5.2 二次函数的图象与性质（第1课时二次函数y=ax²的图象和性质）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过回顾一次函数图象作法及性质，以描点法绘制y=x²图象为起点，逐步对比y=3x²、y=1/3x²等函数图象，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于采用观察发现与思考交流结合的探究式教学，引导学生自主归纳a对开口方向、大小的影响，如通过对比不同a值函数图象培养几何直观与推理意识。课堂小结系统梳理作图方法、图象要素及性质，助力学生形成知识结构，既提升学生数学探究能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富实例素材。

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.2二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2的图象与性质 学 习 目 标 1 2 3 经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。 会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a对二次函数图象的影响。能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 通过经历自主探究与合作交流的过程,体会学习函数要从图象和性质开始。 1.什么是二次函数？ 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫作二次函数,其中a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 思考 二次函数的特殊形式： y=ax2 y=ax2+bx y=ax2+c 知识回顾 2.一次函数y=kx+b(k≠0）的图象是什么图形？ 性质是什么? 怎么得来的？ 一次函数y=kx+b(k≠0）的图象是一条直线。 性质是：当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的减小而减小。 通过观察一次函数的图象发现了它的变化趋势与k的符号有关，进而归纳出了一次函数的性质。 知识回顾 一次函数y=kx+b(k≠0）的图象是一条直线,那么二次函数的图象是什么形状呢? 通常怎样画一个函数的图象？ 让我们从最简单的二次函数y=ax2（a≠0）开始研究。 列表 用描点法可以画出一个函数的图象，步骤是： 描点 连线 导入新知 用描点法画出二次函数y=x2 的图象。 ① 列表:写出x与y的几组对应值。 x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … … … 9 4 1 0 1 4 9 ② 描点:在平面直角坐标系中描出相应的点。 ③ 连线:将描出的各点用平滑的曲线顺次连接, 得到函数y=x2的图象。 能用直线连接吗？ 观察所画图象，你能说一说它的形状特征吗？ x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -2 6 观察函数y=x2的图象，有什么发现？ 二次函数y=x2的图象图像都是一条曲线，这条曲线叫做抛物线。 是轴对称图形,对称轴是y轴。 它的开口向上,有最低点， 最低点在是原点。 曲线开口向下 曲线开口向上 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -2 6 实际上, 二次函数的图象都是抛物线。 它们的开口向上或向下。 我们把二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0）的图象叫作抛物线y=ax2+bx+c。 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -2 6 对称轴与抛线的交点叫作抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. (1)在同一个平面直角坐标系中,用描点法或数学软件分别画出抛物线y=x2,y=3x2,y=x2它们有哪些共同特点? 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 ①这些抛物线的开口向上； ②对称轴都是y 轴； ③顶点都是原点, 顶点是抛物线的最低点； y = 3x2 y = x2 y =x2 观察抛物线y=x2,y=3x2,y=x2，你还有什么发现？ 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 ⑤在对称轴右侧, 抛物线从左到右上升。 当x<0时,y随x 的增大而减小; 当x>0时,y随x的增大而增大。 ④在对称轴左侧, 抛物线从左到右下降； y = 3x2 y = x2 y =x2 (2)在同一个平面直角坐标系中,用描点法或数学软件分别画出抛物线y=-x2,y=-3x2,y=-x2。它们有哪些共同特点? 4 x y O －2 2 2 4 - 4 －4 - 6 - 2 y =x2 y =-x2 y =-3x2 ①这些抛物线的开口向下； ②对称轴都是y 轴； ③顶点都是原点, 顶点是抛物线的最高点； (2)观察抛物线y=-x2,y=-3x2,y=-x2，你还有什么发现? 4 x y O －2 2 2 4 - 4 －4 - 6 - 2 y =x2 y =-x2 y =-3x2 ④在对称轴左侧, 抛物线从左到右上升； ⑤在对称轴右侧,抛 物线从左到右下降。 当x<0时,y随x 的增大而增大; 当x>0时,y随x的增大而减小。 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y =-x2 y = x2 观察抛物线y=x2,y=-x2,y=3x2,y=-3x2,y=x2，y=-x2， 它们有什么异同？ y = 3x2 y =-3x2 y =x2 y =x2 共同点： 1.这些函数图象都是抛物线； 2.图象都是轴对称图形， 对称轴都是y轴； 3.顶点相同，都是（0,0）。 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y =-x2 y = x2 观察抛物线y=x2,y=-x2,y=3x2,y=-3x2,y=x2，y=-x2， 它们有什么异同？ y = 3x2 y =-3x2 y =x2 y =x2 不共同点： 1.开口方向，开口大小不同； 2.顶点有时是最高点，有时是最低点； 3.增减性不同。 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y =-x2 y = x2 观察抛物线y=x2,y=-x2,y=3x2,y=-3x2,y=x2，y=-x2， 导致不同点的原因是什么？ y = 3x2 y =-3x2 y =x2 y =x2 导致不同点的原因是a决定的。 当a＞0时，开口_____，顶点是最 点； 当a＜0时，开口_____，顶点是最 点。 ︱a︱越大，抛物线的开口_____. ︱a︱相同，两条抛物线的形状相同，关于x轴对称。 【总结】a决定了抛物线y=ax2的开口方向和大小. 向上 向下 越小 低 高 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y =-x2 y = x2 (3)抛物线y=ax2(a≠0)有哪些性质? y = 3x2 y =-3x2 y =x2 y =x2 （1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴， 顶点是原点. （2）当a>0时，抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点; 当a<0时，抛物线的开口向下， 顶点是抛物线的最高点; 抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴,顶点是原点。 当a>0时,抛物线开口向上,顶点是最低点; 当a<0时,抛物线开口向下,顶点是最高点。 如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小; 当x>0时,y随x的增大而增大。 如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大; 当x>0时,y随x的增大而减小 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = ax2 y =ax2 抛物线y=ax2(a≠0)的性质： 例1.函数y=-3x2的图象是一条 线，开口向 ， 对称轴是 ，顶点是 ，顶点是图象最 点，表示函数在这点取得最 值； 函数y=x2的图象的开口方向 ，对称轴 ，顶点 ，顶点是图象最 点，表示函数在这点取得最 值。 抛物 下 y轴 （0，0） 高 大 上 y轴 （0，0） 低 小 典例讲解 1.分别说出抛物线y=-x2 和y=2x2 的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明顶点是图象的最高点还是最低点。 抛物线y=2x2 开口向上，对称轴是y轴， 顶点是(0, 0)，顶点是图象的最低点. 解:抛物线y=-x2 开口向下，对称轴是y轴， 顶点是(0, 0)，顶点是图象的最高点; 跟踪练习 例2.已知点A(-2,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)都在抛物 线y=2x2 上，比较y1、y2、y3的大小. 解：方法一:代入法： y1=2×（-2）2=8 y2=2×12=2 y3=2×32=18 ∴y2＜y1＜y3 典例讲解 例2.已知点A(-2,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)都在抛物 线y=2x2 上，比较y1、y2、y3的大小. 解：方法二:利用图象性质判断: 抛物线y=2x2 对称轴为y轴， a>0，开口向上； 计算各点到y轴的距离： A距离：2；B距离：1；C距离：3； 距离越远，函数值越大，. ∴y2＜y1＜y3 典例讲解 2.已知抛物线y=ax2经过点(1,-2)。 (1)求a的值,并画出图象; (2)当x在什么范围内取值时,y随x的增大而增大? 解:(1)将点(1,-2)代入抛物线解析式y=ax2 a×12=-2 解得 a=-2。 (2)该抛物线开口向下，对称轴为直线x=0 因此当x<0时，y随x的增大而增大。 抛物线的解析式为y=-2x2。图象如图 跟踪练习 例3、函数y=ax2与y=ax+a,则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是( )。 B 解析：根据a的符号判断抛物线y=ax2与一次函数的图像 y=ax+a特征，选项B的. 典例讲解 3.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1,m). (1)求a,m的值;(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大?(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴. 解:(1)二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m)，∴m=2×1-1=1.∴1=a×12，a=1. 即a，m的值分别为1，1. 跟踪练习 (2)由(1)知a=1，则二次函数的表达式为y=x2. ∴当x>0时，y随x的增大而增大。 (3)∵抛物线的表达式为y=x2， ∴该抛物线的顶点坐标为(0,0)， 对称轴是直线x=0(或y轴）。 跟踪练习 例4、如图，直线AB过x轴上的点A(2,0)，且与抛物线 y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为(1,1). (1)求直线和抛物线所表示的函数表达式。 (2)在抛物线上是否存在一点D，使得 S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由; 若存在，请求出点D的坐标。 解析：本题可通过待定系数法分别求解一次函数与二次函数的表达式，再结合坐标法表示三角形面积，利用面积相等的条件推导符合要求的点的坐标。 拓展延申 解：(1)设直线AB的表达式为y=kx+b， 把A(2,0)和B(1,1)分别代入y=kx+b得 2k+b=0 k+b=1 k=-1 b=2 解得 ∴直线AB的表达式为y=-x+2; ∵抛物线y=ax2过点B(1,1), ∴1=a×12，解得a=1, ∴抛物线的表达式为y=x2。 拓展延申 （2）由题意得 ∴C(-2,4) y=-x+2 y=x2 解得 x1=-1 y1=2 x2=-1 y2=2 ∴S△OBC=S△OAC-S△OAB =×2×4-×2×1=3. 拓展延申 设点D的坐标为（x, x2） ∵S△OAD=S△OBC=3 ∴×2 x2=3. ∴x=± 当x=时，y=()2=3，对应点 D(,3); 当x=-时，y=(-)2=3，对应点 D(-,3）. 拓展延申 1 .已知二次函数y=-3x²，下列说法正确的有哪些？ ① 图象开口向上； ② 对称轴是y轴； ③ 顶点坐标为(0,0)； ④ 当x>0时，y随x增大而减小； ⑤ 函数最小值为0. 解：已知a=-3<0，根据y=ax²性质分析： 1.a=-3<0，图象开口向下，①错误； 2. 所有y=ax²的对称轴均为y轴，②正确； 3. 所有y=ax²的顶点均为原点(0,0)，③正确； 4.a=-3<0时，x>0，y随x增大而减小，④正确；5.a=-3<0抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值0， 无最小值，⑤错误. 所以正确的是②③④. 当堂检测 2．已知点A(-3,y1）,B(-,y2),C(4,y3)三点都在抛物线 y=- x2 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（　　）. A． y3＜y2＜y1 B．y2 ＜y1 ＜y3 C． y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 解析：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下。 ，，， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，离对称轴越远函数值越小， ． B 当堂检测 3.已知函数y=(m-3)xm2-2m-6是关于x的二次函数。 (1)求满足条件的m的值。 (2)当m为何值时，它的图象有最低点?此时当x为何值时， y随x的增大而增大? (3)当m为何值时，它的图象有最高点?此时当x为何值时， y随x的增大而减小? 解：(1)根据二次函数的定义得到m-3≠0且m2-2m-6=2, 解得m=4或m=-2; 当堂检测 （2）当m=4时，函数为y=(4-3)x2=x2，开口向上， 对称轴为x=0(y轴)。根据抛物线的单调性: 当x>0时，y随x的增大而增大; 当x<0时，y随x的增大而减小。 因此，当m=4时，图象有最低点; 此时当 x>0时，y随x的增大而增大。 当堂检测 （3）当m=-2时，函数为y=(-2-3)x2=-5x2，开口向下， 对称轴为x=0(y轴)。根据抛物线的单调性: 当x>0时，y随x的增大而减小; 当x<0时，y随x的增大而增大。 因此，当m=-2时，图象有最高点; 此时当 x>0时，y随x的增大而减小。 当堂检测 (1)作图方法： 用列表、描点、光滑曲线连线三步法画y=ax²的抛物线图象 （2）图象要素： 抛物线y=ax²恒过原点，对称轴为y轴，顶点为(0,0)； （3）核心性质： a>0：开口向上，顶点最低，x<0减、x>0增，有最小值0； a<0：开口向下，顶点最高，x<0增、x>0减，有最大值0； （4）a的作用： 正负定开口方向，|a|大小定开口宽窄. 二次函数y=ax²的图象与性质： 课堂小结 漫谈抛物线 火炮发明之后,人们对炮弹发射后的飞行路线作出诸多猜想。在火炮发 射方看来,炮弹离开炮筒后似乎在空中划出了一条直线;在敌方看来,炮弹 似乎是从空中直着飞下来的。直到16世纪上半叶,很多欧洲学者还认为炮弹飞行的路线是 “三折线”:线段—圆弧—线段。 后来,意大利物理学家、天文学家伽利略(GalileoGalilei,1564—1642)更正了这些错误认识。他指出炮弹飞行的轨迹是一条曲线,就像物体被斜抛到 空中划过的曲线。伽利略把这种曲线称为 “抛物线”。如果将一束平行于抛物线对称轴的光线射入抛物线,经过抛物线反射后,这些光线将汇聚于一点F,点F叫作抛物线的焦点。反之, 在抛物线的焦点处安装一个点光源,经抛物线反射出的光线是平行光线。运 用这个原理,人们发明了 “锅状天线”、太阳能灶、探照灯等。 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $