔方的棱长为1×4= (2)原式=a2十a-(a2-4a+4)》 在Rt△ABC中，AC+(2x)2= 4(cm),每个面的面积为4= =a2+a-a2+4a-4=5a-4. (261)2②， 16(cm),每个三角形的面积为19.原式=a2一b-a2十ab=ab 由②-①化简得x2=25,∴.CD= 5.(负值舍去) 号×3×1= (cm,正方形 -62. 专练31勾股定理与分类讨论 当a= ABCD的面积为16-4X号 2,6=4时，原式 1 典例导练 -18. 25或7 10(cm),其边长为√/10cm. 20.(1).(a+b)2=a2+2ab+b 知能检测 答：正方形ABCD的面积是 11…① 1.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 10cm,边长是√/10cm. (a-b)2=a2-2ab+b2=7…② BC=4cm.由题意，知BP=tcm, 22.(1)设长方形纸片的长为3xcm, 由①-②得4ab=4, ①当∠APB为直角时，点P与点 宽为2xcm,由题意得：3x·2x= .ab=1. C重合，BP=BC=4cm,∴t=4; 384,解得：x=8或x=-8(舍去)， (2)由x(x-1)-(x2-y)=-6, 以21 专练21等腰三角形的性质（二）整体思想求角 【方法规律】在求解与三角形有关的角度问题时，局部求解比较困难，可利用整体思 想求出角的和与差. ③典例导练 示范题如图，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,AD, AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF=110°，∠CAE=24°， 求∠DAG的度数 【思路点拨】若能分别求出∠DAC和∠EAG的大小，则易得∠DAG的度数，但从题 设条件无法求得.若把∠DAC十∠EAG看成一个整体，可使问题迎刃而解. 【自主解答】 之知能检测 1.如图，MP和VQ分别垂直平分AB和AC.∠BAC=105°，求∠PAQ的度数. 2.如图，△ABC中，D,E,F分别为边BC,AB,AC上的点，BD=BE,CD=CF,设∠A= a,∠EDF=3,则下列关系中正确的是 ()(请写出分析过程) A.2a+B=1809 B.a+2B=180° C.a十β=90° D.a+B=180° 22 专练22 等腰三角形的性质（三）分类思想求边角 典例导练 【方法规律】腰和底不明时往往需要分类讨论.分类讨论求边长时，一定别忘记三角 形的三边关系.另外无图时可能有多解 示范题 如图所示，a∥b,点C在直线b上且在点B右侧运动， ∠ABC=50°，作直线AC,若△ABC是等腰三角形，则∠a= 450 【思路点拨】①利用平行线的性质可得∠α=∠ACB;②分三种情况讨论：“当BA BC时”“当AB=AC时”“当CA=CB”;③分别进行计算即可解答. &知能检测 1.如图，已知直线OM垂直于直线ON,点A在直线OM上，且∠OAB M =30°，点B在直线ON上，在直线OM或直线ON上找一点C(与 A,B不重合)，使△ABC成为一个等腰三角形，这样的点C能找到 个 2.如图，△ABC是等边三角形.点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动 点，且BD=CE,BE与CD交于点F.若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数.