专题23 平面向量的概念及线性运算（讲义）-2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省高职分类考试（三校生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 平面向量的概念及线性运算 【复习目标】 1. 理解向量、有向线段、单位向量、零向量的概念； 2. 能理解相等向量、相反向量、共线向量（平行向量）的含义； 3. 熟练掌握向量的加法、减法及数乘运算法则及几何意义； 4. 理解与非零向量共线的条件。 【考点1 向量的基本概念】 名 称 内 容 向量 向量：既有大小又有方向的量； 向量的大小：有向线段的长度； 向量的方向：有向线段的方向 零向量 ①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 单位向量 长度等于1的单位向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 （1）向量与相等，记作＝； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 相反向量 长度相等，方向相反的向量 【即时训练】 1．平面向量概念的要素是（    ） A．大小和起点 B．起点和终点 C．大小和方向 D．起点、终点和方向 2．下列各量是向量的有几个（    ） ①重力；②温度；③长度；④位移；⑤加速度 A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 4．下列四个物理量中，（     ）是向量. A．温度 B．速度 C．距离 D．质量 5．下列说法错误的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个向量一定共线 C．两个非零向量互相垂直的充要条件是 D．两个相等向量的起点、方向、大小必须都相同 6．关于零向量，下列说法正确的是（     ） A．零向量没有方向 B．零向量的模为1 C．零向量与任意向量平行 D．零向量就是数字0 7．下列说法不正确的是（    ） A．向量既有大小又有方向 B ．零向量的方向是任意的 C．向量的模可以比较大小 D ．两个向量的模相等就是两个向量相等 8．已知两个向量与共线，下列说法正确的是（ ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 9．下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量 C．同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 10．如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有________．（填序号） ①；②；③与共线；④． 【考点2 向量的线性运算】 名 称 内容 加法运算 ①+=+ ②（+）+=+（+） ③+=+= ④+（-）=（-）+= 向量减法 向量的数乘运算 ： ①=（） ②=+ （）=+ ③（-1）=- 方向： 向量共线（平行） 方向相同的非零向量，平行向量又叫共线向量 规定：0向量与任一向量平行 任意一个实数，使得 【即时训练】 1．下列结论中正确的是（    ）． A．若和都是单位向量，则 B．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等 D．模相等的两个平行向量是相等的向量 2．已知下列四个命题： ①零向量与任意向量都平行； ②单位向量长度都相等； ③平行于同一向量的两个向量是平行向量； ④是的必要条件． 其中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法正确的是（    ） ①有向线段的三要素是起点、方向、长度； ②向量的两要素是大小和方向； ③同向且等长的有向线段是相等向量； ④在平行四边形中，． A．① B．①⑤ C．①②③ D．①②③④ 4．已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．若，则（　　） A． B． C．3 D．6 6．给出下列命题： ①和的模相等；      ②方向不同的两个向量一定不共线； ③； ④. 其中真命题的个数是（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在长和宽分别为的矩形中， （　　） A． B． C． D． 9．在四边形中，，则这个四边形的形状是______. 10．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 11．若在四边形中，且，则四边形是__________. 12．（1）已知任意向量，求与； （2）若两个向量，满足，试探究，之间的关系． 1.（2023年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）向量的包含要素是（ ） A. 大小和方向 B. 大小和起点 C. 方向和起点 D. 大小、方向和起点 2.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第10题）一个动点A点移动到B点，又由B点移动到C点，则动点的总位移为 3.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）下列物理量中是向量的是（ ） A. 温度 B. 面积 C. 体积 D. 速度 4.（2017年陕西省高职分类考试（三校生）第12题）给出下列四个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a|＝|b|，则a＝b； ③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形； ④ 在平行四边形ABCD中，一定有＝； 其中错误的命题有________．(填序号) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省高职分类考试（三校生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 平面向量的概念及线性运算 【复习目标】 1. 理解向量、有向线段、单位向量、零向量的概念； 2. 能理解相等向量、相反向量、共线向量（平行向量）的含义； 3. 熟练掌握向量的加法、减法及数乘运算法则及几何意义； 4. 理解与非零向量共线的条件。 【考点1 向量的基本概念】 名 称 内 容 向量 向量：既有大小又有方向的量； 向量的大小：有向线段的长度； 向量的方向：有向线段的方向 零向量 ①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 单位向量 长度等于1的单位向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 （1）向量与相等，记作＝； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 相反向量 长度相等，方向相反的向量 【即时训练】 1．平面向量概念的要素是（    ） A．大小和起点 B．起点和终点 C．大小和方向 D．起点、终点和方向 【答案】C 【解析】平面向量是指既有大小又有方向的量， 平面向量概念的要素是大小和方向. 故选：C． 2．下列各量是向量的有几个（     ） ①重力；②温度；③长度；④位移；⑤加速度 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为①重力；④位移；⑤加速度这三个量有大小也有方向，故是向量； ②温度；③长度这两个量只有大小没有方向，故是数量，不是向量； 所以是向量的有3个. 故选：B. 3．下列说法正确的是（     ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 4．下列四个物理量中，（     ）是向量. A．温度 B．速度 C．距离 D．质量 【答案】B 【解析】向量是既有方向又有大小的量，温度、距离、质量均有大小，但是无方向，不是向量；速度既有方向又有大小，是向量. 故选：B. 5．下列说法错误的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个向量一定共线 C．两个非零向量互相垂直的充要条件是 D．两个相等向量的起点、方向、大小必须都相同 【答案】D 【解析】对A，零向量与任一向量平行，正确； 对B，方向相反的两个向量一定共线，正确； 对C，两个非零向量互相垂直的充要条件是，正确； 对D，方向相同，大小相等的两个向量相等，不一定要有相同的起点，错误. 故选：D 6．关于零向量，下列说法正确的是（     ） A．零向量没有方向 B．零向量的模为1 C．零向量与任意向量平行 D．零向量就是数字0 【答案】C 【解析】零向量的模为0，方向任意，故AB错误； 零向量与任意向量平行，故C正确； 零向量是向量而非数字，故D错误. 故选：C. 7．下列说法不正确的是（    ） A．向量既有大小又有方向 B ．零向量的方向是任意的 C．向量的模可以比较大小 D ．两个向量的模相等就是两个向量相等 【答案】D 【解析】对A，向量是既有大小又有方向的量，故A正确； 对B，零向量的方向是任意的，故B正确； 对C，向量的模长是非负实数，所以可以比较大小，故C正确； 对D，两个向量相等当且仅当它们的模长相等，方向相同，故D错误. 故选：D. 8．已知两个向量与共线，下列说法正确的是（ ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 【答案】A 【解析】选项A：与共线，则与平行，A说法正确； 选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误； 选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误； 选项D：与共线，当为非零向量，时，不存在实数，使得，D说法错误； 故选：A. 9．下列命题中错误的有（     ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量 C．同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】C 【解析】根据向量的概念，可知A、B正确；对于C项，向量不能比较大小，故C错误； 对于D项，根据平行向量以及相等向量的概念，可知D正确. 故选：C. 10．如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有________．（填序号） ①；②；③与共线；④． 【答案】①②③ 【解析】对于①，与方向相同，长度相等，则，则①正确； 对于②，因为、、三点共线，则，则②正确； 对于③，因为，则与共线，则③正确； 对于④，、方向不相同，故，则④错误. 故答案为：①②③. 【考点2 向量的线性运算】 名 称 内容 加法运算 ①+=+ ②（+）+=+（+） ③+=+= ④+（-）=（-）+= 向量减法 向量的数乘运算 ： ①=（） ②=+ （）=+ ③（-1）=- 方向： 向量共线（平行） 方向相同的非零向量，平行向量又叫共线向量 规定：0向量与任一向量平行 任意一个实数，使得 【即时训练】 1．下列结论中正确的是（     ）． A．若和都是单位向量，则 B．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等 D．模相等的两个平行向量是相等的向量 【答案】C 【解析】对于选项A：若和都是单位向量，但是两向量的方向可能不一致，则不一定满足，故A错误； 对于选项B：向量是可以平移的，若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，故B错误； 对于选项C：两个相等向量的模一定相等，故C正确； 对于选项D：两个向量相等，则它们的模长相等且方向相同，两个平行向量方向不一定相同，故D错误. 故选：C. 2．已知下列四个命题： ①零向量与任意向量都平行； ②单位向量长度都相等； ③平行于同一向量的两个向量是平行向量； ④是的必要条件． 其中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①零向量与任意向量都平行，正确； ②单位向量长度都是，都相等，正确； ③平行向量中若，，则与不一定平行，错误； ④，是的充分条件，错误． 正确的个数为个. 故选：B. 3．下列说法正确的是（    ） ①有向线段的三要素是起点、方向、长度； ②向量的两要素是大小和方向； ③同向且等长的有向线段是相等向量； ④在平行四边形中，． A．① B．①⑤ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】由有向线段、向量、相等向量的定义可以直接判断①②③正确； 由平行四边形的性质可知，与方向相同，④正确． 故选：D 4．已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，单位向量并不一定是相同或相反的向量，故A错误， 对B，两者不一定共线，故B错误， 对C，两者不一定垂直，故C错误， 对D，单位向量的模长相等，则，故D正确， 故选：D. 5．若，则（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【解析】，则. 故选：. 6．给出下列命题： ①和的模相等；      ②方向不同的两个向量一定不共线； ③； ④. 其中真命题的个数是（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】和为相反向量，所以它们的模相等，故①正确， 方向相反的两个向量共线，故②错误， 的模为0，但，故③错误， 向量之间不能比较大小，故④错误， 所以真命题只有一个， 故选：B. 7．如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，，故A错误； 向量，方向不同，则，故B错误； 因为向量，方向不相反，则，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 8．如图所示，在长和宽分别为的矩形中， （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在矩形中，. 故选：. 9．在四边形中，，则这个四边形的形状是______. 【答案】平行四边形 【解析】由可知//，且， 注意到四边形中不共线，于是//， 结合可知，该四边形是平行四边形. 故答案为：平行四边形 10．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】A 【解析】因为向量，共线，且，， 当与方向相反时，有最大值为. 故选：A. 11．若在四边形中，且，则四边形是__________. 【答案】菱形 【解析】∵在四边形中，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是菱形. 故答案为：菱形. 12．（1）已知任意向量，求与； （2）若两个向量，满足，试探究，之间的关系． 【答案】（1），；（2）与互为相反向量． 【解析】（1）令,由得． 由得． （2）令，则，即． 又，则，于是点B与点O重合． 因此，与长度相等，方向相反，即与互为相反向量． 1.（2023年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）向量的包含要素是（ ） A. 大小和方向 B. 大小和起点 C. 方向和起点 D. 大小、方向和起点 【答案】A 【解析】 依据向量的概念，既有大小又有方向的量称为向量。 故选A 2.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第10题）一个动点A点移动到B点，又由B点移动到C点，则动点的总位移为 【答案】 【解析】由向量的加法运算三角形法则可得： 3.（2022年陕西省高职分类考试（三校生）第5题）下列物理量中是向量的是（ ） A. 温度 B. 面积 C. 体积 D. 速度 【答案】D 【解析】 依据向量的概念，既有大小又有方向的量称为向量。只有选项D符合 故选 D 4.（2017年陕西省高职分类考试（三校生）第12题）给出下列四个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a|＝|b|，则a＝b； ③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形； ④ 在平行四边形ABCD中，一定有＝； 其中错误的命题有________．(填序号) 【答案】①②③ 【解析】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确； |a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确； ＝，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $