2027届高三物理一轮复习专项训练：4.7 质心动能定理解恒力作用的多物体碰撞

**基本信息** 以质心动能定理为核心，系统构建恒力作用下多物体连续碰撞问题的解题体系，通过分类典例与方法对比实现难点突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |质心动能定理应用|2典例+7集训题|总结定理内容、表达式及质心位移/速度计算方法，对比常规解法凸显简化优势，强调研究对象与质心位移易错点|从定理概念到公式推导，分初末速度均为0、有初末速度两类题型建立对应关系，整合动量守恒、动能定理形成“概念-公式-应用-易错点”逻辑链，培养科学推理与能量观念|

大专题四 功能与动量 4.7 质心动能定理解恒力作用下的多物体连续碰撞 【难点突破】 质心动能定理： （1）内容：系统合外力对质心做功等于质心动能变化量； （2）表达式：； （3）算外力做功要用质心位移：若多个物体只有移动d，则这一过程质心位移 。 （4）算质心动能要用质心速度： ①当所有物块速度相等时质心速度 ； ②只有一个物块有速度时，比如只有第一个物块有初速度，则质心速度，对应质心动能为 （5）易错点：①明确研究对象包括哪些物块；②明确最后一个过程的质心位移。这两点最容易出错。 【初末速度均为0的类型】 例1．一种利用碰撞节能运输货物上下山的装置，原理如图所示。号车厢静止在倾角为的斜面上，车厢间距均为，车厢与斜面的动摩擦因数均为，且，，0号车厢质量为，其他车厢质量均为m。0号车厢与1号车厢之间的碰撞为弹性碰撞，其他车厢间碰撞后均粘在一起。若在各车厢静止且间距为的条件下，在号车厢上施加沿斜面向上的恒力，使车厢向上运动，为了使1号车厢能够与0号车厢相碰， 求：所施加恒力的最小值。 [提示：在解题中可能用到公式。 分析： 方法一：质心动能定理 研究物块n到物块1共n个物块，临界情境：n个物块最后运动到物块0时速度恰好为0，F最小。 由物块n开始，质心位移依次是：;; 化简得:； 解得： 方法二：常规解法： 设n号车厢与n−1号车厢碰撞前一瞬间的速度为，碰撞后一瞬间的速度为，……，2号车厢与1号车厢碰撞前一瞬间的速度为，碰撞后一瞬间的速度为，1号车厢与0号车厢碰撞前一瞬间的速度为。从n号车厢开始运动到与n−1号车厢碰撞前一瞬间由动能定理有 ，可得，n号车厢与n−1号车厢碰撞由动量守恒定律得，从n−1号车厢开始运动到与n−2号车厢碰撞前一瞬间由动能定理有 可得n号、n−1号车厢与n−2号车厢碰撞由动量守恒定律得，从n−2号车厢开始运动到与n−3号车厢碰撞前一瞬间由动能定理有 ，可得 ； n号~2号车厢与1号车厢碰撞由动量守恒定律得 从1号车厢开始运动到与0号车厢碰撞前一瞬间由动能定理有 ， 可得 ； 当时，所施加的力F最小，解得 【有初末速度的类型】 例2．（2025湖北）如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n（n是大于1的正整数）个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n，木板的质量为nm。相邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为，滑块与木板间的动摩擦因数为。初始时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第1个滑块一个水平向右的初速度，大小为（为足够大常数，g为重力加速度大小）。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （3）若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求的值。（参考公式：） 分析： 临界：设前k物块碰撞粘在一起时木板开始滑动，则 ，得 ; 所以当前2n个与第（2n+1）恰好碰撞粘在一起时共速时，木板开始滑动。 对前（2n+1）个物块用质心动能定理： 质心位移依次是：;; （注意：第2n+1个物块还未发生移动，位移为0）。 ; 前（2n+1）个物块开始减速，加速度 ; 木板与其余木块一起加速，加速度，对木板和其余木块整体用牛二律： ，解得： ； 以木板为参考系： , 相对位移 ； 联立解得 好题集训 1．质量均为 的滑块1、滑块2……滑块 从左向右依次静止于地面上，相邻两滑块间的间距均为 ，滑块均可视为质点。质量也为滑块P以初动能与滑块1相碰后粘在一起，两滑块继续运动， 直至与滑块2相碰，碰后三滑块粘在一起继续运动……后面重复前面的运动情况，所有碰撞时间极短。各滑块与平台 之间的动摩擦因数均为 ，取 求:若能与滑块 相碰，请写出与滑块碰撞前瞬间已经粘到一起的滑块的总动能的表达式。 2．如图所示，倾角为足够长的斜面上依次等距离地放有足够多个质量相同、大小不计的小木块……木块的质量均为m，相邻的木块之间的距离为d。斜面在木块2以上的部分光滑，以下部分粗糙，所有木块与斜面粗糙部分之间的动摩擦因数都是。开始时固定木块1，其它木块都静止在斜面上，现由静止释放木块1，木块1沿斜面下滑并与木块2发生碰撞，接着陆续与其它发生木块碰撞，所有碰撞都是完全非弹性的，重力加速度为g。求： (1)取何值时能撞到木块3而不能撞到木块4； (2)若，能撞到第几个木块（写出核心方程和结果即可得分）。 3．超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳，收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为可视为质点的小物块，已知车的净质量为m=15kg，车与超市地面间的动摩擦因数μ=0.1，g=10m/s2。如图乙所示，某同学把n（n>2）辆空车等间距摆在超市水平地面上的一条直线上，相邻两车间距为d=1m，用向前的水平恒力F=300N一直作用在1车上，推着1与正前方的车依次做完全非弹性正碰（碰撞时间极短），通过计算判断，他最多能推动多少辆车？ [已知，] 4．光滑水平面上每隔距离d静止放置一个质量为m的小球，共放置10个小球，从左至右依次标号为1、2、3、…、10。小球A静止放置在1号小球左端d处。现用一水平向右的恒力F作用于小球A，当小球A运动到10号球位置时，撤掉F。小球均可视为质点，小球间碰撞时间忽略不计。 (1)若小球A质量为m，且小球之间的碰撞均为弹性碰撞，求10号球开始运动的时间； (2)若小球A质量为2m，且小球之间的碰撞均为完全非弹性碰撞，求小球A与1号球碰撞过程中的能量损失； (3)在（2）中条件下，求小球A运动过程中的最大速度。 【弹簧双振子位移关系+恒力作用下多物体的连续碰撞极值问题】 5．如图，在光滑的水平地面上静置若干可视为质点的小车。现建立轴，A车质量为，位于坐标原点处，B车质量为m，A、B之间夹有一劲度系数为的轻质弹簧，弹簧未与A、B连接且初始时处于压缩状态。从A右侧距离为处开始，依次摆放足够多的、间距均为的小车，质量均为，编号分别为1、2、3、……。取，已知弹簧弹性势能，为弹簧形变量。不计空气阻力。 (1)现静止释放A、B。发现A与1号小车碰撞前瞬间，弹簧刚好从A、B中间掉下。求弹簧的初始压缩量以及A与1号小车碰撞前瞬间的速度大小； (2)在（1）的条件下，取1号小车开始运动时为计时起点，若此后小车间发生的碰撞均为弹性碰撞。考察此后时刻，在该时刻所有正在运动的小车里，坐标最大的小车此刻的坐标值； (3)现去除B车和弹簧，并对A车施以水平向右的恒定外力（图中未画出），仍使A从O处由静止开始运动。且此后小车碰撞即粘在一起运动。求此后运动过程中A车的速度最大值。 6．如图所示，水平地面上固定一水平长直轨道ABC，AB段和BC段足够长，在水平轨道A点放置一小物块P，在BC段沿轨道有n个与物块P相同的小物块，相邻两个小物块的间距均为L=1m，从左往右依次编号1、2、3、⋯、n，其中1号小物块距B点的距离也为L。小物块P在水平向右的拉力F作用下，从A点开始运动，P到达B点前已经开始做匀速运动，拉力F的功率恒为P0=28W，物块P运动到B点前瞬间撤去F，此后物块P滑上BC段，物块P运动L后与1号物块碰撞，碰后二者粘连在一起继续向前运动L与2号物块碰撞，碰后三者粘连在一起继续向前运动L与3号物块碰撞，此后每次两物块碰后都粘连在一起向前运动与下一个物块碰撞。已知物块与AB段轨道动摩擦因数为μ0=0.2，物块与BC段轨道动摩擦因数为μ=0.07，每个物块质量均为m=1kg，所有物块都视为质点，当地重力加速度g取10m/s2。（）求： （1）小物块到达B点的速度； （2）物块P与1号物块碰后二者的总动能； （3）最多能发生几次碰撞。 7．如下图，劲度系数为100N/m的轻弹簧一端固定在倾角足够长斜面的顶端，另一端拴接物块A，弹簧与斜面平行。物块B锁定在A上，点为弹簧原长位置，A与斜面间的动摩擦因数。A、B质量均为。不计厚度的挡板P固定在水平面上，P左侧的平面光滑，木板C长度，质量，紧挨着挡板P。木板C右端与足够长的固定平台间的距离。物块A、挡板P、木板C的上表面及平台等高。质量均为的个物块从左向右依次静置于平台上，相邻两物块间的距离均为，物块1位于平台的最左端。已知B与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数，各物块与平台间的动摩擦因数均为。将弹簧压缩，使AB从斜面上距点处由静止释放，重力加速度，所有物块均可视为质点。AB释放后的运动过程中： (1)求AB物块下滑速度最大时离点的距离； (2)求A对B作用力的最大值； (3)调整斜面长度使AB物块速度最大时恰好到达斜面底端，此时撤去弹簧并解除AB间的锁定。A与挡板碰撞后物块B滑上木板C，木板C与平台碰撞后立即停止，物块B与物块1相碰后粘在一起，两物块继续运动，然后与物块2相碰，碰后三物块粘在一起继续运动……，所有碰撞时间极短。已知，不计物块由斜面到平面的能量损失。求物块B与前个物块碰后粘成的整体与物块碰撞前的动能。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.7 质心动能定理解恒力作用下的多物体连续碰撞 1【答案】 【详解】方法一：质心动能定理 对P和前（n-1）个物块用质心动能定理： 质心位移依次是：;; ; 解得： 方法二：常规方法 解：第一次碰撞前瞬间滑块P的动能，碰后动能 设运动距离d后的动能为，则，第二次碰撞前瞬间的动能 第二次碰后的动能，设运动距离d后的动能为，则 那么第三次碰撞前瞬间的动能，第三次碰后的动能 设运动距离d后的动能为，则 那么第四次碰撞前瞬间的动能 那么第n次碰撞前瞬间已经粘到一起的整体的动能 2【详解】（1）木块1与2第一次碰撞前速度记为，碰撞后速度记为，第n次碰撞前速度为，碰后速度记为，木块1下滑过程，动能定理： 木块碰撞，动量守恒：，得 木块12组合体下滑，动能定理：， 木块12组合体与木块3碰撞，动量守恒：， 木块123组合体下滑，根据动能定理有：， 木块12组合体刚好能与木块3碰撞，，此时最大，所以； 木块123组合体刚好不能与木块4碰撞，，此时最小，所以，所以： （2）方法一：由第（1）问进行数学归纳 木块组合体下滑，动能定理： 木块组合体与木块n碰撞，根据动量守恒定律； 第n次碰撞前动能为，碰后动能记为，可得： 若刚好能碰到第n个，则且，算出：能碰到第5个小木块 ； 方法二：质心动能定理： 设恰要撞到第k+1个物块时速度减为0，研究前k个物块组成的系统， 由物块1开始，质心位移依次是：;; ； 解得： 所以： ，所以能碰到第5个小木块。 3【答案】30辆 【详解】方法一：质心动能定理: 设恰要撞到第k+1个物块时速度减为0，研究前k个物块组成的系统， 由物块1开始，质心位移依次是：;; 化简得: 解得：,得k=29.5,恰要撞到第30.5个物块时速度减为0,所以最多能推动30辆。 方法二：常规解法： 设1与2 车碰前的速度为v1'，由动能定理，1与2 碰系统动量守恒 ，解得，12与3 车碰前的速度为v2'，由动能定理 ，1-2 与3碰系统动量守恒，解得 =     123与4车碰前的速度为v3′，由动能定理 1—2—3与4碰系统动量守恒，解得 = 同理可得与n车碰后速度为vn： == ，令vn=0，即 ，解得n=30.5，可知最多能推动30辆车。 4【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球A与1号球碰前，做匀加速直线运动，对小球A由牛顿第二定律得 由运动学公式得，，小球A与1号球碰撞过程动量守恒，机械能守恒，有 ，，联立解得， 1号球碰后以速度v匀速运动，同理可得，n号球与号球碰撞后速度交换，号球碰后也以速度v匀速运动，所以10号球开始运动的时间，解得 （2）小球A与1号球碰前，对小球A由动能定理得 小球A与1号球碰撞前后动量守恒，有 小球A与1号球碰撞后能量损失，解得 （3）方法一：质心动能定理： 设恰要撞到第n个物块时A速度最大，研究A和前n-1个物块组成的系统， 由物块A开始，质心位移依次是：;; ; 化简得: ； 求导法或配方法可知当 时，速度有最大值，（可能用到的求导法则：） 方法二：常规方法 设小球A和前个小球组成的系统与第n号小球碰前的速度为，与第n号小球碰后，小球A和n个小球组成的系统的速度为，小球A与前个小球组成的系统与第号小球碰后的速度为，从小球A和前个小球组成的系统与第号球碰后到与第n号球碰前的过程中，对小球A和前个小球，由动能定理得，小球A和前个小球组成的系统与第n号球碰撞前后，对小球A和前n个小球，由动量守恒定律，有 ，由上式解得，同理可推出 联立可得， 同理可推出，…… ，以上式子相加得 又，解得，根据数学知识可知，当，即时有最大值 5【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以A、B为系统，规定向右为正方向，根据动量守恒可得 两边同乘以时间可得，即得，又因为，，，解得 由能量守恒可得，结合（1）解得 （2）以A、1为研究对象，规定向右为正方向，动量守恒，能量守恒 解得l车初速度，1与2发生弹性碰撞实现速度交换，此后后面小车碰撞都是实现速度交换，在时间内，等效为一辆小车匀速运动，故运动的小车距离O最大距离为 即坐标最大的运动小车此刻的坐标值为 （3）方法一：质心动能定理： 设恰要撞到第n个物块时A速度最大，研究P和前n-1个物块组成的系统， 由物块P开始，质心位移依次是：;; ; 化简得: ； 求导法或配方法可知当 时，速度有最大值，（可能用到的求导法则：） 方法二：常规方法： 设A与1碰前速度为v0，与1第一次碰后速度为由动能定理可得 解得，以A、1为研究对象,规定向右为正方向，动量守恒 解得，设A与1整体与2碰前速度为v1，与2碰后速度为，由动能定理可得 ，解得 以A与1整体与2为研究对象，规定向右为正方向，根据动量守恒可得 解得，同理可得A与1、2整体与3碰前速度 可得A、1、2、3、……与n车碰撞之前的速度 由数学知识可知，n=10时最大 6【答案】（1）14m/s；（2）48.65J；（3）7 【详解】（1）P到达B点前已经开始做匀速运动，，则有，解得 （2）设物块到达B点的动能为，物块到达1号物块前瞬间速度为，动能为，物块P与1号物块碰后整体速度为，整体动能为，由动能定理可得，P与1号物块碰撞动量守恒 ，碰后总动能为，，联立可得 （3）设与n号物块碰前速度为，动能为，与n号物块碰撞后整体速度为，整体动能为，P与1整体运动到与2号物块碰前瞬间，P与1整体与2号物块碰撞动量守恒 碰后总动能，P与1、2整体运动到与3号物块碰前瞬间 P与1、2整体与3号物块碰撞动量守恒，碰后总动能，同理可得，P与前个物块组合体与n号物块碰前瞬间，P与前个物块组合体与n号物块碰撞动量守恒，碰后总动能，联立可得 ，若不能碰第n+1号物块，则有 假设恰好与第n+1号物块碰，则，得 解得，所以发生7次碰撞。 7【答案】(1)(2) (3) 【详解】（1）AB物块下滑速度最大时，整理得 （2）AB物块一起下滑到最低点，即将要向上运动时，A对B的作用力最大，此时速度为零，设离开O点的距离。根据动能定理得，整理得 根据牛顿第二定律，对AB整体，对物块B有 且，则，整理得 （3）AB物块一起下滑的速度最大时，动能定理 ，整理得 对物块B与木板的相互作用过程，对物块B，，设经时间t，B与C共速有 物块B的速度为，规定方向为正方向，根据动量守恒定律得 与物块1相碰后，解得，对B与物块1整体，根据动能定理 与物块2相碰前，与物块2相碰，根据动量守恒定律得， 对B与物块1、2整体，根据动能定理 归纳得，与物块n碰前 与物块n碰撞前瞬间粘到一起的物块总动能 整理得 1 学科网（北京）股份有限公司 $