安徽六安市第一中学2026-2027学年高二上学期定时作业数学试卷（二）

六安一中2026年秋学期高二年级定时作业 数学试卷(二) 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.若向量a=(-1,V3)是直线1的一个方向向量,则1的倾斜角为() A.3 B.8 c.2 3 D. 6 2.过点A(1,4),且纵横截距的绝对值相等的直线共有() A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知两条不重合的直线:ax+2y-1=0和2:x+(a+1)y-1=0,a∈R,若4,2,则a的值为() A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 4.已知直线ax+y+c=0不经过第二象限,且ab<0,则() A.c>0 B.c<0 C.ac20 D.ac≤0 5.若点P( y在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2.0)为顶点的aABc的内部运动(包含边界),则-2 x-1 的取值范围是() A.时 B.( c.[& o.( 6,如图,两个正四棱锥组成的八面体EABCDF所有顶点都在同一个球面上,正方形ABCD边长 为4,AF=2AE,则从点A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为() A.85 E 5 B.45 5 C.86 3 D.46 3 1 二、多项选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. 7.下列说法不正确的是() A 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B.不经过原点的直线都可以用方程+名=1表示 C.“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”是“a=-1”的充分不必要条件 D.直线a0+y-0的倾斜角9的取值范国是0~[: 8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中,点M为cC,上的动点,O为正方体内一点, 则以下命题正确的是() A.B,M+DM取得最小值2√5 D B.当M为CC,中点时,平面BMD,截正方体所得的截面为平行四边形 C,四面体ABMD的外接球的表面积为10n时,CM=1 D.若A0=c0,A,0=2,则点O的轨迹长为√2n 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 9.已知>0,b>0,直线x+2y-3=0和 +(b-1)y+2=0垂直,则1+2的最小值为 10.在直线1:x+y-5=0上找一点p,使得点P(x,y)对A(1,0).B(3,0)的视角∠APB最大,此时P 点坐标为 四、解答题:本题共3小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 11.(本小题满分16分) 已知 ABC的顶点为A(2,4),B(7,-1),C(-61) (1)求过点c且平行于直线AB的直线方程; (2)求AB边上的中线cM所在直线方程; (3)求边AB上的高CD所在直线方程. 厂 / 12.(本小题满分16分) 已知 ABC的三个J顶点是A(2,3),B(1,2),C(4,-4) (1)若直线4过点C,且点A,B到直线1的距离相等,求直线4的方程; (2)若直线,过点A,且与 轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点,0为坐标原点,求三角形 OPQ面积取最小值时直线,的方程. 2 L 13.(本小题满分16分) 如图,在多面体ABCDPE中,平面PDCE⊥平面ABCD,四边形PDCE为矩形.四边形ABCD 中,AB1AD,ABCD,AB=AD=CD=1,PD=2,F为PA的中点. 2 (1)求证:平面PBD⊥平面ABCD; (2)求平面PBD与平面PDcE所成夹角的大小; (3)点Q在线段EF上,当BQ与平面P8c所成角的大小为时,求FQ的长, E B 2 厂 六安一中2026年秋学期高二年级定时作业 数学试卷(二) 参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C A ABC ABD 1.【答案】C设直线1的倾斜角为B0,n),由向量a=(-1,V3)是直线/的一个方向向量,故直线斜率 k=5=-5,则ang=-5,故g=2 -1 2.【答案】C当横、纵截距均为0时,直线过原点,满足条件,此时方程为y=4x当横、纵截距不为 0时,直线的截距式方程为 +兰=1,由题意知=以.当a=b时,方程为+兰=1,代入A(1,4), 得1+4=1,解得。=5,故方程为x+y-5=0当。=-b时,方程为 -上=1,代入4(1,4),得 月月 aa 1-纟=1,解得。=-3,故方程为x-y+3=0.故满足条件的直线共有3条。 3,A【详解]两直线:0x+2y-1=0,: +(a+y-1=0平行,则=,,9≠-,交叉相乘得 8(a+1)=2 a2+a-2=0一(8+2)(8-1)=0.故a=-2或日=1,但两直线不重合,需进一步检 验当日=1时,1: +2y-1=0,12:x+2y-1=0,两直线重合,不符合题意;当日=-2时, 1,:-2 +2y-1=0,2: -y-1=0,两直线不重合,且斜率相等,满足平行.因此a=-2.4.D由 题意可知a0,b生0且a6异号,将直线ar++c=0化斜截式,为y=一分x-片,直线的斜率 k=80,又因为直线不过第二象限,所以-分≤0,即bc20,又因为a,b异号,所以c≤0. 5.C【详解】二2的几何意义是点P(xy)与点M1,2)之间的斜率k,在平 -1 面直角坐标系中画出草图,观察可知,点P与点4重合时,斜率 -1 化品,点与点亚合时,解率1,所以产的 4-32C1o12 X-1 取植范需是[仔 6.A【详解】由对称性可知八面体外接球直径为EF,则AE1AF,设EF与平面ABCD交于点O, 则A0=Y5AB=2N反,又EF1A0,所以an∠EA0=tan∠EFA=2 E0=A0=V反,可得4E=√A02+OE=0,由正四棱锥的性质得 BE=√0,在等腰 ABE中,底边AB上的高为√0-2'=√6,所以 sn∠AEB=2x。x治-2,故BE边上的高为AEsn乙AE8三h行 X 5 ,从点 A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为2 4正_9 5 5 7,ABC【详解】对于A,当直线垂直于 轴时,直线斜率不存在,故A错误;对于B,当不经过原点 3 的直线垂直于任意一条坐标轴时,a,b其中一个不存在,故B错误;对于C,由直线a2x-y+1=0与 直线 -ay-2=0互相垂直,则a21+(-1)(-)=0,解得a=-1或0,所 B O 以“直线a2x-y+1=0与直线 -y-2=0互相垂直”是“a=-1”的不充分 条件;当a=-1时,易知直线a2x-y+1=0与直线 -ay-2=0互相垂直, 所以“直线a2x-y+1=0与直线 -y-2=0互相垂直”是“a=-1”的必要 C 条件;故C错误;对于D,由xsin a+y+2=0,则其斜率为sina∈[-1,1), 设其饭角为,则n9e.解得6e引[要小,故D正海:改选A8c 8.ABD【详解】对于A,如图,将平面BB,C,C沿C,C翻折到与平面DD,C,C为同一平面,则 B,M+DM≥B,D=V42+22=2V5,当D,M,B,三点共线时,等号成立,故A正确;对于B,如图, 设N是A,A的中点,连接D,N,NB,因为正方体的棱长为2,且M,N分别为 CC,AA的中点,所以NB=BM=MD,=D,N=V5,且D,M11BN,D,N11BM, 所以四边形NBMD,是菱形,所以平面BMD,就是平面NBMD,,此截面是平行四 边形,故B正确;对于C,由题意得4 R2=10n,则4R2=10,因为CM,AD,AB 两两垂直,所以四面体ABMD的外接球的直径 2R=VCM2+CD2+CB2=VCM2+8,所以cM2+8=10,解得cM=√2,故C 错误;对于D,如图,由A0=C0,所以点0在AC的中垂面D,DB8,上,设B,D, 的中点为H,则A,H=√2,因为DD,⊥平面AB,C,D,AHC平面AB,C,D,所 以AH1DD,,又因为A,H1B,D,B,D,∩DD,=D,B,D,C平面D,DB8,D,DC 平面D,DB8,所以AH1平面0,D88,则oH=√A02-AH=V2-(√2)'=V反,所 以点O在以H为圆心,半径为√2的半圆上运动,点O的轨迹长为√2 ,故D正 确. 9?/45详解由直线ax+2y-3=0和 +b-y+2=0垂直,得a+2b-=0,即a+2b=2 而a>0.b>0,则二+2=a+22+3)=5+29+22)≥15+2 8b2 8b28b 他.20)=号,当且仅当 Va b a=b=2时取等号,所以1+2的最小值为。 a b 10.P(3,2)【详解】如图所示,点P( ,y)在直线: +y-5=0上,所以点P(x,5-x), 由图可知当5时,an6PAB=,-nDP8A=n: X-1 3-x ,所以 X-5+X-5 n8e-248+6084=,是7-年,令x-5=tt>0),则 x-5 x-13-x tan DAPB = 、1 +316,兰3,可知t+兰≥4,当且仅当=兰,即=2时取等号,所以 、4 tan∠AP8≤),当x=5时,∠APB=0,当x<5,X1X3时可 tanDPAB=k-x-5t tanD PBA=-ka2X.3,所以 1-X 3 N *-5+-5 an∠AP8=-tan(∠PAB+∠PBA)=-1-XX-3 5-x 1-X-5.*-5-7x+14, 令5-x=t(t>0,t≠4,t≠2),则 1-xx-3 1 m48=7-3r*6+一3,可知+24,当且仅当=兰,即=2时取等号,因为:2,所 t 以0<tanDAPB<1,当=2时,即x=3时,P(3,2,A1,0),B(3,0),此8时tanDPAB=3-5=1,即 1-3 =,因为ZPBA:,所拟DAP8=片,即anDAP9=1,所以视角∠A 4 244 点P(3,2). 11.(1)x+y+5=0 (2) -21y+27=0 (3)x-y+7=0 【详解】 (1)直线AB的斜率为,=-1,设平行于直线AB的直线方程为y=-x+m,将c(-6,1)代入得 7-2 m=5,故过点c且平行于直线AB的直线方程为 +y+5=0; (2)线段AB的中点M(?3) 、13 2'2,则k“子,则AB边上的中线cM所在直线方程为 2 y-1=(x+61,即x-21y+27=0; 21 (3)因为直线AB的斜率为-1,所以直线cD的斜率为1,所以边AB上的高cD所在直线方程为 y-1=x+6,即x-y+7=0, 12.【答案】(1) -y-8=0或13 +5y-32=0(2)3x+2y-12=0 (1)因为点A,B到直线,的距离相等,所以直线,与AB平行或通过AB的中点,①当直线1,与AB平 行,因为k如=9-名=1=k,且4过点c,所以4方程为y+4=X-4,即x-y-8=0;②当直线 2-1 -4-5 (通过48的中点 (侵》 所。号号所议的方理为-片,即 2 13x+5y-32=0.综上:直线,的方程为 -y-8=0或13x+5y-32=0 (2)由题意设P(a,0),Q(0,b),其中a,b为正数,可设直线,的方程为 +兰=1,因为直线,过点4(2,3), a b 所以子+9=1,由基本不等式可得1=+3之2,至-25 ,所以√b≥26,b≥24,当且仅 a b a b a b√ab 23=1 一十 当 a b 8=4 即{ 时,ab取得最小值24,所以90PQ面积S=二ab212,所以当a=4.b=6 23 b=6 2 a b 时,?0PQ面积最小,此时直线,的方程为+兰=1,即3x+2y-12=0. 46 13. (1)由四边形PDCE为矩形,得PD⊥CD,而平面PDcE⊥平面ABCD,平 面PDCE∩平面ABCD=CD,PDC平面PDCE,则PD⊥平面ABCD,又PDc平面PBD,所以 平面PBD⊥平面ABCD. (2)由AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,得直线DA,DC,DP两两垂直,以D为原点,直线DA,DC,DP分 别为 ,y,z轴建立空间直角坐标系, 则D0.0o.41,0.0.P0.0,E.B1.1,0.c0.20.E0.2,2.F0.y5, 2 DB=(1,1,0),DP=(0,0,√2),BC=(-1,1,0),则DB.BC=0,DP.BC=0,因此8c=(-1.1,0)是平面 PBD的一个法向量,而DA=(1,0,0)是平面PDCE的一个法向量,设平面PBD与平面PDCE的 夹角为8则66oc.D网=方,解得8=兰,所以平面P90与平面P0C 4 的夹角大小为 (3)由(2)得F正=号2.,由点0在线段EF上,FQ=FE.4e0,1,即F0=礼-12,5 2 则点Q2-14215+5力,而Pc=0.2-2,设平面P8c的法向量为m=(a.66,则 22 22 8C9+00取6=1,得m=1N2,而0=(巴21-12力,直线90一 22 2 2 平面Pc所成角的大小为,因此nco90m9gnl1- 2 一-1,解得 1BQlm1Vh9-10入+72 才1,即点0与点重合,所西州E=空+号:-罗