第六十五讲 对称多项式 讲义-2026年高中数学竞赛

第六十五讲对称多项式 在前面关于多项式的讨论中，我们针对的都是一元多项式。数学竞赛中，还 常出现含有多个字母的多项式一一多元多项式。这一节，我们主要来讨论一类 特殊的多元多项式一一对称多项式的性质。 对称多项式的研究是群论产生的一个直接原因，而它本身的来源之一与应 用的一个重要方面，是关于一元多项式根的研究。 设多项式 P(x)=anx"+an-1x"-++a1x+do =anx-x1x-x2…x-Xn, 其中ao,a,x:∈C,i=1,2,…,n,an≠0，则方程Px=0的根与系数的关系为 01X1,X,,X=-021=X+X,++X, a。 02x,,,x小022=月 Xi Xiz' an 1si<isn 0x,X2,,x,=-10n-k= X,X2…Xi, an1si,<<<k≤n 0X,x,,x,-1r8=xX,-X, 根与系数的关系中，01X1,X2,…,Xn,021,X2,…,Xn,,0nx1,X2,…,xn是 对称地依赖于字母X,2,“,Xn的。它们是对称多项式中最简单的，被称为基本 对称多项式。 所谓对称多项式fx1,2,“,x是指满足下述条件的n元多项式：对任意 1,2,”,n的排列，2，，，均有 fx1,2,…,n=fx,X,…,x 关于对称多项式，有下面的 定理任意一个n元对称多项式fx,x2,…,x均可以表示为基本对称多 项式01,02，…，0n的多项式p01,02,…,0n,而且这种表示是唯一的。 这个定理的证明，这里我们不给出了，下面的例子给出了一个具体的表示方 法。 例1把三元对称多项式x+x2+x表示为01,02,03的多项式。 解为叙述方便，我们先介绍多元多项式的字典排列法。对于n元多项式的 两个单项式a行x专X灯和bXxX如果k1-1,k2-l,一，k,-n中第一个 不为零的数是正数，那么称单项式ax考X先于bxxX。将多元多项式 依此优先法则排列就称为它的字典排列。依此法排列后，第一个系数不为零的 单项式称为此多项式的首项。 由于x+x+x的首项是x,其指数排列为3,0,0，而0°oo=0, 作对称多项式 x3+x+x3-0=-3xx2+x3x1+…-6x1X2X3。 它的首项-3x为2的指数排列为2,1,0，此时01o=0102,故作多 项式 x+x+x-0+30102=-3xx2+xx1+…-6x1x2x3 +3x1x2+x2x1+…+9X1X2X3 =3X1X2X3=303 于是x+x2+x=0-30102+303。 说明上述求法也可这样进行，对比： 指数组相应单项式 3,0,0 oi (2,1,0) 0102 (1,1,1)03 依定理的结论应有 x+x2+x3=A0+B0102+C03, 其中A,B,C是待定系数。通过取x1,x2,x3=1,0,0,1,1,0,1,1,1可 定出A=1,B=-3,C=3,也可求得结果。 例2设a1,a2,03是方程5x3-6x2+7x-8=0的3个根。计算： (aj+ajaz+azaz+aza3+a3aj+ajag+a3]o 解体会上例之说明，我们先将所要计算的式子（可看作C1,c2,c3的对称多 项式)表示为01,02,03的多项式。对比： 指数组相应单项式 4,2,0 010 (4,1,1)0203 3,3,0)0 (3,2,1) 010203 (22,2)0 可设 I=(aj+ajaz+aa2+aza3+aaj+aja3+a3 =00+A003+B0+C010203+D0, 其中A,B,C,D待定。依次令(a1,c2,c3=1,-1,0,1,-1,1,2,-1,-1 ,1,1,1,可得 B=-1, C+D-A-B=2, -27B+4D=27, 27A+27B+9C+D=-54, 于是有A=-1,B=-1,C=0,D=0。故 I=0102-003-0。 =8。从而可算得，1=-302 625 说明指数组所列出的数组实际上是每一步后所得多项式的首项的指数排 列。由所列的定理，在每一步后，首项的指数依字典排列法是递降的。另外， 此法仅对齐次式有效。 例3已知x+y+Z=yz。求证： x1-y21-z2+y1-z21-x2+z1-x21-y2=4xyz。 证明先将左边变形， 左边=xy2z+x2yz2+xy2z2-x2y+x2z+xy+xz2 +y2z+zy2+x+y+z。 记左边=0203-fx,y,z+01,其中 01=x+y+Z,02=xy+yz+ZX,03=xyZ. 对于fx,y,z,考虑将它表示为01,02,03的多项式。对比： 指数组相应单项式 (2,1,0)0102 (1,1,1)03 可设fx,y,z=0102+A03。令x=y=z=1可得A=-3。于是 fx,y,z=0102-303 综上所述，应有 左边=0203-0102-303+01=0203-0302-303+03 =403=右边。 说明这里在将对称多项式表示为基本对称多项式的多项式时，我们是先将 原多项式分成几个齐次式，然后再讨论。在应用中应引起重视。 例4设x+y+z=0。证明： x+y+22 x+y't=x+y'+z 2 5 7 证明由于欲证等式中出现的3个多项式均为齐次对称式，用前面的方 法，结合01=0，可设 x2+y2+z=A02 x+y+z=B0203, x7+y+z=C0203 令x=-1,y=-1,z=2；可得02=-3,03=2。从而，有 A=-2,B=-5,C=7。于是 左边=A0.B0,g=00, 7003=右边。 25 7 所以命题成立。 一般地，记Sk=x+x++x。对称多项式Sk称为k次等幂和。关于等 幂和与基本对称多项式有下面的牛顿公式：当k≤n时， Sk-01Sk-1+…+-1k-0k-1S1+-1kk04=0; 当k>n时，Sk-01Sk-1t…+-1onSk-n=0 证明注意到 x-x1…x-xn=x0-01x0-1+…+-10n ① 上式中分别令=X1,…,Xm(左边均为零)，并求和，可得 Sn-01Sn-1+.+-1rn0n=0。 因此，牛顿公式对k=n成立。 当k>n时，将①式两边乘以x“”，同上处理，可知公式亦成立。 下面处理1≤k<n的情况，记fx=x-xx-xn,则（其中fx为 fx的导函数) fx-分1 fx台x-x 于是，有 k+1 fx台x-x台x-x台x-x: 所以，有 x+1fx=fx∑x+xx-1+…+x+gx, -1 ② 其申glX=fx2,故egg5n-1· ix-Xi 由@可知fx=nx1-n-1a,x2++-1n-101故②可变形为 x*nx-1-n-101x-2+…+-1n-1on-1 =fx∑x+xx-1++x+gx。 对比此式两边x”的系数（注意，dgg<n),就有（用到①式） -1n-k0k=Sk-01Sk-1+…+-1k-10k-1S1+-1n0k, 从而， Sk-01Sk-1+…+-1k-10k-1S1+-1k0k=0。 综上可知，牛顿公式成立。 这个公式的应用很有特点，我们通过几个例子来学习之。 例5设k,n∈N,,且k≤n。数a1,…,ak满足 a1+…+ak=n, a+…+a=n, a+…+a=n. 证明：对任意x∈C,均有 ① 证明利用牛顿公式来处理。 记01=∑a,0,= 240,0=0,-a,则对任意jk有 i=1 1si<j≤k S1-01Sj-1+…+-1-10j-1S1+-1j0,=0。 其中S=之a,1≤i≤k 由题给条件，有 n-01n+…+-1-1n0j-1+-1-j0,=0, 因此上1-+这里1k 下而用数学归纳法来证明：对1≤了≤k,均有0，份 事实上，设命题对1,2，…，j-1均成立（注意，条件中有01=n,故命题对 j=1成立)则 ,11---” y”2+-15-*-18 -9-200=2g-引 -Ψ2' 所以，命题对j成立。 综上可知，①成立，问题获解。 例6设c是一个常数。已知存在整数a0,a1,…,an和b0,b1,…,bn,满足： 对任意x∈R,均有 x-box-b1…x-bn-x-aojx-a1…x-an=c。 ① 证明：n!|c。 证明对比①式两边x的各次幂的系数，可知 bo+b1+…+bn=a+a1+…+an, 2bb, .aiaj 0≤i<jsn 0≤i<jsn bb,-b=乃aa,-04 bi 台a (-11bib2.bn=an ai+an, 从而，由牛顿公式，可得 -言 立-宫 6=2ag=n+1c 0 现在考察多项式 fx=x-1x-2-x-n+1j=x+1+d1x+…+dn+1 我们有 fb-b+db+…+dl i=0 i=0 op-in led.d i=0 d-aic =∑fla-ln+1c. 即有a+1c-立a-fb·而对在意x∈2，fx是n+1个连续整数 之积，故n+1!|fx。从而，有n!川c。