第27练 直线与平面所成的角《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第27练（直线与平面所成的角），以三阶分层设计（基础认知-深化理解-综合应用）实现知识从概念到应用的递进，强化空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|线面角概念及范围|单选1-5题考查正方体中线面角识别，夯实空间观念| |深化理解|概念辨析与定量计算|填空9-12题结合几何体求角度，提升推理能力| |综合应用|综合证明与复杂情境|解答题13-14题融合证明与多步骤计算，发展模型意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第四章 立体几何 第 27 练 直线与平面所成的角 一、单选题 1．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出与平面所成的角即可得解. 【详解】因为平面， 则在平面内的射影为， 即为直线与平面所成的角． 在正方体中，， 故选：. 2．平面外一条直线和这个平面所成角为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面所成角的概念及位置关系，即可求解. 【详解】直线与平面平行时，此时直线与平面所成角为0， 直线与平面垂直时，直线与平面所成角为， 直线与平面斜交时， 直线与平面， 综上，平面外一条直线和这个平面所成角的范围是， 故选：A. 3．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面平行的判定定理得到直线与平面平行，进而得到答案； 【详解】平面平面， 平面．与平面所成的角是． 故选：A 4．下列命题 ①直线与平面所成角的范围是 ②一个平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面内的射影长相等 ③三角形的两边不能垂直于同一平面 ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行 其中正确命题是（    ） A．③④ B．②④ C．③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由线面角、射影、异面直线的概念判断即可. 【详解】①直线与平面所成角的范围是，故①错误； ②若一个平面内两条斜线段相等且线面角相等时，则它们在同一平面内的射影相等， 故一个平面的两条斜线段相等并不能推出它们在这个平面内的射影长相等，故②错误； ③因为垂直于同一平面的两直线平行，故三角形的两边不能垂直于同一平面，故③正确； ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行，若点在其中一条直线上则不成立，故④错误. 故选：C. 5．如图，在正方体中，与垂直的平面是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】利用正方体的特性，根据线面垂直的判定定理，线面角的定义即可求解. 【详解】对于A，在正方体中，有平面，故即为与平面所成的线面角， 又，所以与平面不垂直，故A错误； 对于B，连接，    因为平面，平面，即， 又，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，在正方体中，则有平面，故与平面所成的线面角为， 又，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D，连接，   与为异面直线，又，所以与所成角为与所成角， 因为，所以为等边三角形，即， 又平面，若与平面垂直，则垂直于平面内任一直线，即,而与所成角为，所以与平面不垂直，故D错误. 故选：B 6．如图，已知正方体，则下列命题中错误的是（    ） A．平面 B．与平面ABCD所成的角是 C．与BD所成的角为 D．AC与所成的角是 【答案】C 【分析】由线面平行的判定定理判断A选项，由直线与平面所成的角判断B选项，由直线与直线所成的角判断CD选项即可. 【详解】对于A，平面平面，则平面，A正确， 对于B，因为平面ABCD，与平面ABCD所成角为，B正确， 对于C，与BD所成角即为AC与BD所成角， 而正方形对角线互相垂直，AC与BD所成角为，即与BD所成角为，C错误， 对于D，连接，AC与所成角即为与所成角， 连接，则，则AC与所成角为，D正确． 故选:C. 7．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 8．在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的几何性质、线面角的定义及直角三角形中三角函数的应用，分析求解即可. 【详解】    设正四棱锥的底面边长为，顶点为，底面为正方形， 取为顶点在底面上的投影，即为的中心， 因为侧棱与底边的边长相等， 所以，且平面， 如图所示即为棱与底面所成的角， 因为为正方形对角线，所以，， 又因为平面，平面， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 故选：B. 二、填空题 9．若斜线段的长是它在平面上射影长的2倍，则与所成的角为_________度. 【答案】 【分析】根据线面角定义求出角的余弦值，结合角的范围即可得到线面角的角度. 【详解】设与所成的角为， 由题意可知，且， 则. 故答案为：. 10．一条直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是__________． 【答案】平行或相交 【分析】由直线与平面的位置关系即可得解. 【详解】若点在平面同一侧，则直线与平面平行. 若点在平面异侧，则直线与平面相交． 故答案为：平行或相交. 11．如图所示，在正方体中，为上底面的中心，则与上底面所成角的正切值是__________.    【答案】 【分析】根据题意作出辅助线，找出与上底面所成角即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为平面，所以与上底面所成角为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故答案为：. 12．如图长方体中，底面是边长为1的正方形，高是，则直线与平面所成的角是______． 【答案】 【分析】证明为直线与平面所成的角即可 【详解】为长方体， 平面，平面， 为在平面的射影； 为直线与平面所成的角， ，， ， 在直角三角形中，； 故答案为：. 三、解答题 13．如图，在正方体中， (1)求与平面所成的角； (2)求与平面所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面角的定义可知，是与平面所成的角，由正方体边的性质 可求解； （2）根据线面角的定义可知，连接交于点，连接，则是与平 面所成的角，再根据直角三角形的边长求解即可． 【详解】（1）在正方体中， 平面，则为在平面的射影， 就是与平面所成的角， 在中，， ， 与平面所成的角是． （2）连接交于点，连接． 在正方体中， 平面，平面， ， ， 平面， 平面， 就是与平面所成的角． 设正方体的棱长为1，则． 又， ， 又， ， 与平面所成的角是． 14．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由底面，可得，根据线面垂直的定义结合已知条件即可求解. （2）取F为直线的中点，连接，根据线面角的定义可知为直线与平面所成的角，在直角三角形中，根据已知条件即可求解. 【详解】（1）因为四边形是边长为2的菱形，所以， 又因为底面，且底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）如图，取F为直线的中点，连接， 因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以. 又因为底面， 所以底面. 又底面， 所以， 所以为直线与平面所成的角. 因为四边形是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 所以在直角三角形中，， 又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $AI职教 中职公共课·一课一练 zhijiao.xkw.com 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为 课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的 认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科 学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第四章立体几何 第27练直线与平面所成的角 一课一练 一、单选题 ABCD-ABCD BC 1.正方体 中， 与平面 BCD所成的角是(） D B A D: B A.0° B.45o C.60° D.90° 2.平面外一条直线和这个平面所成角为日，则8的范围是() A吲 g.( e别 D. ABCD-ABCD中 BB与平面 CCDD 3.正方 所成的角是() 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ AI职教 中职公共课·一课一练 zhijiao.xkw.com D C BI D B A.0° B.45° C.60° D.90° 4.下列命题 ①直线与平面所成角的范围是 ②一个平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面内的射影长相等 ③三角形的两边不能垂直于同一平面 ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行 其中正确命题是() A.③④ B.②④ C.③ D.①②④ ABCD-ABC D AD 5.如图，在正方体 中，与 垂直的平面是() D A 6 DDCC B.平面 ADB A.平面 ABCD ADB C.平面 D.平面 ABCD-ABC D 6.如图，已知正方体 ,则下列命题中错误的是() 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ AI职教 中职公共课·一课一练 zhijiao.xkw.com D B D A D/平面DBC B D,C与平面ABCD所成的角是45° C.4C与BD所成的角为45° D.AC与C所成的角是60 BC ABCD-ABCD 7.正方体 的棱长为2，下列结论正确的是() A B D与CD 所成角为 45° B.AD BCCB A.异面直线 与平面 所成角为60° C.D与CD的夹角是0 D M与平面4BCD 所成的角为 45° 8.在正四棱锥P-ABCD中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱PC与底面ABCD所成的 角的大小是(). A.30° B.45° C.60° D.90° 二、填空题 9.若斜线段AB的长是它在平面a上射影长的2倍，则AB与所成的角为， 度 10.一条直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是 11.如图所示，在正方 ABCD-ABCD中 ,0为上底面的中心，则 4与上底面 ABCD 所成角的正切值是 ⊙9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究 AI职教 中职公共课·一课一练 zhijiao.xkw.com D C 0 B 12.如图长方体 1CD-4B,CD中，底面是边长为1的正方形，高是B8=5 则直线 BC ABCD 与平面 所成的角是 D B D C B 三、解答题 13.如图，在正方体 ABCD-ABCD中， D C B D C B )求B 与平面 AADD 所成的角： AB BBDD (2)求与平面 所成的角 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ AI职教 中职公共课·一课一练 zhijiao.xkw.com 14.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD,E为PC的中 点，PD=2 E (I)求证：AC⊥平面PBD: (2)若∠BCD=60°，求直线OE与平面ABCD所成的角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！