第11卷 空间直线、平面的位置关系、空间角和距离（学生练习卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦空间线面关系与空间角距离，按“概念-计算-证明”逻辑编排，精选真题分师生卷，强化空间观念与推理运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择2/8题|线面位置关系命题判断|从基础概念（线面平行/垂直）到异面直线判定，构建空间位置认知框架| |空间角计算|选择5/6/17题|线线角/线面角/二面角求解|以正方体、长方体为载体，从几何直观到余弦值计算，培养空间想象与运算能力| |空间距离计算|选择7/14题|点到平面距离|结合线面垂直性质，通过几何构造转化距离计算，体现转化思想| |线面关系证明|解答24/25题|面面垂直/线面平行证明|以三棱柱、四棱锥为模型，运用判定定理推理，发展逻辑推理与数学表达能力|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第11卷 空间直线、平面的位置关系、空间角和距离 （学生练习卷） 一、选择题 1．若直线平面，直线平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与垂直且异面 D．与垂直且相交 2．下列命题正确的是（    ） A．过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线 B．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 3．设直线平面，直线平面，那么以下说法正确的选项是（ ） A． B． C．且异面 D．且相交 4.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ） A．20° B．70° C．90° D．110° 5．在正方体中，异面直线与AC所成的角是（   ） A． B． C． D． 6.已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7.已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 8．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 9．如图，在长方体中，，，与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（ ） A． B． C．平面 D．平面 11.在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ） A. B. C D. 12．矩形中，，，平面，且，那么点到的距离是（  ） A． B． C． D． 13.如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为（  ） A． B．2 C． D．5 14．已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（  ） A． B． C． D． 15．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 16．在正四棱锥中，是底面正方形的中心，，分别是侧棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A．直线与直线平行 B．直线与平面平行 C．平面与平面平行 D．直线与平面平行. 17.在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（  ） A. B. C. D. 18.三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（  ） A. B. C. D. 19．如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 20. 已知正方体的棱长为1，下列结论正确的是（  ） A. 异面直线与的所成角为 B. 与的夹角是 C. 二面角的度数为 D. 二面角的度数为 二、填空题 21．正三棱柱的各棱长均为2，E，F分别是AB，的中点，则EF的长是 ． 22．如图，若正四棱柱底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的正弦值是 ． 23.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为______________. 三、解答题 24．如图：在三棱柱中，所有棱长均为4，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 25. 如图所示，四边形是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第11卷 空间直线、平面的位置关系、空间角和距离 （学生练习卷） 一、选择题 1．若直线平面，直线平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与垂直且异面 D．与垂直且相交 【答案】B 【分析】根据线面平行和线面垂直的性质定理即可求解. 【详解】因为直线平面，过直线作平面，使，则； 直线平面，而，所以,所以，当a不在过b且与垂直的平面内时，直线a与直线b可能异面，当a在过b且与垂直的平面内时，a与b不异面 故只有B选项正确， 故选：B 2．下列命题正确的是（    ） A．过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线 B．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 【答案】A 【分析】根据空间两直线位置关系判断即可. 【详解】对A，过直线外一点可以作无数条直线与已知直线即不平行也不相交，A正确； 对B，过直线外一点可以做一个平面与已知直线垂直，所作平面内的所有直线都和该直线垂直，B错； 对C，垂直于同一条直线的两直线平行，相交或异面，C错； 对D，不在任何一个平面内的两条直线为异面直线，D错． 故选：A. 3．设直线平面，直线平面，那么以下说法正确的选项是（ ） A． B． C．且异面 D．且相交 【答案】B 【分析】根据线面平行和线面垂直的性质定理即可求解. 【详解】因为直线平面，由线面平行的性质定理可设直线平面且， 又直线平面，即，所以， 故选：B. 4.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ） A．20° B．70° C．90° D．110° 【答案】B 【详解】∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°， 故选：B. 5．在正方体中，异面直线与AC所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成的角，结合正方体的结构性质即可得解. 【详解】如图， 连接，在正方体中，（或其补角）为与AC所成角，连接，则，. 故选：B. 6.已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 根据长方体的性质可知， 所以是异面直线与所成角（或其补角）， 在三角形中，， 由余弦定理得. 故选：C. 7.已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】作于点,连接如图所示.线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角.所以.又因为. 所以.所以点到平面的距离为. 故选：B. 8．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据题意结合线面平行，面面平行的判定及性质即可得解. 【详解】A选择中，因为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行， 因为m，n未说明是两条相交直线，故错误； B选项中，因为，则内的任何直线都与平行，故正确； C选项中，若，，则或，故错误； D选项中，，，则或，故错误； 故选：B. 9．如图，在长方体中，，，与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线夹角的定义及线面垂直的性质即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为在长方体中，， 所以与所成角即为与所成角， 因为平面，平面，所以， 因为为长方体的体对角线，且，， 所以， ， 故选：. 10．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（ ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图， 对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且，所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 11.在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【分析】根据题意结合共面直线与异面直线的定义即可得解. 【详解】选项中，如图所示，连接，因为， 所以四点共面，所以与共面，故正确；选项中，与为异面直线. 故选：. 12．矩形中，，，平面，且，那么点到的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C. 【分析】根据题意作出图像，根据三垂线定理得出，结合勾股定理及三角形面积公式即可得解. 【详解】 根据题意作出图像，过点作交于点，连接， 因为平面，平面，所以，所以为在平面上的射影， 可知，，因为矩形中，，，， 因为，解得，在中，， 故选：C 13.如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为（  ） A． B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】取中点，连接，，分析可知为异面直线与所成的角（或补角），利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为，所以， 所以，所以， 故选：D. 14．已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，则，设点C到平面的距离为h， 则，又因为，所以， 故选：A 15．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误； B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误； C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误； D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确. 16．在正四棱锥中，是底面正方形的中心，，分别是侧棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A．直线与直线平行 B．直线与平面平行 C．平面与平面平行 D．直线与平面平行. 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，结合正四棱锥的结构特征分析即可. 【详解】对于选项A，B： 因为正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 所以直线是的中位线，所以， 又因为底面是正方形，所以，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面， ，所以直线与直线不平行，故A错误；故B正确； 对于选项C： 由图可知，，所以平面与平面不平行，故C错误； 对于选项D：因为正四棱锥，是底面正方形的中心， 所以直线与平面垂直，故D错误， 故选：B. 17.在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由正方体的特征，找出所求二面角的平面角即可得解. 【详解】如图，在正方体中，平面，平面， 所以，又，所以为平面与平面所成的二面角的平面角，因为为正方形，所以，即平面与平面所成的二面角的度数是. 故选：C. 18.三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】取中点M，连接EM，FM，则FM∥， 则即为直线与所成角，，，，，所以， 故选：C. 19．如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以，平面，，所以平面， 所以，又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 20. 已知正方体的棱长为1，下列结论正确的是（  ） A. 异面直线与的所成角为 B. 与的夹角是 C. 二面角的度数为 D. 二面角的度数为 【答案】D 【分析】A项，根据异面直线的概念，找出为异面直线与的所成角，结合正方体的性质即可求解；B项，先找出为与的夹角，结合正方体的性质即可求解；CD项，根据二面角的概念，找出为二面角的平面角，为二面角的平面角，结合三角函数的定义，正方体的性质即可求解. 【详解】对A，在正方体中，， 所以为异面直线与的所成角，因为， 所以是等边三角形，则， 即异面直线与的所成角为，故A错误. 对B，正方体中，， 则是等边三角形，所以与的夹角，故B错误. 对C，连接交于，连接，在正方体中， ，所以平面， 因为平面，不在平面内，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，故C错误. 对D，在正方体中，平面平面， 不在平面内，所以，因为平面即平面， 所以二面角即平面与平面的二面角， 因为平面平面，又， 所以为二面角的平面角，即为，故D正确. 故选：D. 二、填空题 21．正三棱柱的各棱长均为2，E，F分别是AB，的中点，则EF的长是 ． 【答案】 【分析】证明线面垂直，转化到对应的直角三角形中，由勾股定理求解即可. 【详解】如图，取AC中点M，连接FM，，因为M，F，E分别为 AC，，AB的中点， 所以，又因为面ABC，，所以面ABC，因为面ABC， 所以，所以，在中，． 故答案为:. 22．如图，若正四棱柱底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的正弦值是 ． 【答案】 【分析】利用正四棱柱的性质及异面直线所成的角的定义即可求解. 【详解】如图所示，连接. 因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 在中，因为正四棱柱的底面边长为2，高为4， 所以，. 因为在正四棱柱中面，面， 所以，所以， 所以异面直线与所成角正弦值是. 故答案为：. 23.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________. 【答案】 【分析】根据已知条件推导出即为二面角的平面角，进而求解. 【详解】 设平面PAB与a交于O,连接 由题意可知，，， 所以，，，， 又因为， 所以面， 所以，， 所以即为二面角的平面角， 如图所示，， 所以， 则二面角的大小为. 故答案为; 三、解答题 24．如图：在三棱柱中，所有棱长均为4，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用直线与平面垂直证明平面与平面垂直，取的中点，连接，，证明平面，进而证明平面平面； （2）通过找二面角的平面角，求二面角的正弦值，过作于点，连接，此时即为二面角的平面角，解答即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 因为所有棱长均为4，且， 所以，， ， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，过作于点，连接，所以即为二面角的平面角，，，所以，所以, 即二面角的正弦值为. 25. 如图所示，四边形是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【分析】（1）连接，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得出平面，平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. （3）取的中点为，连接，并由面面垂直的性质得出平面，得出为直线与平面所成角，再由正弦函数的定义求出即可确定的大小. 【详解】（1）连接，是正方形，交于，为的中点， 又分别为的中点，在中，， 平面，平面，平面. （2）已知，，则， ，侧面底面，且平面平面， 平面，，平面， 平面，， ，且平面，平面， 面，平面平面. （3）取的中点，连接，由，得， 又侧面底面，平面平面， 平面，平面，， 直线与平面所成角等于与平面所成角， 则为与平面所成角， 在中，，则， 又，所以， 所以在，，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $