第13章 重点强化专题 三角形中的边角关系的运用-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

义已知两直线平行，内错角 .∠B=180°-∠A-∠ACB= 相等等量代换内错角相等， 48°，CD⊥AB,.∠BDC= 两直线平行 90°，.∠DCB=180°-90°-48 (2)两个互逆的真命题为：两直线 =42° 平行，内错角相等；内错角相等， 14.(1):AP平分∠MAB,BP平分 两直线平行. 5.(1)如果①②，那么③；如果①③， ∠ABN,∴∠BAP=∠MAB, 那么②；如果②③，那么①； ∠ABP=合∠ABN.在△ABO (2)都是真命题，选择如果①②， 中，∠OAB+∠OBA+∠MON= 那么③. 180°，∴.∠OAB+∠OBA=180° 证明：AD∥BC, ∠MON=90°.又，∠OAB+ ∴.∠DAE=∠B,∠DAC=∠C, ∠MAB+∠OBA+∠ABN= :∠B=∠C,∠DAE=∠DAC, 360°.∴.∠MAB+∠ABN= ∴.AD平分∠EAC 270°..∠BAP+∠ABP= 第3课时直角三角形的两锐角互余 1.过A作AD∥BC,AD∥BC, 合（∠MAB+∠ABN)=号× ∴.∠DAC=∠C,∠DAB+∠B= 270°=135°..在△ABP中， 180°，∴.∠DAC+∠BAC+∠B= ∠P=180°-135°=45°. 180°，∴.∠BAC+∠B+∠C= (2)同(1)可知：∠P=50° 180°. 2.B3.32 (3)可猜想：∠P=90-号∠M0N. 4.CD⊥AB(已知)， 证明同(1). .∠CDB=90°（垂直的定义）， 第4课时三角形的外角 在Rt△ABC中，∠ACB=90°（已：1.C2.D3.C 知)， 4.:∠ADB=∠C+∠CBD, ∴.∠A十∠B=90°（直角三角形 ∠AFB=∠DAF+∠ADF, 两锐角互余). ∠C=42°，∠CAE=18°，∠CBD 同理，∠DCB+∠B=90°， =27°， ∴.∠A=∠DCB(同角的余角相 ∴.∠ADB=69°， 等). ∴.∠AFB=87. 5.D 5.(1)∠BAE=∠2+∠3 6.△BDE是直角三角形， ∠1+∠2+∠3=180° 理由：，ADBC, (2)证明：作AH∥BD, FG⊥BC, ∴.∠HAE=∠ACD, ∴.∠ADC=∠FGC=90°， ∠CBF=∠BAH, .AD∥FG, ∠BAE+∠BAH+ .∠DAC=∠CFG, ∠HAE=360°， .∠CFG=∠ADE, ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD= ∴.∠DAC=∠ADE, 360°. .DE∥AC, 6.A7.C8.B9.60°10.40 ∴.∠BED=∠BAC=90°， 11.130 △BDE是直角三角形. 12.延长BD交AC于E,:∠A= 7.C8.C9.B10.60 90°，∠B=32°，∴.∠DEC=∠A 11.∠a=∠B+∠y12.130°或50 +∠B=90°+32°=122°，∠C 13.(1)∠ADE=∠EFC,理由略： =21°，.∴.∠BDC=∠C+∠DEC (2)∠ACB=72°，∠A=60°， =21°+122°=143°.又：∠BDC 46 =149°，∴这个零件不合格 ∴.∠ADB=∠DBC+∠C=108°. 13.(1)CE平分∠ACD,DF平分10.(1)110° ∠CDO.∠BCD-∠AcD. (2)∠B=50°，∠BAD=30°， ∴.∠ADB=180°-50°-30°= ∠CDF=号∠CD0.:∠0CD 100°.，△ABD沿AD折叠得到 △AED,∴.∠ADE=∠ADB= =56°，.∠ACD=124°，∠CDO 100°，∴.∠ADF=80°，.∠EDF =34°，.∠ECD=62°，∠CDF =∠ADE-∠ADF=20°. =17°，∴.∠F=∠ECD-∠CDF 11.(1)证明略； =62°-17°=45° (2)ED∥AC,∴.∠EDB=∠C (2)∠F不变.∠ECD= =40°.：ED平分∠ADB,∠2 合∠AcD=90+∠c0) =∠EDB=40°.∴.∠ADB= 80°.AD∥FG,∴.∠BFG= 45°+2∠CD0.且∠CDF= ∠ADB=80°. 12.(1)∠B=40°，∠C=60°， ∠CDO,·.∠F-∠ECD 1 ∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠CDF=45°+号∠CD0 ∴.∠BAC=80°，AD是∠BAC 的角平分线，∴.∠CAD=∠BAD 3∠CD0=45 =号∠BAC=40,:AE是 重点强化专题三角形中的 △ABC的高，∴.∠AEC=90°， 边角关系的运用 :∠C=60°，∴.∠CAE=90° 1.(1)由题意，得14<2a+2<30, 60°=30°，.∠DAE=∠CAD- 懈得6<a<14. ∠CAE=10°； (2):△ABC为等腰三角形，∴.2a (2),∠BAC+∠B+∠C=180°， +2=8或2a十2=22.解得a=3或 .∠BAC=180°-∠B-∠C, a=10.,6a<14,.∴.a=10. :AD是∠BAC的角平分线， ..△ABC的周长=22+22+8= ∴∠CAD-∠BAD-∠BAC. 52. ,AE是△ABC的高，.∠AEC 2.设三角形的三边长分别为x一2，x, x+2,则/2-2+x+x+2<30 =90°，.∠CAE=90°-∠C, 解 ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE= x-2+x>x+2, 得4<x<10,x的最大值为9， 3∠BAC-(90°-∠0=号180 最小值为5，①当x=9时，三边 -∠B-∠C)-90°+∠C= 长为7,9,11；②当x=7时，三边 长为5,7,9；③当x=5时，三边 3∠C-号∠B,即∠DAE= 长为3,5,7. 合∠C-名∠B 3.B4.B5.C6.70°7.270° (3)45° 8.67° 回归教材练探究与三角形角平分 9.在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A, 线有关的几个常见的结论 ∴.设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x. -教材P87复习题T5的变式与 :∠A+∠ABC+∠C=180°， 运用 x十2x十2x=180°，解得x=36. (1)∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) .∠A=36°，∠ABC=∠C=72. ,BD是∠ABC的平分线， =180°-专（∠ABC+∠ACB)=180 ∠DBC=∠ABC=36, -180-∠A)=90+∠A 47 (2)∠P=∠PCE-∠PBE .60十x=90°，x=30°； =(∠ACE-∠ABC)=2∠A. .综上所述：∠OAC=52.5或30°. 第14章全等三角形 (3)∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) 14.1全等三角形及其性质 =180°-合（∠EBC+∠FCB) 1.D2.C 3.∠CAM∠AMC AM CM =180°- 3(∠A+∠ACB+4.A5.10m°303 ∠FCB)=180°- 2(∠A+180 6.(1)①②④ (2)如AD∥BC,AB∥CD,四边 90°-7∠A. 形ABCD是平行四边形，∠ACB =∠CAD等. 变式练 7.A8.D9.B10.2 1.C2.B3.C4.A5.C 11.92.415° 章未核心考点整合与素养提升 12.(1)·△ABD≌△EBD, 1.c2c3.24235.9 ∴∠ABD=∠EBD,∴.BD是 6.37.25°8.B9.A10.80° ∠ABE的平分线： 11.(1):∠BAC=44°，.∠B+∠C (2),△DBE≌△DCE, =180°-∠BAC=136.:∠B= .∠DEB=∠DEC, ∠C,.2∠C=136°，.∠C=68. ∠DEB+∠DEC=180°， (2):∠ADE=∠AED,∠ADE ∴.∠DEB=∠DEC=90°， =75°，∴∠AED=75°. .DE⊥BC, 又：∠AED=∠C+∠CDE, △DBE≌△DCE,∴.BE=EC. ∠C=68°，∴.∠CDE=7°. 13.(1)其他对应角为：∠BAF和 12.A 13.BEF C CEF CD ∠DCE,∠AFB和∠CED;其他 14.B15.D16.D17.140° 对应边：AB和CD,BF和DE; 18.在Rt△ADC中，∠DAC=90°- (2)∠EFC=∠D+∠DCF=∠B ∠C=20°，因为∠EAC=∠EAD +∠DCF=70°； +∠DAC=35°，所以∠BAC= (3).△ABF≌△CDE,..BF= 2∠EAC=70°，在△ABC中， DE,.'BF-EF=DE-EF:..DF ∠B+∠BAC+∠C=180°，所 =BE..BD=10,EF=2,.'.DF= 以∠B=180°-70°-70°=40°. BE=4.∴BF=BE+EF=6. 19.(1):DE∥BC,∠1=∠2，又14.(1)：△BAD≌△ACE,.BD= ∠1=∠3，.∠2=∠3，.FG AE,AD=CE.又，AE=AD+ ∥DC.:CD⊥AB,.∠CDB= DE,..BD=CE+DE; 90°，.∠GFB=90°，即FG⊥AB. (2)△ABD满足∠ADB=90° (2)FG⊥AB,CD⊥AB,.FG 时，BD∥CE.理由如下： ∥DC,∴∠2=∠3，又：∠1= ∠ADB=90°， ∠3，∴.∠1=∠2，∴DE∥BC. .∠BDE=180°-90°=90. 20.(1)30°是(2)是 又△BAD≌△ACE. (3)设∠OAC=x°，则∠BAC= ∴.∠CEA=∠ADB=90°， 90-x,∠ACB=60+x,∠ABC ∴.∠CEA=∠BDE, =30°，：△ABC为“灵动三角 .BD∥CE. 形”，且∠ACB为灵动角， 14.2三角形全等的判定 ①当∠BCA=3∠BAC时， 第1课时两边及其夹角分别 .60+x=3(90-x),x=52.5°， 相等的两个三角形 ②当∠BCA=3∠ABC时， 1.D 2.C 3.AB=AC 4851 重点强化专题 三角形中的边角关系的运用 类型一利用三角形中边的关系求边长或周长5.如图，在△CEF中，∠E=78°，∠F=47°， 1.已知，在△ABC中，AB=8,BC=2a+2,AC=22. AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A的度 (1)求a的取值范围； 数是 () (2)若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的 A.45° B.47 C.55° D.78° 周长. E D 第5题图 第6题图 6.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平 分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,则∠CDF 的度数为 2.三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形7.把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则 的周长小于30，求三边的长. ∠1+∠2的度数为 第7题图 第8题图 8.如图，已知∠B=46°，△ABC的外角∠DAC 和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 类型二利用三角形中角的关系求角度 3.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D9.如图，在△ABC中，∠A=号∠C=∠ABC, 作DF⊥AB于F,交AC于E.已知∠A=35°， BD是∠ABC的平分线，求∠A与∠ADB的 ∠ECD=85°，则∠D= ( 度数 A.30° B.40° C.45° D.50° B 第3题图 第4题图 4.如图，∠ABC=50°，点D,E分别在射线BA, BC上，将△BED沿着DE折叠，若点B恰好 落在射线DA的B'处，则∠BEB的度数是 A.50° B.80° C.100° D.130° 52 10.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，12.△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是 ∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折 △ABC的高. 叠得到△AED,AE与BC相交于点F. (1)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，请说明 (1)填空：∠AFC= ∠DAE的度数； (2)求∠EDF的度数. (2)如图2（∠B<∠C),试说明∠DAE,∠B, ∠C的数量关系； (3)如图3，延长AC到点F,∠CAE和∠BCF的 R2- 角平分线交于点G,请直接写出∠G的度数 类型三利用三角形中的边角关系计算或证明 11.已知：如图，点D,E,F,G都在△ABC的边 上，DE∥AC,且∠1+∠2=180° (1)求证：AD∥FG; (2)若DE平分∠ADB,∠C=40°，求∠BFG 的度数. 53 回归教材练 探究与三角形角平分线有关的几个常见的结论 教材P87复习题T5的变式与运用 类型两内角平分线的夹角、一个内角与一个外2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与 角平分线的夹角、两个外角平分线的夹角 ∠ACB的外角平分线CD相交于点D,∠D= (教材P87复习题T5变式)(1)如图1，点P为 30°，则∠A等于 ( ) △ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， A.50° B.60° C.70° D.80° 求证：∠P=90+2∠A, (2)如图2，点P为△ABC的∠ABC和外角 ∠ACE的角平分线的交点，求证：∠P=号∠A: (3)如图3，点P为△ABC的外角∠CBE和 第2题图 第3题图 ∠BCF的角平分线的交点，求证：∠P=90 【拓展变式练】 2<A. 类型1折叠型 3.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应 点为A',若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2 等于 () A.40 B.60° C.80° D.140 4.如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折， 点B落在点D的位置，若∠1-∠2=60°，则 ∠B的度数是 ( ) A.30 B.32° C.35 D.60 第4题图 第5题图 类型2“8字型”内角平分线的夹角 5.如图，已知点E,D分别在△ABC边BA和CA 的延长线上，CF和EF分别平分∠ACB和 ∠AED.如果∠B=70°，∠D=50°，则∠F的 度数是（提示：将复杂图形分解成两个“8字 【变式练】 型”，△GDE与△GCF;△HEF与△HBC.) 1.在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O,若 ( () ∠BOC=132°，则∠A的度数为 A.42° B.48° C.84° D.100 A.50° B.55° C.60° D.65