专题23 平面向量的概念及线性运算（练习）-2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过概念辨析-应用拓展-真题强化的三层架构，系统构建平面向量知识网络，培养数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|22题|聚焦向量定义、零向量、共线向量等核心概念的判断与辨析|从向量基本特征（大小/方向）出发，逐步延伸至相等向量、单位向量的关系推导| |简单应用|3题|结合几何图形（菱形、四边形）考查向量表示与性质|通过具体图形实现从概念到空间形式的转化，培养空间观念| |综合应用|2题|正六边形向量关系、位移合成的实际问题|线性运算规则的综合应用，体现数学建模与应用意识| |真题再现|4题|精选2017-2023年分类考试真题|紧扣考情，强化高频考点（向量要素、位移合成）的应试能力|

编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省高职分类考试（三校生） 《数学一轮讲练测》练习 专题23 平面向量的概念及线性运算 1． 选择题 1．向量的特征是（　　） A．模为 B．模为 C．方向固定向右 D．方向固定向左 2．下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列说法中，不正确的是（     ） A．零向量的方向是任意的 B．零向量的长度为0 C．零向量是没有方向的 D．零向量和任何向量平行 4．已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 5．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（    ） （1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； （2）平行且模相等的两个向量是相等向量； （3）若，则；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．3 B．2 C．1 D．0 6．在中，，则是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．已知下列四个命题： ①向量就是有向线段； ②方向相反的两个向量叫做相反向量； ③大小相等的两个向量叫做相等的向量； ④零向量没有方向． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．以下说法错误的是（   ） A．零向量与任何向量共线 B．共线向量不一定是相等向量 C．两个向量的内积仍是向量 D．若非零向量满足，则 9．下列说法中正确的是（ ） A．向量的模都是正实数 B．与表示的意义相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2． 填空题 10．给出下列各量： ① 铅笔盒对桌面的压力； ② 气温； ③ 高台跳水运动员在最高点的速度； ④ ； ⑤ 把一条射线绕其端点顺时针旋转30°所构成的角． 其中是向量的是______．（把正确选项的序号填在横线上） 11．在四边形中，，则四边形是___________________．（填“平行四边形”或“梯形”或“长方形”或“正方形”） 3． 解答题 12．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 1． 选择题 13．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 14．下列命题①共线向量的方向一定相同；②相等向量的起点一定相同；③单位向量的模一定相等：④相反向量的模一定相等.其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图所示，是任意四边形的一条对角线，则下面结论成立的是（   ）.    A． B． C． D． 16．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 17．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 18．下列命题不正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 19．下列说法不正确的是（   ） A．向量是既有大小又有方向的量 B．单位向量的模长为1，无方向 C．零向量的模长为0，方向任意 D．互为相反的两个向量之和等于 20．给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．温度、厚度都是向量 B．两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同 C．大小相同的向量相等 D．两个向量一定相交或平行 21．设是正方形的中心，向量，，，是（　　） A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 22．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．零向量没有方向 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2． 填空题 23．如图，在菱形ABCD中，，，则______． 三．解答题： 24．一个人从A点出发沿东北方向走了到达B点，然后改变方向，沿南偏东方向又走了到达C点，求此人从C点回到A点的位移． 1.（2023年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）向量的包含要素是（ ） A. 大小和方向 B. 大小和起点 C. 方向和起点 D. 大小、方向和起点 2.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第10题）一个动点A点移动到B点，又由B点移动到C点，则动点的总位移为 3.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）下列物理量中是向量的是（ ） A. 温度 B. 面积 C. 体积 D. 速度 4.（2017年陕西省高职分类考试（三校生）第12题）给出下列四个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a|＝|b|，则a＝b； ③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形； ④ 在平行四边形ABCD中，一定有＝； 其中错误的命题有________．(填序号) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省高职分类考试（三校生） 《数学一轮讲练测》练习 专题23 平面向量的概念及线性运算 1． 选择题 1．向量的特征是（　　） A．模为 B．模为 C．方向固定向右 D．方向固定向左 【答案】A 【解析】零向量的模为，故A正确，B错误； 零向量的方向任意，不固定，故CD选项错误. 故选：A. 2．下列说法正确的个数是（    ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误， 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误， 对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误， 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误， 故选：A． 3．下列说法中，不正确的是（      ） A．零向量的方向是任意的 B．零向量的长度为0 C．零向量是没有方向的 D．零向量和任何向量平行 【答案】C 【解析】因为零向量的方向是任意的，所以选项A说法正确，选项C说法错误； 零向量的长度为0，所以选项B说法正确； 零向量和任何向量平行，所以选项D说法正确. 故选：C. 4．已知，与的方向相反，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 又与的方向相反，所以. 故选：C. 5．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（     ） （1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； （2）平行且模相等的两个向量是相等向量； （3）若，则；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】（1）由相等向量的定义知（1）正确； （2）平行且模相等的两个向量，可能方向相反，所以可能不相等，（2）错； （3）不相等的两个向量，模可能相等，例如所有单位向量模都是1.（3）错； （4）根据相等向量的定义知（4）错. 因此只有1个命题正确. 故选：C. 6．在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由题，因为， 则，即三边相等，则是等边三角形. 故选:B. 7．已知下列四个命题： ①向量就是有向线段； ②方向相反的两个向量叫做相反向量； ③大小相等的两个向量叫做相等的向量； ④零向量没有方向． 其中真命题的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】①假命题，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段； ②假命题，大小相等且方向相反的向量叫做相反向量； ③假命题，大小相等且方向相同的两个向量叫做相等的向量； ④假命题，零向量有方向，其方向是任意的. 故选：A. 8．以下说法错误的是（    ） A．零向量与任何向量共线 B．共线向量不一定是相等向量 C．两个向量的内积仍是向量 D．若非零向量满足，则 【答案】C 【解析】选项A：根据零向量的性质，零向量与任何向量共线，所以选项A正确； 选项B：共线向量是指方向相同或相反的向量，而相等向量不仅要求方向相同，还要求模长相等， 所以共线向量不一定是相等向量，选项B正确； 选项C：两个向量的内积是一个数量，而不是向量，所以选项C错误； 选项D：已知非零向量，满足，可得，则，所以选项D正确. 故选：C. 9．下列说法中正确的是（ ） A．向量的模都是正实数 B．与表示的意义相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：，两个向量为相反向量，模相等，方向相反，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2． 填空题 10．给出下列各量： ① 铅笔盒对桌面的压力； ② 气温； ③ 高台跳水运动员在最高点的速度； ④ ； ⑤ 把一条射线绕其端点顺时针旋转30°所构成的角． 其中是向量的是______．（把正确选项的序号填在横线上） 【答案】①③ 【解析】向量含有两个要素：大小和方向， ①压力即有大小又有方向，故铅笔盒对桌面的压力是向量； ②温度只有大小，没有方向，零上与零下只是温度高低的一种区分表述，因此不是向量； ③速度即有大小又有方向，高台跳水运动员在最高点的速度是向量； ④表示向量的大小，它是一个数值，不是向量； ⑤的角中的负号表明了“线转成角”时的旋转方向，这与向量的方向是不同的，不是向量. 其中是向量的是①③. 故答案为：①③. 11．在四边形中，，则四边形是___________________．（填“平行四边形”或“梯形”或“长方形”或“正方形”） 【答案】平行四边形 【解析】因为，所以对边平行且相等，四边形是平行四边形. 故答案为：平行四边形. 3． 解答题 12．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 【答案】(1) (2) (3),, 【解析】（1）因为点O是正六边形的中心， 所以有：,且与方向相同 所以与相等的向量为: . （2）因为点O是正六边形的中心， 所以有: ,且与方向相反, 所以的相反向量为: . （3）因为点O是正六边形的中心, 所以与方向相同，与方向相反, 所以与共线的向量为: ,,. 1． 选择题 13．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 【答案】D 【解析】零向量的方向是任意的，故A错误， 单位向量长度均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故B错误， 相等向量的起点不一定相同，故C错误， 共线向量的方向相同或相反，故D正确， 故选：D. 14．下列命题①共线向量的方向一定相同；②相等向量的起点一定相同；③单位向量的模一定相等：④相反向量的模一定相等.其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，共线向量的方向可以相反，故①错误； 对于②，相等向量的起点不一定相同，故②错误； 对于③，单位向量的模都是1，则它们的模一定相等，故③正确； 对于④，相反向量方向相反，大小一样，即它们的模相等，故④正确. 故选：B. 15．如图所示，是任意四边形的一条对角线，则下面结论成立的是（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，故正确； ，故错误； ，故错误； 当四边形是平行四边形时，， 四边形是任意四边形，所以不一定成立，则不一定成立，故错误， 故选：. 16．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【解析】因为单位向量的长度都为1，但是方向可能不同，故不一定相等，故选项A错误； 因为任一非零向量与它的相反向量长度相等、方向相反，故不相等， 但零向量的相反向量仍是零向量，故零向量与它的相反向量相等，故选项B错误； 因为模为零的向量是零向量，零向量与任一向量平行，故选项C正确； 因为模相等的两个共线向量的方向可能相同或相反，故不一定是相同的向量，故选项D错误； 故选：C. 17．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 【答案】D 【解析】根据图知，，所以.    因为正六边形ABCDEF的边长为1，所以， 进而. 故选：D. 18．下列命题不正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 【答案】A 【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确； D选项，由向量相等的定义知D正确. 故选：A 19．下列说法不正确的是（   ） A．向量是既有大小又有方向的量 B．单位向量的模长为1，无方向 C．零向量的模长为0，方向任意 D．互为相反的两个向量之和等于 【答案】B 【解析】向量是既有大小又有方向的量，故正确； 单位向量的模长为1，方向不固定，故错误； 零向量的模长为0，方向任意，故正确； 互为相反的两个向量之和等于，故正确， 故选：. 20．给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．温度、厚度都是向量 B．两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同 C．大小相同的向量相等 D．两个向量一定相交或平行 【答案】B 【解析】选项，温度和厚度只有大小，没有方向，不符合向量的定义，所以不是向量，故错误. 选项，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故正确. 选项，大小相同，方向也相同的向量相等，故错误. 选项，两个向量除了相交或平行还有重合，故错误. 故选：. 21．设是正方形的中心，向量，，，是（　　） A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 【答案】D 【解析】 是正方形的中心，则为对角线交点， 如图所示，向量与，与的方向既不相同也不相反，所以向量，，，不是平行向量，故选项错误； 向量的终点是，的终点是，，的终点是，的终点是，它们的终点并不都相同，故选项错误； 方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以向量与，与的方向不同，所以，，，不是相等向量，故选项错误； 根据正方形的性质可知，，所以向量，，，是模长相等的向量，故选项正确； 故选：. 22．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．零向量没有方向 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【解析】选项A：向量的模是非负实数，并非一定是正实数，例如，零向量的模为，所以该选项错误； 选项B：单位向量是指模等于的向量，起点相同的单位向量，由于方向可以不同，终点不一定相同，该选项错误； 选项C：零向量的方向是任意的，并不是没有方向，该选项错误； 选项D：若两个非零向量的和为零向量，那么它们必然互为相反向量，该选项正确， 故选：D. 2． 填空题 23．如图，在菱形ABCD中，，，则______． 【答案】 【解析】如图所示，设菱形对角线交点为O,． 因为，所以， 所以为等边三角形． 又，， 所以． 在中，， 所以． 故答案为: 三．解答题： 24．一个人从A点出发沿东北方向走了到达B点，然后改变方向，沿南偏东方向又走了到达C点，求此人从C点回到A点的位移． 【答案】沿西偏北，长度为 【解析】根据题意画出示意图． ，，，为正三角形，， 即此人从C点回到A点所走的位移大小为． ，，， 此人行走的方向为西偏北， 此人从C点走回A点的位移为沿西偏北，长度为． 故答案为：沿西偏北，长度为. 1.（2023年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）向量的包含要素是（ ） A. 大小和方向 B. 大小和起点 C. 方向和起点 D. 大小、方向和起点 【答案】A 【解析】 依据向量的概念，既有大小又有方向的量称为向量。 故选A 2.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第10题）一个动点A点移动到B点，又由B点移动到C点，则动点的总位移为 【答案】 【解析】由向量的加法运算三角形法则可得： 3.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）下列物理量中是向量的是（ ） A. 温度 B. 面积 C. 体积 D. 速度 【答案】D 【解析】 依据向量的概念，既有大小又有方向的量称为向量。只有选项D符合 故选 D 4.（2017年陕西省高职分类考试（三校生）第12题）给出下列四个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a|＝|b|，则a＝b； ③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形； ④ 在平行四边形ABCD中，一定有＝； 其中错误的命题有________．(填序号) 【答案】①②③ 【解析】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确； |a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确； ＝，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $