第30练 两平面垂直《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第30练（两平面垂直）以“基础巩固-综合应用”为分层逻辑，通过单选、填空、解答题递进设计，强化空间观念与推理意识，适配同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念与定理辨析|8道单选题聚焦两平面垂直判定与性质，如第2题直接考查判定定理| |巩固层|条件判断与空间图形分析|4道填空题深化逻辑推理，如第9题判断面面垂直的充分必要条件| |提升层|综合证明与计算应用|2道解答题融合线面垂直证明（第13题）及体积、二面角计算（第14题），培养应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第四章 立体几何 第 30 练 两平面垂直 一、单选题 1．直线平面平面，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】直线平面平面，由面面垂直的判定定理，得与垂直. 故选：C. 2．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．不垂直 D．相交 【答案】B 【分析】利用面面垂直的判定定理即可得解. 【详解】由面面垂直的判定定理可知， 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 故选：B. 3．如图在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 【答案】C 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理、平面与平面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，利用直线平行判断异面直线所成角. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，平面，且， 又；在平面，所以平面， 又平面，所以，同理，， 由平面，所以平面，选项A正确； 对于B，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理.又，，所以平面平面，选项B正确； 对于C，正方体的面对角线长相等，则为等边三角形，所以，又，所以与的夹角为，选项C错误； 对于D， 由A选项证明可知平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面，故选项D正确. 故选：C 4．如图所示，四边形中，，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】假设A、B选项成立，利用线面垂直的性质，可得，，从而产生矛盾，可排除；假设C选项成立，取的中点，连接，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质，可得平面，故排除；对D选项，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质，可证明平面，据此可判断结论正确. 【详解】对A选项，假设平面，由于平面，则. 在中，因为，，所以，这与相矛盾，即与平面不垂直，故错误； 对B选项，同理可判断与平面不垂直，故错误； 对C选项，如图，取的中点，连接， 在四边形中，，，，， 所以，所以为等腰直角三角形， 即在三棱锥，中， 假设平面平面，且平面平面，平面， 所以平面； 因为平面，所以. 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，都在平面内， 所以平面， 同上，产生矛盾，即平面与平面不垂直，故错误； 对D选项，在四边形中，，，，. 所以； 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 又，，都在平面内， 故平面，又平面，所以平面平面，故D正确. 故选：D 5．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定求解即可. 【详解】∵平面，平面，∴． 由四边形为矩形得． ∵，平面，平面， ∴平面． ∵平面，∴平面平面． 故选：C. 6．下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（   ） ①若，则        ②若，则 ③若，则        ④若，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可判断①；由面面垂直的性质定理和面面平行的性质定理，可判断②；由线面平行的性质定理和线线的位置关系，可判断③；由面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，可判断④. 【详解】由于，由线面平行的性质定理得，平行于过的平面与的交线， 又，故，即，故①正确； 若，则与可能相交，也可能平行，故②错； 若，，由线面平行的性质定理，即得，平行、相交或异面，故③错； 若，，，则由面面平行的传递性得， 由线面垂直的性质定理得，故④正确. 故选：C. 7．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将沿对角线AC折起，使得平面平面ADC（如图），则下列命题中正确的为（    ） A．直线直线CD，且直线直线BD B．直线平面BCD，且直线平面BDE C．平面平面BDE，且平面平面BDE D．平面平面BCD，且平面平面BDE 【答案】C 【分析】由直线直线不成立，知A错误. 由直线平面不成立，故B错误. 由平面平面，且平面平面，知C正确. 由平面平面不成立，知D错误. 【详解】由题可知，平面平面.平面平面. 所以平面.因为平面.所以 若则平面. 因为平面即.显然直线不垂直，故假设不成立. 所以直线直线不成立，故A错误； 若平面，且平面，则. 事实上，不成立，所以直线平面不成立，故B错误； 因为为的中点.所以. 平面平面，平面平面，平面. 所以平面.因为平面. 所以平面平面. 因为平面，平面. 所以平面平面，故正确. 如下图所示，取的中点，连接. 因为，为的中点.所以. 若平面平面.平面平面，平面. 所以平面.因为平面.所以. 因为，且.所以平面. 因为平面.所以. 事实上，与不垂直.故假设不成立. 所以平面平面不成立，故错误. 故选：C. 8．平面平面，，，则（   ） A． B． C． D．与相交但不一定垂直 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理即可求. 【详解】因为平面平面，，，， 由面面垂直的性质定理知，. 故选：C. 二、填空题 9．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据面面垂直判定定理即可求解. 【详解】若，与平面不一定垂直； 若，根据面面垂直的判定定理可得， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 10．如图所示，平面，，图中有__________个直角三角形，互相垂直的平面共有__________对. 【答案】 4 3 【分析】根据线面垂直的性质以及面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以，所以，是直角三角形. 因为，是直角三角形. 因为平面，所以. 又因为平面，不属于平面，所以平面， 进而，即是直角三角形. 所以共4个直角三角形. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以平面平面， 所以图中互相垂直的平面共有3对. 故答案为：4；3. 11．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】取E、F特殊位置可判定①②，根据线面垂直关系可判断③④. 【详解】对①：当,时，与不平行，则与不平行，故①错误； 对②：当,时，平面与平面不平行， 所以平面与平面不平行，故②错误； 对③：由正方体的特征可知：平面,平面，所以， 又，，平面,平面， 所以平面，由平面，所以，故③正确； 对④：由正方体的特征可知：平面,平面， 则平面平面，故④正确. 综上所述：正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 12．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________． 【答案】6 【详解】∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB. 又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊂平面ABC， ∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形． ∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个． 三、解答题 13．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 14．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，证明为四棱锥的高，再结合已知条件利用棱锥的体积公式即可求解. （2）过点作交于，连结，由题意可证为二面角的平面角，再结合已知条件在中计算即可求解. 【详解】（1）如图所示，过点作于， 在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形， 所以，， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，又，， 平面，所以平面； 在中，，，， 所以，， 由得， 所以四棱锥的体积为. （2）如图所示，过点作交于，连结， 由（1）知，又，，所以， 又，平面，平面，所以平面， 又，所以平面，平面， 所以，，所以为二面角的平面角， 由（1）知平面，所以在中，平面，有， 且，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第四章 立体几何 第 30 练 两平面垂直 一、单选题 1．直线平面平面，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 2．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．不垂直 D．相交 3．如图在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 4．如图所示，四边形中，，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 5．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 6．下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（   ） ①若，则        ②若，则 ③若，则        ④若，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 7．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将沿对角线AC折起，使得平面平面ADC（如图），则下列命题中正确的为（    ） A．直线直线CD，且直线直线BD B．直线平面BCD，且直线平面BDE C．平面平面BDE，且平面平面BDE D．平面平面BCD，且平面平面BDE 8．平面平面，，，则（   ） A． B． C． D．与相交但不一定垂直 二、填空题 9．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 10．如图所示，平面，，图中有__________个直角三角形，互相垂直的平面共有__________对. 11．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 12．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________． 三、解答题 13．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 14．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $