2.3.1 两条直线的交点坐标课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，核心内容包括用解方程组求交点坐标及根据解的个数判定位置关系。课堂导入先复习直线方程的五种形式，通过“判断点是否在直线上”的问题回顾直线与方程的关系，自然过渡到两直线交点的探究，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过“判断点在直线上→求交点坐标→分析方程组解的个数”培养数学思维，引入直线系方程体现数学抽象与模型意识。采用例题解析与变式训练结合的教学方法，小结明确“方程组解的个数⇔位置关系”的结论。学生能提升运算与推理能力，教师可借助分层作业实现差异化教学。

讲课人： 日期： 2.3.1 两条直线的交点坐标 学习目标 学习目标 核心素养 1.会用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 数学运算 2.通过两条直线的交点和二元一次方程组的联系，认识数学的内在联系. 数学抽象 复习回顾 直线方程名称 直线方程形式 应用要求 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 斜率k存在的直线 斜率k存在的直线 斜率k存在且不为0的直线 斜率k存在且不为0， 不过原点的直线 Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0) 任何直线 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 平面上任意一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程： Ax + By + C = 0 (A、B 不同时为0) 表示； 平面直角坐标系中，一条直线上的点与这条直线方程的解有如下关系：直线上点的坐标都是这条直线方程的解，以直线方程的解为坐标的点都在这条直线上. 探索新知 问题：如何判断点P(1,2),Q(2,-6)是否在直线 上？ 点P(1,2)的坐标不满足方程 点P(1,2)不在直线l上 点Q(2,-6)的坐标满足方程 Q(2,-6)在直线l上 追问：直线与直线交点坐标是？ 【答案】(,) 探索新知 问题 ：已知两条直线 ， 相交，它们的交点坐标与直线 𝑙1，𝑙2 的方程有什么关系？ 设这两条直线的交点为𝑃，则点𝑃既在直线𝑙1上，也在直线𝑙2上； 故点𝑃的坐标满足直线𝑙1、𝑙2的方程，即点𝑃的坐标是方程组： 的解；解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 探索新知 例 1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形. l1：3x + 4y – 2 = 0； l2：2x + y + 2 = 0. 解：解方程组： ，得： ； 所以，𝑙1与𝑙2的交点是 𝑀 ( −2，2 )（如图所示）. 小结： 两条直线相交 方程组有唯一解 直线交点坐标 方程组的解 思考：方程组一定只有一个解吗？什么时候无解，什么时候有多个解？ 探索新知 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示. 探索新知 变式1、直线2x+3y=12与直线x-2y=4的交点坐标是　　　　.  解：由 即直线2x+3y=12与直线x-2y=4的交点坐标是(,). 2、直线x=2与直线3x+2y-12=0的交点坐标是　　　　.  由 即直线x=2与直线3x+2y-12=0的交点坐标是(2,3). ( ) (2,3) 探索新知 例 2： 解：（1）解方程组： ，得： ； 所以，l1与l2相交，交点是 探索新知 （2）l1：3x – y + 4 = 0； l2：6x – 2y – 1 = 0； （3）l1：3x + 4y – 5 = 0； l2：6x + 8y – 10 = 0. （2）解方程组： ，方程组无解，所以 l1 ∥ l2 ； 即两方程表示同一条直线，所以 l1 与 l2 重合. （3）解方程组： ，两方程通过系数化简可化为同一个方程， 探索新知 思考：若题目改为 “判断下列各对直线的位置关系”，是否还有其他的判断方法？     （3）将两条直线方程化为斜截式，直线 ，， 直线l1与直线l2的斜率相等，截距相等， l1,l2重合. （1）l1：x – y = 0； l2：3x + 3y – 10 = 0； （2）l1：3x – y + 4 = 0； l2：6x – 2y – 1 = 0； （3）l1：3x + 4y – 5 = 0； l2：6x + 8y – 10 = 0. 探索新知 思考：比较用解方程组和用斜率与截距判断两直线的位置关系的方法，你有什么体会？ 直线位置关系 斜率 解方程 关注直线方程系数关系，快速判断两条直线平行或相交（垂直） 关注解的个数与交点的个数的对应， 判断两条直线平行或相交； 求相交直线交点坐标. 探索新知 例3.求经过直线 和l2：6x-4y+1＝0 的交点且过坐标原点的直线l的方程. 所以，直线l的的斜率k=， 即4x-3y＝0 解方程组 ， 得 ， 所以，两条直线的交点为 ， 解： 故直线l的方程为y＝x， 探索新知 例3.求经过直线 和l2：6x-4y+1＝0 的交点且过坐标原点的直线l的方程. 设l的方程为2x-2y-1+λ(6x-4y+1)＝0， 解： 即(2+6λ)x-(2+4λ)y+λ-1＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， 所以，直线l的方程为8x-6y＝0， 相交直线系方程 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 探索新知 变式3 经过直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点,且与直线x+2y=0垂直的直线方程为　　 　　　.  2x-y=0 设l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)＝0， 解： 即(2+λ)x+(3-λ)y-λ+8＝0. 由题意得2+λ+2(3-λ)=0 所以，直线l的方程为2x-y=0 所以 λ＝8 课堂小结 两条直线的交点坐标： 用代数的方法判断两条直线的位置关系 课堂检测 C 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂检测 4、［2025·浙江绍兴会稽联盟高二联考］若直线 经过两直线和的交点，则 ___. [解析] 由可得 则两直线和的交点为 ， 由题意得, . 4 课后作业 课本第72页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 课后作业 思考：方程 可以表示无数条直线， 这些直线有什么特点呢？如何探索呢？ 取一些特殊值代入 当 时，该方程表示直线 ， 当 时，该方程表示直线 ， 当 时，该方程表示直线 ， 当 时，该方程表示直线 . 画图 课后作业 $