第69卷 平面向量的内积（教师讲解卷）-2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦平面向量内积，通过讲练结合的题组设计，系统覆盖定义、性质及运算应用，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|6题|考查内积定义（夹角、模长）、符号判断及坐标运算|从概念理解到基础计算，构建内积核心认知| |多项选择|2题|结合单位向量、向量关系考查充分条件与夹角分析|深化性质应用，培养推理意识| |填空|4题|坐标形式下内积及相关量计算|强化运算能力，巩固公式应用| |解答题|2题|综合内积计算与垂直条件求参数|提升综合应用能力，体现模型意识|

编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第69卷 平面向量的内积 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．已知向量的夹角为，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用，再结合向量内积的定义计算即可. 【详解】解：由题可知：，向量的夹角为， 所以 . 故选：A. 2．已知，的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】由题意，， 故选：A. 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积性质 求解即可. 【详解】 ， . 故选：C 4．若两个非零向量的夹角为锐角，则它们的内积（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．一定等于 【答案】B 【分析】利用向量内积公式以及锐角的范围来确定内积的正负. 【详解】设两个非零向量为和，它们的夹角为， 已知两个非零向量的夹角为锐角，即，则， 又因为和是非零向量，所以且， 那么， 故选：B. 5．已知向量的夹角为，，则（    ） A．3 B．9 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先利用向量内积的运算律化简，再由向量内积的定义计算即可. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以. 故选：D. 6．已知，且，则的值是（    ） A． B． C．37 D．13 【答案】B 【分析】将平方，再利用向量内积的运算律化简计算即可. 【详解】因为，且， 所以 ， 故选：B. 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．已知单位向量，，则使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】若根据数量积的运算律得到，即可得到或，即可判断. 【详解】因为，为单位向量，所以， 若，则， 即，即， 所以或，则或， 故使成立的充分条件可以是、. 故选：AC 8．已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将两边平方，结合数量积得运算律即可判断A；求出即可判断B；根据夹角公式即可判断CD. 【详解】由，得， 即，又 所以，所以，故A正确； 因为， 所以与不垂直，故B错误； ， 又，所以与的夹角为，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．若，则______. 【答案】7 【分析】根据向量内积的运算求解. 【详解】，故. 故答案为：7. 10．已知，，，则__________． 【答案】 【分析】根据向量的内积公式求解即可. 【详解】由题可知,. 所以. 故答案为：. 11．若，则______. 【答案】0 【分析】根据向量垂直的性质求解． 【详解】若，则， 故答案为：0． 12．若，则___________． 【答案】 【分析】由向量内积的定义公式变形即可求出夹角的余弦值，即可解答. 【详解】已知， 因为，且， 所以． 故答案为：. 4． 解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13．已知，求． 【答案】 【分析】利用内积的运算律即可求解. 【详解】 . 14．已知，且与垂直，求的值． 【答案】 【分析】利用两个向量垂直的充要条件：，可得与的夹角的余弦． 【详解】，所以，即. 题目已知，， 故. ∴代入得到，， 可得． ∵， ∴. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第69卷 平面向量的内积 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．已知向量的夹角为，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．若两个非零向量的夹角为锐角，则它们的内积（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．一定等于 5．已知向量的夹角为，，则（    ） A．3 B．9 C．12 D．13 6．已知，且，则的值是（    ） A． B． C．37 D．13 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．已知单位向量，，则使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．若，则______. 10．已知，，，则__________． 11．若，则______. 12．若，则___________． 4、 解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13． 已知，求． 14．已知，且与垂直，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $