第61卷 球及组合体（教师讲解卷）-2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦球及组合体，通过基础计算、综合应用题型构建从概念到实践的知识链，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题（单选1-4）|直接考查半径、截面圆、表面积公式|从球的基本要素（半径）出发，推导截面圆半径与球半径关系，建立表面积计算基础| |公式应用|3题（单选5、填空10-11）|涉及体积守恒（熔球）、表面积体积公式直接应用|通过体积不变原理衔接单球与多球关系，强化公式逆向运用| |组合体计算|2题（填空12、解答14）|半球表面积、浮球（半球+圆柱）体积计算|从单一球体拓展到组合体，整合半球与圆柱的空间结构及体积叠加| |综合应用|3题（单选6、多选7-8）|判断命题正误、分类讨论（截面距离）、实际模型（斗笠）|结合圆锥等几何体，考查空间想象与推理意识，体现数学语言对现实模型的表达|

编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第61卷 球及组合体 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 2．两个球的半径之比为 ，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．棱长为4的正方体，其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．一个球形零件直径为 ，其半径为（　　） A． B． C． D． 5．把半径分别为，，的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为（  ） A． B． C． D． 6．下列命题中不正确的是（   ） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 8．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（    ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积_________，那么这两个几何体的体积相等． 10．已知球的直径为，则它的表面积和体积分别为__________、__________． 11．球的半径为，则球的体积是__________； 12．如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 4、 解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13． 一个半径为的铁球熔化后铸成个小球，求小球的表面积． 14．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.这种“浮球”的体积是多少（结果精确到）. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第61卷 球及组合体 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出球体的半径，利用球体的体积公式可得结果. 【详解】由题意可知，与截面圆所在平面垂直， 设球的半径为，则， 所以，则， 因此，球的体积. 故选：A. 2．两个球的半径之比为 ，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的表面积公式可求解. 【详解】由题可设两个球半径分别为，，表面积分别为， 所以它们的表面积之比为. 故选：B 3．棱长为4的正方体，其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的棱长为内切球的直径，即可求解半径，代入内切球的表面积的公式即可求解. 【详解】因为正方体的棱长为4， 所以内切球的直径为4，即半径为2， 所以内切球． 故选:B. 4．一个球形零件直径为 ，其半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的结构特征即可求解. 【详解】因为球的直径为10，所以半径为. 故选：A. 5．把半径分别为，，的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】大铁球的体积等于三个小球体积之和，结合球的体积公式可得. 【详解】由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和. 设大铁球的半径为，可得. 则，则. 故选：B． 6．下列命题中不正确的是（   ） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 【答案】B 【分析】由圆柱、圆锥、球的结构特征和截面的性质即可得解. 【详解】选项A，球心到球面上任意一点的距离都等于球的半径，过球心的截面所截得的圆面的半径就是球的半径，正确， 选项B，母线长相等时，由于顶角 可以不同，那么轴截面面积的值不同，错误， 选项C，圆锥的定义是由直角三角形绕一条直角边旋转而得到的几何体，平行于底面的截面与底面是相似图形， 因为底面是圆，所以平行于底面的截面都是圆面，正确. 选项D，圆锥的轴截面是由圆锥的母线和底面直径组成的三角形，圆锥的母线长都相等，底面直径也固定， 所以所有轴截面都是全等的等腰三角形，正确. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧， 则； 如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧， 则. 8．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（    ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米 【答案】ACD 【分析】根据母线长与底面半径用正弦可求顶角；当顶角为是面积最大；根据顶角与母线长即可求外接球半径；根据三角形内切圆几何关系即可求解半径． 【详解】对A选项，设顶角为，则，得，所以顶角为，A正确； 对B选项，因为顶角为，则截面三角形的最大面积为平方厘米，B错误； 对C选项，因为顶角为，则，所以外接球半径等于圆锥母线长，即 则该球的表面积为平方厘米，C正确； 对D选项，设球的最大半径为，因为顶角为，则，所以 ，D正确． 故选：ACD 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积_________，那么这两个几何体的体积相等． 【答案】总相等 【分析】根据祖暅原理求解即可. 【详解】夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 故答案为：总相等. 10．已知球的直径为，则它的表面积和体积分别为__________、__________． 【答案】 【分析】根据球的表面积和体积公式计算即可. 【详解】因为球的直径为，所以半径， 所以， ． 故答案为:，. 11．球的半径为，则球的体积是__________； 【答案】 【分析】由球的体积公式代入求解即可. 【详解】因为球的半径为， 所以球的体积为. 故答案为：. 12．如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 【答案】 【分析】根据球的表面积公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 4、 解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13．一个半径为的铁球熔化后铸成个小球，求小球的表面积． 【答案】 【分析】由球的表面积公式和体积公式即可得解. 【详解】设小球半径为，铁球的半径. 则. 解得. ∴. ∴小球的表面积为． 14．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.这种“浮球”的体积是多少（结果精确到）. 【答案】 【分析】由球和圆柱的体积公式即可得解. 【详解】∵球的直径是6cm，可得半径， ∴两个半球的体积之和， 而， ∴该“浮球”的体积. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $