第31练 立体几何测验《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》立体几何同步测验，以三阶分层设计构建“基础认知-技能应用-综合拓展”路径，强化空间观念与推理能力，适配课堂同步巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|立体几何基本概念与性质|单选题1-3题考查平面判定、线面关系等概念辨析，夯实抽象能力| |技能应用|空间角与距离计算|单选题4-8题及填空题11-13题训练线面角、异面直线成角计算，提升几何直观| |综合拓展|线面关系证明与体积计算|解答题15-18题综合证明（如面面垂直）与体积求解，发展推理能力与模型意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第四章 立体几何 第 31 练 立体几何测验 一、单选题 1．有两条不同的直线，，以及两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】由线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及线线、线面、面面相关判定，判断各选项的正误. 【详解】A：若，，则或，错误； B：若，，，当且仅当时，错误； C：若，，必有，正确； D：若，，，则可能平行、相交或异面，错误； 故选：C. 2．下列命题正确的是（   ） A．可以无限延展的面是平面 B．有一组平行线的面一定是平面 C．两条直线确定一个平面 D．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 【答案】D 【分析】根据平面的概念判断选项即可. 【详解】A：可以无限延展的面不一定是平面，曲面也可以无限延展，故A错误. B：有一组平行线的面不一定是平面，如圆柱的侧面有一组平行线，但圆柱的侧面是曲面，故B错误. C：两条相交直线或平行直线可以确定一个平面，两条异面直线不确定一个平面，故C错误. D：四边形的一组对边平行，平行直线确定一个平面，所以四边形上四个点都在这个平面上，故这个四边形是平面图形. 故选：D. 3．下列说法正确的是（    ） A．若直线平面，则直线垂直于平面内的所有直线 B．若直线平面，则直线平行于平面内的所有直线 C．若两条直线都平行于平面，则 D．若一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线与这个平面平行 【答案】A 【分析】由直线与平面垂直的性质和直线与平面平行的性质即可求解. 【详解】由直线与平面垂直的性质可知，若直线平面，则直线垂直于平面内的所有直线. 由直线与平面平行的性质可知，若直线平面，则直线不平行于平面内的所有直线. 若两条直线都平行于平面，则可能与平行，异面或相交. 若一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线可能与这个平面垂直. 故选：A. 4．在长方体中，，，则对角线与底面所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的几何特征找出线面角，再根据锐角三角函数中正切的定义求线面角的正切值，然后求出线面角的大小即可. 【详解】如图所示，为长方体， 所以底面， 所以为对角线与底面所成的角. 为直角三角形， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 5．正方体中，直线与所成的角可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的特征，找出异面直线与所成的角即可求解. 【详解】    连接，正方体中，， 所以即为直线与所成的角， 在正方体中， ， 所以为等边三角形， 所以， 即直线与所成的角可以表示为. 故选：B. 6．如图，分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中位数定理与平行线的传递性判断A，利用平行线的传递性判断B，利用面面平行的性质判断C，利用异面直线的判定方法判断D，从而得解. 【详解】对于A，如图，因为分别是正方体所在棱的中点， 易得，， 所以，且， 所以为梯形，故与EF相交，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，平面平面，平面，平面， 所以直线与直线无公共点，故C错误； 对于D，因为平面，平面，平面， 所以与异面，故D错误. 故选：A. 7．如图，正三棱柱各棱长都是2，其侧棱与底面垂直，点分别是的中点，则与侧棱所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移法作出与侧棱所成的角，再根据三角函数的定义易得答案. 【详解】 取AC的中点G，连结FG、EG. 由正三棱柱可得，. ∵G、E是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴是与所成的角. 又平面，平面， 所以， ，，， 在中，. 故选：A. 8．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作半平面的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理证明出平面，再根据二面角的概念得出为二面角的平面角，最后根据题意结合三角函数的定义即可求值. 【详解】如图，过点作半平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以，又， 且为平面中的两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以，则为二面角的平面角， 所以，由点到半平面的距离为， 可得，则点到棱的距离即. 故选：C. 9．如图，在四面体中，平面，，若，则（       ）    A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质可得，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又平面，平面，所以， 因此， 故选：C. 10．在三棱锥中，已知平面，若，则直线与平面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形找出直线与平面所成的角，再在直角三角形中利用三角函数求出角度即可. 【详解】 如图，因为平面，所以为直线与平面所成的角． 因为，所以， 平面，平面，则， 在中，， 因为，所以． 故选：D. 二、填空题 11．已知，，是三个不同的点，是一个平面，现有如下四个命题： ①，，三点确定一个平面；        ②若，，则直线与相交； ③若，到的距离均为1，则；        ④若，，则． 其中所有真命题的序号是______． 【答案】②④ 【分析】根据空间点线面的位置关系依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，不在同一直线上的，，三点确定一个平面，故错误； 对于②，若，，则直线与相交，正确； 对于③，若，到的距离均为1，则或，在的两侧，故错误； 对于④，若，，则，正确． 所以所有真命题的序号是②④ 故答案为：②④ 12．如图，已知正方体的棱长为，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为__________． 【答案】/ 【详解】连接，， ∵点是面的中心，∴，是的中点， ∵平面，∴，∴． 故答案为 点睛：本题考查线段的长的求法，注意正方体的性质的合理运用，连结AD1，AB1，由正方体的性质，得，且，由此能求出线段PQ的长，要熟练掌握正方体的点线面的位置关系. 13．在正方体中，直线与直线所成的角为__________. 【答案】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再确定直线与直线所成的角的平面角即可得解. 【详解】 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又因为，且， 平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以直线与直线所成的角为. 故答案为： 14．如图,在四棱锥中,平面，底面是棱长为的菱形, ,,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为______.    【答案】/ 【分析】由线面垂直的判定,线面角的定义及正弦的公式即可得解. 【详解】取中点,连接. ,为等边三角形. 又为中点,. 平面,平面,. ,平面,平面. 即为直线与平面所成角. ,. 又 . . 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为:.    三、解答题 15．如图，正方体的棱长为1. (1)求与所成的角； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到与平行的直线，将异面直线所成角转换成求，根据三角形是等边三角形即可得到角的度数. （2）利用等体积法将所求三棱锥体积转换成求三棱锥的体积，再套棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）正方体中，，且， 则四边形是平行四边形，则有， 则所成的角即与所成的角， 因为正方体棱长为1，所以， 即△为等边三角形，则， 所以所成的角为. （2）因为， 且正方体中，平面， 所以. 三棱锥的体积为. 16．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证. 【详解】（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面.    （2）在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. 17．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由底面，可得，根据线面垂直的定义结合已知条件即可求解. （2）取F为直线的中点，连接，根据线面角的定义可知为直线与平面所成的角，在直角三角形中，根据已知条件即可求解. 【详解】（1）因为四边形是边长为2的菱形，所以， 又因为底面，且底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）如图，取F为直线的中点，连接， 因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以. 又因为底面， 所以底面. 又底面， 所以， 所以为直线与平面所成的角. 因为四边形是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 所以在直角三角形中，， 又，所以. 18．在直三棱柱中，．求： (1)直三棱柱的表面积； (2)异面直线与所成角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合直棱柱的表面积公式，即可求解； （2）根据题意，结合直棱柱的几何特征、线面垂直的判定定理和性质定理、异面直线所成角的概念，利用解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）    因为直三棱柱中，， 所以， 所以表面积. （2）由题意，连接， 因为直三棱柱中，， 所以即是异面直线与所成角， 因为底面，底面，所以， 又，所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 所以在中，，， 所以，所以. 即异面直线与所成角是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第四章 立体几何 第 31 练 立体几何测验 一、单选题 1．有两条不同的直线，，以及两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．下列命题正确的是（   ） A．可以无限延展的面是平面 B．有一组平行线的面一定是平面 C．两条直线确定一个平面 D．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 3．下列说法正确的是（    ） A．若直线平面，则直线垂直于平面内的所有直线 B．若直线平面，则直线平行于平面内的所有直线 C．若两条直线都平行于平面，则 D．若一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线与这个平面平行 4．在长方体中，，，则对角线与底面所成的角是（    ） A． B． C． D． 5．正方体中，直线与所成的角可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．如图，分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，正三棱柱各棱长都是2，其侧棱与底面垂直，点分别是的中点，则与侧棱所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 8．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 9．如图，在四面体中，平面，，若，则（       ）    A．1 B． C． D．2 10．在三棱锥中，已知平面，若，则直线与平面所成的角为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，，是三个不同的点，是一个平面，现有如下四个命题： ①，，三点确定一个平面；        ②若，，则直线与相交； ③若，到的距离均为1，则；        ④若，，则． 其中所有真命题的序号是______． 12．如图，已知正方体的棱长为，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为__________． 13．在正方体中，直线与直线所成的角为__________. 14．如图,在四棱锥中,平面，底面是棱长为的菱形, ,,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为______.    三、解答题 15．如图，正方体的棱长为1. (1)求与所成的角； (2)求三棱锥的体积. 16．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 17．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 18．在直三棱柱中，．求： (1)直三棱柱的表面积； (2)异面直线与所成角的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $