专练09 一次函数与面积&专练10 二元一次方程组与一次函数-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

9 专练09 一次函数与面积 【方法规律】直线解析式→点的坐标图形面积；图形面积→点的坐标→直线解析式. ③典例导练 示范题如图，直线l:y=一2x十6分别交x轴、y轴于点A、E,点B(m,一10)在直 线L上，点E关于x轴的对称点为E,连接AE,BE. (1)点A的坐标是 (2)求△ABE的面积 (3)点Q1a)为平面内一动点，连接QA,QE,若50=号sa心r,求 点Q的坐标 【思路点拨】(1)根据直线解析式，令y=0可得x的值. (2)由题意可知：E(0,6),E(0,一6)，EE=12,可得S△ABE=S△BE一S△AE代入数 据计算即可. (3)过点Q作QF∥y轴交AE'于点F,利用SaaE=SAE,可求出QF=10,再求 点Q的坐标. 【自主解答】 心知能检测 如图，在平面直角坐标系中，过点C(0,6)的直线AC与直线OA相交于点 A(4,2),动点M沿路线O→A→C运动， (1)直线AC的解析式为 (2)求△OAB的面积. 0 B (3)当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标. 10 专练10二元一次方程组与一次函数 【方法规律】对于一次函数y=x十b,当y取具体值时，函数即为方程.解二元一次 方程组：从数的角度来看，就相当于求自变量为多少时，两个函数值相等，从形的角度看， 相当于求两条直线的交点. ③典例导练 示范题如图，直线11：y=x十5交y轴，x轴于A,B两点，直线 :y=一-1交y轴x轴于C,D两点，直线4，山相交于P点， (1)求直线11，l2与x轴围成的三角形面积 B Z5-4-3-21 12 (2)过P点的直线把△PAC面积两等分，求这条直线的解析式， 【思路点拨】(1)根据两函数解析式组成的方程组的解求交点P的坐标，由一次函数 的解析式求得B、D的坐标，根据三角形面积公式求解即可， (2)先求得A、C的坐标，进而求出AC的中点坐标，再利用待定系数法 【自主解答】 之知能检测 如图，直线y=一x十m与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点A,点C为 线段OB上一点，点M为线段AB上一点，OM交AC于N,S△ABC=4. (1)求直线AB和直线AC的解析式. (2)若SAoC=1,求点M的坐标..'.AD=BE. .△CMN的周长为CM+MN (2)证明：过点C作CM⊥AD于点 +CN=AM+MN+BN=AB. M,CN⊥BE于点N,:△ACD≌ .△CMN的周长为15cm.. △BCE,.SAACD=SAE·又：S△D AB=15cm. 号ADMC,Sm-号BE· (2):∠MFN=70°，.∠MNF +∠NMF=180°-70°=110°. CN,AD=BE,..CM=CN..HC :∠AMD=∠NMF,∠BNE 平分∠AHE. ∠MNF,∴.∠AMD+∠BNE= (3)设AD,BC相交于点P. ∠MNF+∠NMF=110°. :△ACD≌△BCE,.∠CAD ∠A+∠B=90°-∠AMD+90° ∠CBE,.∠APC=∠BPH,. -∠BNE=180°-110°=70°. ∠AHB=∠ACB=&. ,AM=CM,BN=CN,.∠A .∠AHE=180°-a. =∠ACM,∠B=∠BCN. 章未核心考点整合与素养提升 ∴.∠MCN=180°-2（∠A+ 1.C2.11 ∠B)=180°-2×70°=40°. 3.(1)图略；(2)图略 ①20°②60°③120°④2a (3)(-4,-4)(4)4 1809 4.C5.B6.C7.C8.C 23.(1)△BDC≌△AEC 9.∠BAD=∠CAD或AD⊥BC (2)AE∥BC 10.D11.B12.C13.C14.36 (3)成立.证明：，△ABC,△EDC 15.B16.C17.D18.10°19. 为等边三角形，.BC=AC,DC= A或C20.80° CE,∠BCA=∠DCE=60°. 21.(1)图略. ∠BCA+∠ACD=∠DCE+ (2)连接AD,,AB=AC,∠A= ∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在 108°，.∠B=∠C=36°，由(1) △DBC和△EAC中， 得：AD=CD,∴.∠DAC=∠C= BC=AC, 36°，∴.∠ADB=∠DAC+∠C ∠BCD=∠ACE, =72°，∠BAD=∠BAC DC=EC ∠DAC=108°-36°=72°， ∴.△DBC≌△EAC(SAS) ∴.∠BAD=∠BDA,∴.AB=BD, .∠EAC=∠B=60° ∴.△ABD是等腰三角形. 又.∠ACB=60°， 22.(1)DM,EN分别垂直平分AC .∠EAC=∠ACB..∴.AE∥BC 和BC,.AM=CM,BN=CN. 夹册《提分专练》参考答案 第11章平面直角坐标系 787×0-40×22a 专练01坐标与面积（一）知坐标， 求面积 -3=10. 典例导练 知能检测 ID:Sm=20A×0B,0A (1)A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3), D(4,0),E(3,3),F(0,3) 0B,∴20A=8,解得0A=4 (2)线段BC平行于x轴（或线段 ..OB=OA=4,..OC=BC-OB=12 BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x -4=8,A(0,4),B(一4,0)，C(8,0).轴（或线段CE平行于y轴）. (2)作PE⊥y轴于E,S△aB= (3)S多边形ABCDEF=S△ABF十S长方形EF十 号×(3+3)×2+3×(3+3) SA①E= 58 +号×3+3)×1=6+18+3=27 (-1,3)或(1，一1)或(2,0)或(4,2) 专练04坐标与横平线、竖直线 专练02坐标与面积（二）知面积， 一数形结合思想 求坐标 典例导练 典例导练 (1)依题意有2a-4=4,解得a=4. (1)A(-3,0),.OA=3,S△4wc= (2)依题意有13a+2|=|2a-4|,则 2BC·0A=×3×Bc=12 3a+2=2a-4或3a+2+2a-4= BC-8B0,0B=40C0,解待a=-6或a=号 =4,.C(0,-4). 知能检测 (2)存在，△PBC的面积等于 1.(1)在一条直线上，这条直线与x △ABC的面积的一半，C(0,一4)，B 轴平行（即横平线） 3 (0,4)…BC上的高OP为2点 (2)在一条直线上，这条直线与x P的坐标（是o)或(-之0）： 轴垂直（即竖直线）. 2.(1)因为点M在y轴上，所以m 知能检测 -1=0,解得m=1,所以2m+3 (1)A(-10,0),AB=4,.B(-6, =5,则点M的坐标为(0,5)，所 2,SAc7AB·=14 以点M到x轴的距离为5. (2)因为直线MN∥y轴，所以m |yc=7,:点C在第二象限， 1=-3,解得m=一2，所以2m十3 ∴.|yc|=7,△ABC沿x轴平移 =一1，则点M的坐标为 得到△DEF,.F(0,7). (一3，一1)，所以线段MN的长为： (2)A(-10,0),B(-6,0),D为 2-(-1)=3. AB中点，∴.D(-8,0),AD=BE= 专练05坐标与方程—方程思想 2,E(-4,0),.OE=4,.S△mr 典例导练 =20E0F=号×4×7=14. (1).a+2+wb-4=0,.a+2 专练03坐标与面积（三）知坐 =0,b-4=0,∴.a=-2,b=4,∴.点 标，求面积一分类讨论思想 A(-2,0),点B(4,0).又点C(0,3), 典例导练 .AB=|-2-4=6,CO=3,.SAa (1)三角形ABC的面积=4X3- 2 2AB.00-7×6X3=9, X1×2-2×2×8-2×2×4=4. (2)设点M的坐标为(x,0),则AM =|x-(-2)=|x+21,又S△w (2②)当点P在x轴上时，5aw=号PB =3 AM0C=×9, 0A=PB=4.PB=8P的坐Z1x+21X3=3,x+21=2。 标为(10,0)或(-6,0).当点P在y轴即x+2=±2，解得：x=0或-4，故 上时，Sm=号PA·0B=号×2AP点M的坐标为0.0)或一4,0， 知能检测 =4..PA=4.点P的坐标为 存在，理由如下：当P在AB上运动 (0,5)或(0，-3).综上所述，点P的 坐标为(10,0)或（一6,0）或(0,5)或 时，AP-,0A=3.AP=21 (0,-3). 知能检测 32-3=744=2AP=2 (1)图略，点C的坐标为(3,1). -3=1,∴.点P的坐标为(3,1)；当P (2)图略，点P的坐标为(0,4)或在OC上运动时，OP=14-2t,.14- 59 2=号，4-器，0p=14-24 知能检测 (1)设直线PA的表达式为y=kx 兰点P的坐标列0，号)，签上可+6,5m号×B0X-号× 知，点P的坐标为3或(，号)： 2×m=2,解得m=2,故点P坐标 为(2,3)，把点B(0,2)代入，得b= 第12章函数与一次函数 2,把点P(2,3)代人，得2k+2=3, 专练06一次函数的图象和性质 典例导练 解得k=2直线PA的表达式为 1-m0 由题意，得 3m-8≠0解得m>1,=号+2. 且m≠3 (2)令y=0,即2十2=0，解得x 知能检测 -4,放A(-4,0)S6m=2× 1.(1)由题意，得m-1=0,解得m =1. AOX BO- 2×4×2=4. (2)当x=0时，y=-3,即m-1 专练8一次函数的图象与几何变换 =-3,解得m=-2. 典例导练 (3)由题意，得2m+3<0,解得m - (1)y=2x(2)(2,5)或(0，-1) 知能检测 2.(1)当x=0时，y=b,.一次函数 1.(1)-1 (2)3 图象与y轴的交点坐标为(0，b); (3)向下平移k个单位长度的解析 当y=x+b=0时，x=-b,.一 式为y=一x十3-k,由题意得3一k 次函数图象与x轴的交点坐标为 =0,解得k=3. (-6,0.∴2×61×1-61=2， 2.(1)y=2x-3.(2)27 专练09一次函数与面积 解得：b=士2. 典例导练 (2)①由题意，可知一次函数为y=:(1)(3,0) x+2,②当x>-2时，y>0. (2)由题意可知：m=8,E(0,6),E(0, 专练07待定系数法求一次函数 -6),∴.EE=12,.SAE=SAE一 的解析式 典例导练 5ag=EE×8-EX3=2× (1)把A(2,m)代入y=2x-3得：m= 12×(8-3)=30. 2X2-3=1,.m的值为1，A(2,1),(3)过点Q作QF∥y轴交AE于点 设直线AB解析式为y=kx十b,把F,易求直线AE的表达式为y=2x A(2,1),B(0,3)代入得：6，当x=1时，y=-4,F1,-40, 2+61,解得 k=一1 b=3 =3 Sae=号sae=152QFX3 .直线AB解析式为y=一x十3. -1)+2QF×1=15,∴.QF=10, (2)2y十y2的值不随t的变化而变.a十4=10，解得a=6或a=-14, 化，理由如下：：点P(t,y)在线段Q1,6)或(1，-14). AB上，点Q(t+1,y2)在直线y=2x 知能检测 -3上，M=-1+3,y2=2(t+1)(1)y=-x+6 -3,2M十y=2(-1+3)+2(1什(2)在y=一x+6中，令y=0,解得：x 1)-3=5,.2y1+y2的值不随t的 变化而变化，2y+y2的值为5. =6,Sm=×6X2=6 (3)设OA的解析式是y=mx,则4m 60 =2,解得：m=2,则直线的解析式 (2)设N(t,-21+4),,SAc=1, 4.8x+4(40-x)=180,解得：x= 是：y=2,:当△OMC的面积是 ×2(一2+0)=1，解得1=名 1 25,∴.40-x=40-25=15. 答：他批发甲蔬菜25kg,乙蔬菜15kg. N(号，1)，设直线ON的解析式 (2)设他批发甲种蔬菜nkg,全部卖 △OAC的面积的六时，，M的横坐标 完蔬菜后获得的利润为W元，由题 是子×4=1.①当点M在OA上时， 为y=,把N(号，1)代入得号 意得：W=(7.2-4.8)n+(5.6-4) (80-n)=0.8n+128,0.8>0,n 将x=1代入=x中，y,则M 1,解得b=号，即直线O八的解析式 ≤60，∴.当n=60时，W取最大值，最 2 号x,解方程组 y= 大值为128+0.8×60=176（元）. 的坐标是(1，号)：②当点M在AC 为y= 3 得 答：他全部卖完蔬菜后能获得的利 y -x十4 上时，将x=1代人y=一x十6中，y 润的最大值为176元. 12 =5,则M的坐标是(1,5).综上所述，点 7= 知能检测 5 M点坐标为( (1)设A种品牌的足球单价为x M的坐标是：M(1,2)或M15. 8 V- 5 元，则B种品牌的足球单价为(x+ 专练10二元一次方程组与一次函数 专练11一次函数的应用（一） 30)元，由题意，得：5x=3(x十30)，解 典例导练 行程问题 得：x=45,∴.x十30=45+30=75（元）. (1)易求点P(-4,1),B(-5,0),D 典例导练 答：A种品牌的足球单价为45元，B (-2,0),.直线1，l2与x轴围成 (1)设y与x之间的函数关系式为y 种品牌的足球单价为75元. 的三角形面积为：号×(-2+5)×1 =kx+b,把(0,30)，(1,60)代入得： (2)设购买A种足球m个(m≥1)， b=30 1k=30 则购买B种足球(50一m)个，由(1) 3 ,解得 ,y与x之 2 1k+b=60 1b=30 得：=45m+75(50-m)=-30m (2)把x=0分别代入y=x+5和y= 间的函数关系式为y=30x十30. 十3750，由题意，得m9(50一m), 2x一1，解得y=5和y=-1,A 1 (2)根据题意得：60x=30x十30，解 解得m≤45，∴.1≤m≤45，：-30 得x=1,.60x=60×1=60,答：出 0,.随m的增大而减小，.当 (0,5),C(0,-1),∴AC的中点坐标为发1h后，小苏与小李在途中相遇， m=45时，心最小，最小值为：一30× (0,2).设过P点且把△PAC面积两相遇时他们距离小苏家60km. 45+3750=2400(元)，∴.关于m的 等分的直线的解析式为y=kx十b,知能检测 函数关系式w=一30m十3750，最低 把点(-4,1)，(0,2)代入得D 费用为2400元. 专练12一次函数的应用（二） 第13章三角形中的边角关 -4k+b=1 k= ,解得 4,.这条 方案选择 系、命题与证明 b=2 b=2 典例导练 专练14平行线与三角形的内角和 1 直线的解析式为y=x+2. (1)设ym=k1x,根据题意得4k= 典例导练 知能检测 80,解得=20，∴.ym=20x;设yz= .m∥，.∠1=∠a=123°， (1)把B(4,0)代入y=-x+m得 k2x+80,根据题意得：12k2+80=200, .∠BAC=180°-∠1=57°， 一4十m=0,解得m=4,所以直线 解得2=10，·yz=10x+80. ∠B=45°，.∠ACB=180° AB的解析式为y=-x十4，当x=0 (2)当y=240时，ym=20x=240, ∠BAC-∠B=78°， 时，y=一x+4=4,则A(0,4),: ∴.x=12;当y=240时，yz=10x+ ∴∠B=∠ACB=78. 80=240,解得x=16:.1216,∴. 知能检测 5r=4.号×4×BC=4,解得 选择乙种更合算， 1.∠EAB=15°，∠CAB=90°， BC=2,则C(2,0).设直线AC的解 知能检测 .∠CAE=90°-15°=75°，：HF 析式为y=kx+b,把A(0,4),C(2, 1.C2.B ∥DE,∴.∠CMF=∠CAE=75°， 1b=4 专练13一次函数的应用（三）】 .∠C=60°，.∠CQM=180° 0)分别代入得 2k+b=0'解得 最大利润 60°-75°=45°， 1k=一2 典例导练 ∴.∠FQG=∠CQM=45. ,.直线AC的解析式为y b=4 (1)设批发甲蔬菜xkg,则批发乙蔬 2.(1)CF∥DB,理由：BC⊥AE, =-2x+4. 菜(40一x)kg,根据题意得： DE⊥AE,∴.BC∥DE,.∠3+ 61 ∠CBD=180°，又，∠2+∠3= 65°+30°=95°； 第14章全等三角形 180°，.∠2=∠CBD, ②如图2，当高AD在△ABC的 专练19找全等（一）知二寻 ∴.CF∥DB. 外部时，∠BAD=65°，∠BAC= 一证全等 (2).CF∥DB,.∠1=∠ABD= ∠BAD-∠CAD=65°-30°= 典例导练 80°，又：BC平分∠ABD,∴.∠DBC 35°，综上所述，∠BAC的度数为易证△ABC≌△DCB(ASA), =Z∠ABD=40,∠2=∠DBC 95°或35° .'.AB=DC. 2.①当点F在AB的上方时，图略：知能检测 =40°，又，BC⊥AG,.∠ACF= AC∥EF,∠C=50°，∴.∠BEF1.AD⊥BC,CE⊥AB,.∠ADB 90°-∠2=90°-40°=50°. =∠C=50°，∴.∠BED=∠FED =∠CDF=∠CEB=90°， 专练15求角度（一）方程思想求角 ∴.∠BAD+∠B=∠FCD+∠B 典例导练 =7∠BEF=号×50=25， =90°，.∠BAD=∠FCD B ②当点F在BC的下方时，图略： 在△ABD和△CFD中， 知能检测 :AC∥EF,∠C=50°，.∠CEF '∠ADB=∠CDF 1.设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x, =∠C=50°，∠BED=∠DEF= AD=CD ∠BAC=72°，.x+2x+ ∠DEC+∠CEF=180°-∠BED ∠BAD=∠FCD ∠BAC=180°，解得x=36°， +50°，2∠BED=230°，∠BED= .△ABD≌△CFD(ASA) .∠DAC=∠BAC-∠1=72°- 115°.综上所述，∠BDE的度数 2.在△ABE与△ACF中，易证 36°=36°. 为25或115°. 2.设∠CAD=x,则∠BAD=x,∠E △ABE≌△ACF(SAS);∴.∠B= 专练18探究角度关系—特殊到 =3x,由题意，可知∠EAD= ∠C;AB=AC,AE=AF,∴.BF 一般思想 =CE;在△BDF与△CDE中，易 ∠EDA=∠B+x=x+50°， 典例导练 在△EAD中，∠E+∠EAD+ 证△BDF≌△CDE(AAS),故BD (1)·∠ADC是△ABD的外角， =CD. /EDA=180°，∴.3.x+2(x+50)= .∠ADC=∠1+∠B=105°，∠DAE 180°，解得：x=16°..∠E=48°. 专练20找全等（二）等量代换 =∠BAC-∠1=30°，∴.∠4=∠AED 专练16求角度（二）整体思想求角 证和差 =75°，.∠2=105°-75°=30°； 典例导练 典例导练 (2):∠ADC是△ABD的外角，. C ∠ADC=∠1+∠B=∠2+∠4，： 'AE∥BF,∴.∠DAE=∠DBF, 知能检测 CD是△ABC的中线，.AD=BD,在 ∠4=∠AED,且∠AED是△DEC 1.C △ADE和△BDF中， 的外角，.∠4=∠AED=∠2十 2.(1),A'B平分∠ABC,A'C平分 ∠C,∴.∠1+∠B=∠2+∠2+ ∠DAE=∠DBF ∠ACB,∠BA'C=110°， AD-BD ∠C,∴∠1=2∠2. ∴.∠A'BC+∠A'CB=70°，∴. ∠ADE=∠BDF 知能检测 ∠ABC+∠ACB=140°，. .△ADE≌△BDF,.DE=DF, (1)10° ∠BAC=180°-140°=40°. .CE-CE=EF=2DE. (2)连接AA',:∠1=∠DAA'+ (2)∠EAD-(∠ACB-∠ABO. 知能检测 ∠DA'A,∠2=∠EAA'+∠EA'A, (3)过点A作AG⊥BC于G,由三角1.根据AD∥BC可知∠ADC ∴.∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+ 形的内角和定理及角平分线的定义 ∠ECF,再根据E是CD的中点可 ∠EAA'+∠EA'A=∠DAA'+ 可求得∠EAC-合∠BAC=90°- 证△ADE≌△FCE(ASA),从而 ∠EAA'+∠DA'A+∠EA'A= AE=EF,AD=CF,再证△ABE≌ ∠BAC+∠DA'E=2∠BAC=80°. 1 2∠ABC-2∠ACB,再根据直角三 △FBE(SAS),得到AB=BF=BC 专练17求角度（三）分类思想求角 十CF,等量代换得到AB=BC+ 角形的性质可得∠GAC=90°一 典例导练 AD. ∠ACB,进而可得结论∠EPD= C 2.:'∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD 知能检测 ∠EAG=∠EAC-∠GAC= ∠ACB =∠AFE.∴.∠DBF=∠EAF. 1.①如图1，当高AD在△ABC的 又：∠BDF=∠ADC=90°，BF 内部时，∠BAD=90°-∠B= 2∠ABC =AC,∴.△BFD≌△ACD 65°，∠BAC=∠BAD+∠CAD= (AAS),.'.FD=CD,BD=AD, 63