第二章 直线和圆的方程 单元卷（河南专用）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦直线和圆的方程，覆盖倾斜角、垂直关系、直线与圆位置关系等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配高二单元复习，培养几何直观、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|直线倾斜角、垂直条件、充要条件|基础题为主，考查概念理解| |多选题|3|斜率与倾斜角关系、直线过定点|辨析性强，培养推理意识| |填空题|3|阿波罗尼斯圆、切线斜率|融入文化素材，考查创新应用| |解答题|5|圆的方程、对称问题、弦长计算|综合直线与圆知识，提升运算与建模能力|

第二章直线和圆的方程单元卷（河南专用） 一、单选题 1．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为，解得. 故选：A. 2．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解. 【详解】由题可得，，解得. 故选：A. 3．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】代入，得到直线与直线的方程，根据直线平行的性质结合充分条件与必要条件的判定分析选项. 【详解】当时，直线的方程为，直线的方程为，，充分性成立. 若，则，解得或. 当时，直线与直线的方程均为，直线重合，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，直线的方程为，， 所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件 故选：C 4．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 5．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率和圆心坐标，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】圆的圆心为，且直线的斜率为， 因为直线与直线垂直，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：D. 6．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以 . 7．（25-26高二上·河南信阳·期中）直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（    ） A．1 B．5 C．或5 D．1或 【答案】D 【分析】结合圆的方程求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合题意建立方程求出参数值即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离为， 则，即，解得或，故D正确. 故选：D 8．（25-26高二上·河南·期中）已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由得两点坐标关系，将其代入圆方程，问题转化为圆与圆有公共点，利用两圆位置关系求解. 【详解】由，得， 设，，则， 即，，又，在圆上， 所以，，即. 所以圆与圆有公共点， 因此，解得. 又由且，不同，知点在圆外，故，故. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·河南南阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．若直线的斜率，则倾斜角 B．过点且与直线垂直的直线方程为 C．过任意两点，的直线都可以用方程表示 D．直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D. 【详解】解析 对于A，由条件可知，又， 当时，， 当时，，A正确； 对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 即，故B错误； 对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误； 对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确. 故选：AD 10．（24-25高二上·河南驻马店·期中）设a为实数，直线，，则（   ） A．恒过点 B．若，则或 C．若，则或0 D．当时，不经过第二象限 【答案】BD 【分析】对于直线方程，如果要找过定点的情况，可以对含参数的式子进行整理.两直线平行则，两直线垂直则.通过这些定理来判断每个选项的正确性. 【详解】将，代入的方程左边得. 当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点. 故A错误. 对于直线和. 因为，根据两直线平行的判定条件， 则， 整理得，解得或. 当时，，，两直线平行； 当时，，，化简为，两直线平行，所以或. 故B正确. 因为，根据两直线垂直的判定条件，则， 整理得. 利用求根公式，所以C错误. 直线， 当时，，即. ，直线不经过第二象限. 当时，，，直线方程变形为， 则，，所以直线不经过第二象限，故D正确.     故选：BD 11．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B． C．点到直线的最大距离为 D． 【答案】BC 【分析】使用直线与圆的几何法求弦长，点到直线的距离公式，勾股定理求解. 【详解】∵圆的方程为，其圆心坐标为，故A错误； 圆心到直线的距离，故B正确； 点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径之和，即，故C正确； ∵在中，，则，故D错误，故选BC． 三、填空题 12．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 【答案】 【分析】问题转化为过定点的直线l与线段有公共点，先计算过临界点的直线的斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】直线l：过定点. 由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时， 由图可知，或. 故答案为：. 13．（24-25高二上·河南·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，则， 依题意，圆是由点，确定的阿波罗尼斯圆，且， 设点坐标为，则， 整理得，而该圆的方程为， 则，解得，点的坐标为 ， 因此，当时，最小，最小值为， 所以当时，的值最小为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点 ，即可利用点到直线的距离求解. 14．（25-26高二下·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质列式求解. 【详解】由点，线段为的一条直径，得， 的半径， 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则， 整理得，因此是方程的两个根， 所以 . 四、解答题 15．（24-25高二下·河南叶县·期中）a为何值时， (1)直线与直线平行？ (2)直线与直线垂直？ 【答案】(1)当或0时，两直线平行 (2)当a＝0时，两直线垂直 【分析】（1）根据两直线平行所满足的公式得到方程和不等式，求出的值； （2）法一：考虑与两种情况，根据斜率乘积为-1列出方程，进行求解； 法二：根据两直线垂直所满足的进行求解. 【详解】（1）要使两直线平行，则需，且， 解得：或0. 所以当或0时，两直线平行； （2）法一：①当a＝0时,直线的斜率不存在，直线，直线，此时满足； ②当，直线与直线， 要使两直线垂直，必有，方程无根， 综上①②可得：当a＝0时,两直线垂直. 法二：要使直线和直线垂直， 只需， 解得：a＝0， 所以当a＝0时，两直线垂直. 16．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由上的高所在直线方程为，可得，且过点得到直线所在的直线方程，联立方程即可求得顶点的坐标. （2）设点，且的中点，代入所在的直线方程为，求出的表达式再与的方程即可得到点坐标，再用点斜式即可求得方程. 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得，故点； （2）设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故，解得，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 17．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知直线和直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的垂直关系进行求解； （2）分直线过原点及不过原点进行求解． 【详解】（1）由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. （2）联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 18．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程. 【详解】（1）设圆方程：， 由已知，解得， 圆的方程为. （2）设圆的圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为. 19．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用几何法联立直线方程得圆心，即可求解， （2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题设，线段的中点为且， 由知， 所以直线方程为，即， 联立，解得，即得， 而， 所以圆的方程为. （2）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为0，不符合题意 ②当直线的斜率存在时，设，即 所以， 解得或. 直线的方程为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第二章直线和圆的方程单元卷（河南专用） 一、单选题 1.(25-26高二上：河南新乡：期中)已知直线1上两点A(2,3,B(5,n,若直线1的倾斜角为2严 3,则 实数n的值为() A.-23 B.0 c.23 D.4V3 2.(25-26高二上河南焦作·期中)已知直线l1:2x-y+1=0与l2:x+2y-3=0垂直，则实数k的值为 () 1 A.1 B.-1 c.2 D方 3.(25-26高二上河南新乡.期中)已知直线m:ax+2y-1=0,n:x+(a+1)y-1=0,则“a=-2” 是“mn”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高二上河南期中)直线l1:3x-4y+5=0与l2:3x-4y-2=0上各有一动点P,Q,则 PQ的最小值为() 4号 7 c.3 n号 5.（24-25高二上-河南许昌：期中)已知直线过圆x-1?+y-12=4的圆心，且与直线x+2y+1=0垂 直，则直线的方程是() A.2x+y+1=0 B.X-2y+5=0 C.x+2y+5=0 D.2x-y-1=0 6.(25-26高二下·河南平顶山期中)已知直线x-2y-4=0与圆C:x2+y2-2x-2y-23=0相交于 A,B两点，其中点C为此圆的圆心，则sin∠ACB=() 4.2 c.3 V5 5 D.5 7.(25-26高二上-河南信阳期中)直线3x+y+a-3=0与圆C:x-1+y-2?=g相交于M:N 两点，且∠MCN=120°，则实数a的值为() A.1 B.5 C.-1或5 D.1或-5 8。(25-26高二上河南期中)已知点p-1,3若圆C:x+4+y-6P=r2r>0上存在不同的两点A 试卷第1页（共3页） B,使得i=号A店，则实数r的取值范围是《） A.R2,22 B.22,32 C 32,32 D.32,22 2 12 二、多选题 9.(25-26高二上·河南南阳·期中)下列说法中正确的是() A.若直线的斜率k∈11则倾斜角g∈0，U 4, B.过点-1,2且与直线x+3y-1=0垂直的直线方程为3x-y+1=0 C.过任意两点P,x1,y,小P,X,y,的直线都可以用方程y-业=X-X表示 y2-y1X2-X1 D.直角坐标系xO)内的任意直线都可以用方程Ax+By+C=0(A?+B2≠0)表示 10.（24-25高二上河南驻马店·期中)设a为实数，直线l1:ax+2y+1=0, 12:(a-2)x-(a+1)y+3=0则() A.11恒过点(-2,1) B.若l1/112,则a=-4或a=1 C.若l1112,则a=-4或0 D.当a≤-1时，12不经过第二象限 1.（25-26高二下河南新乡期中)已知直线1：x-y+5=0与圆C:X+y-1=16相交于A,B两点， D是圆C上一动点，则() A.圆C的圆心坐标为1,0 B.AB=42 C.点D到直线l的最大距离为4+2V2 D.∠ACB=120 三、填空题 12.(25-26高二上·河南濮阳·期中)已知点M-1,1,N2,2,直线1：y+2=k(x-1上总存在一点 P,使得MP=入M(0≤入≤1)，则实数k的取值范围为 13.(24-25高二上·河南·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平 面内与两点距离的比为常数入（入≠1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点A-7,0, 试卷第2页（共3页） B为直线，：2x+y+3=0上的动点，p为圆C:x-2+y=g上的动点，则|PA+3PB的最小值为 14.(25-26高二下·河南期中)已知点A-1,1,B3,3,线段AB为⊙M的一条直径.设过点 C2,-1且与⊙M相切的两条直线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2= 四、解答题 15.(24-25高二下·河南叶县·期中)a为何值时， (1)直线，：x+2ay-1=0与直线1，：3a-1x-y-1=0平行？ (2)直线l3:2x+ay=2与直线l4:ax+2y=1垂直？ 16.(25-26高二上·河南信阳·期中)已知△ABC的顶点A1,1,边AB上的中线CM所在直线方程为 x+y-3=0,边AC上的高线BH所在直线方程为2x-y-2=0.求： (1)顶点C的坐标： (2)直线BC的方程. 17.(25-26高二上河南洛阳·期中)已知直线l1:3x+2y-8=0和直线l2:2x-y-3=0 (1)求经过点P4,1且与直线l1垂直的直线方程： (2)求经过直线1与2的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 18。(24-25高二上河南安阳期中)（1)求圆心在y轴上，并且过原点和-3,3的圆的方程： (2)求圆C:X+1P+y+1?=2关于直线1：x+y-1=0对称的圆的方程 19.(25-26高二上河南洛阳·期中)已知圆心为C的圆经过点A-1,1和B-2,-2,且圆心C在直线 11:x+y-1=0上 (①)求圆C的标准方程： (2)若直线经过点E3,4,且被圆C截得的弦长为2V7,求直线的方程 试卷第3页（共3页）