第77卷 数列（3）2027年四川省（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣四川省对口招生考纲，以数列专题为核心，通过选择、填空、解答题三阶题型覆盖等差等比定义、公式应用、性质综合及实际情境，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|第1、3题|直接考查数列定义、项数确定|从数列基本概念出发，构建定义到项数计算的认知链条| |公式应用|第4、8题|聚焦等差前n项和、等比通项公式|以基本量计算为核心，强化公式正向与逆向应用| |性质综合|第14题|结合等差数列前n项和最值分析|深化性质与函数思想结合，体现逻辑推理能力| |实际应用|第9题|单利计算情境题|链接数学与现实，培养数据观念与应用意识| |创新拓展|第15题|新定义“类数列”问题|通过抽象情境考查知识迁移，发展创新意识|

编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第77卷 数列 专题练习卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 2．若成等比数列，且公比为，则的公比为（    ） A．2 B．-2 C． D． 3．已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 4．记等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．23 B．25 C．35 D．45 5．观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 7．在数列中,,,那么（   ） A． B． C．1 D．2 8．设是数列的前项和，若，则（    ） A．4053 B．4052 C．4048 D．2028 9．按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末本利和是（    ） A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元 10．已知数列为等比数列，是方程两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 11．记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 12．已知数列，若，则正整数m的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 14．已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 15．对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（   ） A．7 B．15 C．31 D．63 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项和等于68，则这个数列公比为____． 17．已知数列满足，，则______． 18．已知函数，其中且，则__________． 19．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为______． 20．已知数列的前项和为，且满足：，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．已知数列前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 22．已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 23．已知等数列的前项和为，且满足，数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列． (1)求数列与通项公式； (2)若数列；数列的前项和和为恒成立，求实数的取值范围． 24．已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 25．等比数列的公比为，第8项是第2项与第5项的等差中项. （1）求公比； （2）若的前项和为，判断是否成等差数列，并说明理由. 26．记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第77卷 数列 专题练习卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 【答案】A 【详解】由题得，， ，， 2．若成等比数列，且公比为，则的公比为（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义求解即可. 【详解】因为成等比数列，且公比为，所以， 所以，所以的公比为， 故选：A 3．已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以可得数列的第项为， 由，解得. 所以该数列的项数为. 4．记等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．23 B．25 C．35 D．45 【答案】C 【详解】已知为等差数列，，，设公差为， 则，解得：，所以. 5．观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据数列各项的正负性、分母的特征写出数列的通项公式，再运用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. 6．若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项和等比中项可求答案. 【详解】因为是，的等差中项，所以，即； 因为是，的等比中项，所以，即，所以. 7．在数列中,,,那么（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由及得，所以，， 所以数列是周期为的数列，故. 8．设是数列的前项和，若，则（    ） A．4053 B．4052 C．4048 D．2028 【答案】A 【详解】，当时，， 当时，. 当时，也适合上式，，则. 9．按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末的本利和是（    ） A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元 【答案】D 【解析】根据单利计算公式直接计算第5年的本利和. 【详解】因为是按照单利计算，所以第5年的利息是， 第五年末的本利和是. 故选：D 10．已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 11．记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】B 【分析】借助与关系计算可得，则可由等比数列定义求出数列的通项公式，即可得. 【详解】当时，，则， 故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 12．已知数列，若，则正整数m的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】数列中，，当时，， 因此对，，所以正整数m的最小值为2.故选：B. 13．已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，可得的值，代入所求，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以，解得， 所以. 14．已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，即可求得，再利用正项数列的项数可判断取得最大值时的值. 【详解】由等差数列可知：， 联立解得：，所以， 由， 即当时，，当时，， 所以当取得最大值时的值为4或5， 故选：B 15．对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（   ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】C 【分析】先利用已知的首项、第二项，代入递推公式求出未知参数，对递推公式进行构造，转化为熟悉的等比数列，利用等比数列通项公式求解. 【详解】由题意知，令，则，即，所以, 所以，故.又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为______． 【答案】 【详解】令此等比数列为，设其公比为， 依题意，，则，解得， 所以这个数列的公比为。 17．已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据累加法求数列的通项公式即可. 【详解】由， 得， 以上各式相加，得，又， 所以，所以. 故答案为： 18．已知函数，其中且，则__________． 【答案】 【分析】根据等比数列求和公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 19．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为______． 【答案】 【分析】设第一根弦长为，求出另4根弦长，按从小到大排列，即可得“宫”与“角”所对琴弦长度，代入求解即可. 【详解】设第一根弦长为， 则第二根弦长为，第三根弦长为，第四根弦长为，第五根弦长为， 又因为， 又因为琴弦越短，发出的声音音调越高， 所以“宫，商，角，徵，羽”对应的弦长为：， 所以“宫”与“角”所对琴弦长度之比为：. 故答案为：. 20．已知数列的前项和为，且满足：，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___． 【答案】(1，＋∞) 【分析】由题知，当 时，有，，两式相减得，利用等比数列的通项公式与求和公式可得，，再利用数列的单调性即可得出． 【详解】解：由题知，当 时，有，， 两式相减得， 又，，，均有 对任意 成立， ，， 恒成立只需的最大值， 当时，右式取得最大值1，． 故答案为(1，＋∞)． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．已知数列前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）利用与的关系求数列的通项公式；（2）由题意易得：，显然问题转化为等比数列的前项和问题. 试题解析： （1）因为，故当时，，两式相减得， 又由题设可得，从而的通项公式为：； （2）记数列的前项和为，由（1）知， 所以. 22．已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， . （2）由（1）得：， . 23．已知等数列的前项和为，且满足，数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列． (1)求数列与通项公式； (2)若数列；数列的前项和和为恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】(1)根据,求得,再根据已知条件求得 (2)利用错位相消法求出，最后得出取值范围. 【详解】（1）当时,,得, 当,因为,得,所以,故, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,故, 因为数列是首项为，公差不为零的等差数列,且成等比数列, 所以,即,因为,解得,故. （2）因为,所以,得, 相减的, 所以, 故 24．已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，求出的值，对任意的，由可得，两式作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为①，所以，解得， 对任意的，②， ②-①得，即， 所以，即， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． （2）因为， 所以， 因为，数列为单调递增数列，所以， 即． 25．等比数列的公比为，第8项是第2项与第5项的等差中项. （1）求公比； （2）若的前项和为，判断是否成等差数列，并说明理由. 【答案】（1）或；（2）成等差数列，理由见解析. 【分析】（1）由等比数列通项公式、等差中项性质，列出关于公比的方程，再解； （2）证明成立，从而证明成等差数列. 【详解】（1）由题可知，， 即， 由于，化简得，即， 解得或. 所以或. （2）当时，. 易知不能构成等差数列. 当即时，， ， ， 易知，所以能构成等差数列. 26．记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $