第68卷 指数函数与对数函数（1）2027年四川省（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数专题，通过概念辨析、运算化简、性质应用及实际建模的阶梯式题型设计，系统覆盖定义、图像、性质及应用的逻辑链条，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-6、12|指数/对数函数定义判断、图像识别|从定义本质到图像特征的抽象能力培养| |运算化简|选择3-4、7-8，填空16-17，解答21|指数幂/对数式化简、等式验证|运算公式推导与应用的推理意识训练| |性质应用|选择5、10-11、13，填空18，解答22-24|单调性、值域、定点问题|性质推导到参数求解的逻辑思维构建| |实际建模|选择9、14，填空19，解答25-26|细胞分裂、声强级、防晒时长等情境|数学语言表达现实问题的模型意识培养|

编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第68卷 指数函数与对数函数 专题练习卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．化简：＝（　　） A．3 B． C． D． 2．下列各函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．的值是（   ） A．2 B． C． D．4 5．函数且的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．若函数是对数函数，则m等于（   ） A．3 B． C．1 D．或3 7．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的图像过点，则（    ）． A． B． C． D． 9．某种细胞每3秒由1个分裂成2个，则10个这样的细胞30秒后变成（   ） A．11个 B．个 C．个 D．20个 10．已知函数，的最大值与最小值的差为2，则a的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 11．函数 在 上的值域为（    ） A． B． C． D． 12．函数的大致图像是（    ） A．B．C．D． 13．设，，则约等于（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 14．声强级L（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：），现已知正常人类听觉能忍受的最高声强为，则此时听觉的声强级为（   ） A． B． C． D． 15．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．用分数指数幂表示为 _________． 17．用不等号填空： （1）______，（2）若，则______； （3）______，（4）______ 18．函数（且）的图像恒过定点_____. 19．某品牌防晒霜的防晒时长（单位：小时）与涂抹厚度（单位：毫米）满足，当涂抹厚度毫米时，防晒时长____. 20．已知，则______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．计算： (1)； (2) 22．解不等式： (1) (2). 23．已知函数（且）的图像过点. （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 24．已知函数，且. (1)求a的值； (2)若，求实数m的取值范围. 25．设小丁单次持续背单词所花时间（单位：分）与背出单词数（单位：个）之间满足函数表达式，其中且.已知小丁持续背分钟背出了个单词，分钟背出了个单词.问：小丁持续背分钟约能背出多少个单词？ 26．已知函数（且）的图象经过点． (1)求的值； (2)若，求x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第68卷 指数函数与对数函数 专题练习卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．化简：＝（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式计算方法运算即可. 【详解】. 故选：A. 2．下列各函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数函数的判定与求值、判断函数是否是对数函数 【分析】根据指数函数的形式求解即可. 【详解】选项A.是幂函数，不符. 选项B.是对数函数，不符. 选项C.是指数函数，符合. 选项D.是一次函数，不符. 故选：C. 3．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的计算可求. 【详解】，A正确；，B错误；，C错误；，D错误； 故选：A. 4．的值是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用实数指数幂的运算规则即可求解. 【详解】． 故选：C． 5．函数且的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数性质零次幂恒等1求解. 【详解】函数指数时，，此时， 因此函数恒过点. 故选：B. 6．若函数是对数函数，则m等于（   ） A．3 B． C．1 D．或3 【答案】A 【知识点】由函数是对数函数确定参数 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是对数函数， 所以.由，化简为， 解得或.因为且，所以. 故选：A. 7．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根式的化简求值 【分析】由根式的意义化简逐项分析即可得解. 【详解】A，，故A成立； B，因为，所以，故，故B成立； C，由题意知，，则，故C成立； D，，故D不成立. 故选：D. 8．已知函数的图像过点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的解析式、分数指数幂与根式的互化 【分析】将该点坐标代入函数解析式，通过对数运算求出底数的值即可. 【详解】因为函数的图像过点， 所以， 因为对数函数的底数，且， 所以即，即. 故选：D. 9．某种细胞每3秒由1个分裂成2个，则10个这样的细胞30秒后变成（   ） A．11个 B．个 C．个 D．20个 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、指数函数的应用 【分析】根据题意，结合指数的运算及指数函数的应用，即可求解. 【详解】因为某种细胞每3秒由1个分裂成2个， 所以1个这样的细胞30秒后变成个， 所以10个这样的细胞30秒后变成个. 故选：C. 10．已知函数，的最大值与最小值的差为2，则a的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】研究对数函数的单调性、由对数（型）函数的最值求参数值或范围 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】函数在单调递增，则，则有， 又函数的最大值与最小值的差为2，所以， 则有，解得. 故选：A. 11．函数 在 上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数函数在区间上的值域 【分析】根据函数单调性求解值域即可. 【详解】对数函数 在 上单调递增. 当 时，. 当 时，. 因此，值域为 . 故选：A. 12．函数的大致图像是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】研究对数函数的单调性、判断对数型函数的图象形状、求对数型复合函数的定义域、对数的运算 【分析】由对数函数的性质确定定义域和单调性，逐个判断选项得到答案. 【详解】已知函数， 要使有意义，应满足，故定义域为，排除A、B选项， 由对数函数的性质可知，在定义域内单调递减，排除D选项， 代入，得到，函数图象经过点，故C选项正确， 故选：C. 13．设，，则约等于（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】可采用两边同取对数的方式，结合对数运算性质求解即可 【详解】由题知，，对同取对数，得，，，即，即； 故选C。 14．声强级L（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：），现已知正常人类听觉能忍受的最高声强为，则此时听觉的声强级为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求具体函数的函数值、对数的运算、对数函数的应用 【分析】将最高声强为代入公式中，结合对数运算即可求解. 【详解】将最高声强为代入公式中， 则， 所以此时听觉的声强级为. 故选：C. 15．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】对于A，因为， 所以，故选项A错误； 对于B，因为， 所以，故选项B错误； 对于C，因为，故选项C正确； 对于D，因为，故选项D错误； 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．用分数指数幂表示为 _________． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【详解】利用根式与分数指数幂之间的转化可求解. 【解答】用分数指数幂表示为：． 故答案为： 17．用不等号填空： （1）______，（2）若，则______； （3）______，（4）______ 【答案】 【知识点】比较对数式的大小、幂函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知为增函数，因为，所以， 已知为增函数，因为，所以， 已知为增函数，因为，所以， 因为，，所以， 故答案为：. 18．函数（且）的图像恒过定点_____. 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的性质来求解函数所过的定点即可. 【详解】因为函数为（且）， 令，解得， 所以有， 所以函数恒过定点为. 故答案为：. 19．某品牌防晒霜的防晒时长（单位：小时）与涂抹厚度（单位：毫米）满足，当涂抹厚度毫米时，防晒时长____. 【答案】 【知识点】对数的运算、对数函数的应用 【分析】将代入表达式，再根据对数的运算求解即可. 【详解】由题意，防晒时长（单位：小时）与涂抹厚度（单位：毫米）满足， 把代入，得. 故答案为：2. 20．已知，则______. 【答案】/ 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据题意，利用指数式与对数的互化公式，以及对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由，可得，， 则. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．计算： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)3 【知识点】对数的运算、对数的概念判断与求值、指数幂的化简、求值、根式的化简求值 【分析】（1）根据指数幂的运算、根式的化简可求值； （2）根据对数的运算法则可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 22．解不等式： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由指数函数的单调性解不等式即可； （2）由对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为在定义域上单调递减，， 可得，即，化得，解得， 所以原不等式的解集为. （2）因为在定义域上单调递减，所以由， 可得，解得，所以原不等式的解集为. 23．已知函数（且）的图像过点. （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法求出值即可得解. （）根据题意结合函数的单调性，解一元一次不等式即可得解. 【解析】（1）依题意有，∴. （2）易知函数在上单调递增，又，∴解得，∴不等式的解集为． 24．已知函数，且. (1)求a的值； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数 【分析】（1）代值计算可得； （2）根据（1）的结果，结合函数单调性，简单判断计算即可. 【详解】（1）由题意，则，解得 综上所述，结论是：. （2）由（1）知，则是R上的增函数， 因为，则，解得 综上所述，结论是： 25．设小丁单次持续背单词所花时间（单位：分）与背出单词数（单位：个）之间满足函数表达式，其中且.已知小丁持续背分钟背出了个单词，分钟背出了个单词.问：小丁持续背分钟约能背出多少个单词？ 【答案】 【知识点】对数的运算、简单的对数方程、对数函数模型的应用 【分析】首先将，代入函数表达式，结合对数的运算法则求出的值，再令，求出即可. 【详解】由题意得，两式相除得， 即，则， 即，因为，得，解得， 所以，故. 令，即，则， 所以，则，解得， 即， 所以小丁持续背分钟约能背出个单词. 26．已知函数（且）的图象经过点． (1)求的值； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求指数函数解析式 【分析】（1）根据图象经过点求出函数解析式，将代入所求解析式即可； （2）根据（1）求出的解析式及指数函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为函数（且）的图象经过点， 所以， 又因为且，所以，所以，即. （2）因为，所以，即， 因为，所以在上单调递增，所以，即x的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $