11.3 整式的除法 优等生讲义(知识梳理+典例+练习)2026-2027学年新沪教版（五四制）七年级数学上册

本讲义聚焦整式的除法核心知识点，系统梳理同底数幂的除法法则及逆用，单项式除以单项式的系数与幂运算，多项式除以单项式的逐项相除方法，以及多项式除以多项式的长除法步骤，形成从基础到综合的递进式学习支架。 资料通过思维导图总览课程内容，知识总结表清晰呈现核心概念与注意事项，典型例题结合长方形面积计算等实际情境培养模型意识，长除法类比多位数除法提升抽象能力，分层练习强化运算能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生复习巩固，查漏补缺。

专题11.3 整式的除法（知识精讲+典例+练习） 优等生讲义 7年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握同底数幂的除法法则，能熟练进行同底数幂的除法运算。 · 掌握单项式除以单项式的法则，能准确计算。 · 掌握多项式除以单项式的法则，能正确进行整式除法运算。 · 理解整式除法与乘法之间的关系，能解决相关的逆运算问题。 · 能运用长除法解决多项式除以多项式的综合问题，体会类比思想。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n 为正整数，且 m>n）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ。 · 注意：a⁰ = 1（a≠0）。 ※ 典型例题 1 ※ 典型例题 1 计算 (-a)4·a3÷(-a2)。 解析：(-a)4=a4，所以原式=a4·a3÷(-a2)=a7÷(-a2)=-a5。 ☆ 2. 单项式除以单项式 法则：系数相除，同底数幂相除，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍为单项式（当被除式能被除式整除时）。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−2a²b³)² ÷ 4a³b² 的结果是（  ） 解析：先算积的乘方：(−2a²b³)² = 4a⁴b⁶，再除以 4a³b² 得 ab⁴。 答案：ab⁴ ☆ 3. 多项式除以单项式 法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。即 (ma+mb+mc)÷m = a+b+c。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 3 题目：一个长方形的面积是 8a³−6a²+2a，若它的长是 2a，则它的宽是（  ） A. 8a²−6a+2   B. 4a³−3a²+a   C. 4a²−3a   D. 4a²−3a+1 解析：宽 = 面积 ÷ 长 =  答案：D ☆ 4. 多项式除以多项式（长除法） 方法：把被除式和除式按同一字母降幂排列，缺项用0补齐；仿照多位数竖式除法计算；当余式次数低于除式次数时停止。关系：被除式=除式×商+余式。 典型例题：计算。 解析：用竖式长除法： 因此，商式是余式是13. ☑ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同底数幂的除法 am÷an=am-n（a≠0，m>n） 底数不变，指数相减；注意符号与指数范围 单项式除以单项式 系数相除，同底数幂相除，独有字母连同指数保留 先定符号，再算系数，最后算字母指数 多项式除以单项式 逐项分别除以单项式，再把商相加 不要漏项，注意负号和分数系数 多项式除以多项式 竖式长除法，被除式=除式×商+余式 按降幂排列，缺项补0，余式次数低于除式次数 实际应用 面积÷边长=另一边；程序输出逆推 先列代数式，再转化为整式除法 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的除法（第1-8题） · 直接用法则：底数不变，指数相减。 · 逆用：xm-n=xm÷xn，xa+b=xa·xb。 · 混合运算先算乘方，再算乘除。 · 新定义题转化为幂的运算。 1．（2025秋•宝山区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（﹣a）8÷（﹣a）3＝a5 C．（2x3）3＝6x9 D．（﹣y3）2＝y6 【分析】利用幂的有关运算性质进行运算后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、x2+x3，不能进一步运算，不符合题意； B、（﹣a）8÷（﹣a）3＝﹣a5，不符合题意； C、（2x3）3＝8x9，不符合题意； D、（﹣y3）2＝y6，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了幂的运算性质，解题的关键是了解同底数幂的乘除法、幂的乘方及积的乘方的知识，比较简单． 2．（2026春•青浦区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．（m3）4＝m7 B．m4•m4＝m16 C．m6÷m2＝m4 D．（﹣2mn2）3＝8m3n6 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：A、（m3）4＝m12，故该项不正确，不符合题意； B、m4•m4＝m8，故该项不正确，不符合题意； C、m6÷m2＝m4，故该项正确，符合题意； D、（﹣2mn2）3＝﹣8m3n6，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2025秋•闵行区期末）已知xm＝3，xn＝6，则xm﹣n的值为　　 ． 【分析】先逆用同底数幂的除法运算法则，即xm﹣n＝xm÷xn，再代入计算即可． 【解答】解：∵xm＝3，xn＝6， ∴原式＝xm÷xn＝3÷6， ∴xm﹣n的值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键． 4．（2025秋•浦东新区期末）如果xa＝5，xb＝3，那么x3b﹣2a＝　　 ． 【分析】由已知得x2a＝25，x3b＝27，根据x3b﹣2a＝x3b÷x2a即可求解． 【解答】解：∵xa＝5，xb＝3， ∴x2a＝（xa）2＝25，x3b＝（xb）3＝27， ∴x3b﹣2a＝x3b÷x2a＝27÷25． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（2025秋•徐汇区校级期末）计算：（﹣a）4•a3÷（﹣a2）＝ 　﹣a5 ． 【分析】根据同底数幂的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝a4•a3÷（﹣a2） ＝a7÷（﹣a2） ＝﹣a5． 故答案为：﹣a5． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（2025秋•徐汇区校级期中）已知2a÷22b＝16，则a﹣2b的值是　4　 ． 【分析】根据同底数幂除法的计算方法以及幂的乘方将原式化为2a﹣2b＝24即可． 【解答】解：∵2a÷22b＝16，即2a﹣2b＝24， ∴a﹣2b＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂除法的计算方法以及幂的乘方是正确解答的关键． 7．（2025秋•浦东新区校级期中）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16． （1）求3a+b的值； （2）求32a﹣c的值． 【分析】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可； （2）利用同底数幂除法法则，幂的乘方与积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）∵3a＝4，3b＝10， ∴3a+b ＝3a•3b ＝4×10 ＝40； （2）∵3a＝4，3c＝16， ∴32a﹣c ＝（3a）2÷3c ＝42÷16 ＝1． 【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（2024秋•普陀区校级月考）请阅读材料，并解决问题，如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝　1　 ，d（10﹣2）＝　﹣2　 ； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），； （2）根据运算性质，填空：　3　 ．（a为正数） （3）若d（2）＝0.3010，分别计算d（4），d（5）． 【分析】（1）根据新定义将d（10），d（10﹣2）转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将d（a3）用d（a）表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据d（4）＝d（2×2），代入求解即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意可知10b＝10， ∴b＝1 ∴d（10）＝1， ∵10b＝10﹣2， ∴b＝﹣2， d（10﹣2）＝﹣2， 故答案为：1，﹣2； （2）∵d（mn）＝d（m）+d（n）， ∴d（a3）＝d（a）+d（a）+d（a）＝3d（a）， ∴， 故答案为：3； （3）∵d（mn）＝d（m）+d（n），d（2）＝0.3010， ∴d（4）＝d（2×2）＝0.3010+0.3010＝0.6020， ∵，d（2）＝0.3010， ∴． 【点评】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： 【考点2】单项式除以单项式（第9-19题） · 系数相除作为商的系数。 · 同底数幂分别相除，指数相减。 · 只在被除式中出现的字母连同指数作为商的一个因式。 · 可用“被除式=除式×商”检验。 9．（2025•普陀区二模）下列各式计算结果等于a2b的是（　　） A．a•ab B．a3÷ab C．a2b﹣2a2b D．2a2b﹣ab2 【分析】利用整式的除法及单项式乘单项式法则，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【解答】解：a•ab＝a2b，则A符合题意， a3÷ab，则B不符合题意， a2b﹣2a2b＝﹣a2b，则C不符合题意， 2a2b与ab2无法合并，则D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查整式的除法及单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（2026•嘉定区）下列运算中，结果正确的是（　　） A．a+2a2＝2a3 B．（a2）3＝a5 C．（a2b）2＝a4b2 D．a4b2÷ab2＝a3b 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式除以单项式法则计算判断即可． 【解答】解：A、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意； C、（a2b）2＝a4b2，故此选项符合题意； D、a4b2÷ab2＝a3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了整式的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．（2025秋•松江区校级月考）已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【分析】根据被除式、除式、商之间的关系列出式子6x4y3÷2xy2，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：由题意得，6x4y3÷2xy2＝3x3y， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2025秋•虹口区校级月考）长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　） A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1 【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：由题意得： （2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1， ∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 13．（2025秋•普陀区校级月考）M是一个多项式，且Mx，则M等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据整式的除法和乘法法则计算即可． 【解答】解：M＝（﹣2x2y4x）•x2y x4y5x3y． 故选：D． 【点评】本题考查整式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 14．（2026春•青浦区校级期末）计算：（﹣18x3y2+12x2y3）÷（﹣3x2y2）＝　6x﹣4y ． 【分析】运用分配律将多项式的每一项分别除以单项式，再根据有理数除法和同底数幂的除法法则计算． 【解答】解：（﹣18x3y2+12x2y3）÷（﹣3x2y2） ＝﹣18x3y2÷（﹣3x2y2）+12x2y3÷（﹣3x2y2） ＝6x﹣4y， 故答案为：6x﹣4y． 【点评】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是关键． 15．（2024秋•徐汇区校级期中）已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得x，则B+A＝　2x2+3x ． 【分析】根据题意表示出B，即可确定出B+A． 【解答】解：根据题意得：2x（x）+2x＝2x2+x+2x＝2x2+3x， 故答案为：2x2+3x． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（2025秋•奉贤区期末）已知长方形面积为6y4﹣3x2y3+xy2，它的一边长为3y2，则这个长方形另外一边长为　　 ． 【分析】因为长方形的面积＝长×宽，所以宽＝长方形的面积÷长，再根据多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，求出商即可． 【解答】解：因为长方形的面积为6y4﹣3x2y3+xy2， 一边长为3y2， 所以它的另一边长为： （6y4﹣3x2y3+xy2）÷3y2 ＝6y4÷3y2﹣3x2y3÷3y2+xy2÷3y2 ＝2y2﹣x2y． 答：这个长方形另外一边长为2y2﹣x2y． 故答案为：2y2﹣x2y． 【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是按照整式除法的计算法则计算． 17．（2025秋•金山区期末）计算： 　6a2﹣3ax+9　 ． 【分析】根据多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝2a3x2ax2﹣a2x3ax2+3ax2ax2 ＝6a2﹣3ax+9， 故答案为：6a2﹣3ax+9． 【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（2025秋•奉贤区期末）计算：（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷（3x）． 【分析】直接利用整式的乘除运算法则化简，再合并同类项得出答案． 【解答】解：原式＝x2﹣3xy+2y2﹣x2+2xy ＝﹣xy+2y2． 【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 19．（2025春•同步）计算： （1）6a2b÷（﹣2ab）； （2）﹣10x3y3÷6xy2； （3）﹣21x3y4z÷（﹣7x3y3）； （4）﹣42a7b3÷（﹣6a2b3）． 【分析】各小题直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）6a2b÷（﹣2ab）＝﹣3a； （2）﹣10x3y3÷6xy2x2y； （3）﹣21x3y4z÷（﹣7x3y3）＝3yz； （4）﹣42a7b3÷（﹣6a2b3）＝7a5． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【考点3】整式除以单项式（第20-33题） · 多项式除以单项式：逐项相除后相加。 · 注意符号，尤其是负号和分数系数。 · 面积、高、宽问题转化为除法。 · 先化简再代入求值。 20．（2024秋•普陀区期中）已知（xn+a+xn+b）÷xn+1＝x2+x3，其中n是正整数，那么a+b的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】根据题意，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．求出a﹣1＝2，b﹣1＝3，解出a、b，再求和即可． 【解答】解：（xn+a+xn+b）÷xn+1 ＝xn+a÷xn+1+xn+b÷xn+1 ＝xa﹣1+xb﹣1， 即xa﹣1+xb﹣1＝x2+x3， 所以a﹣1＝2，b﹣1＝3， 所以a＝3，b＝4， 所以a+b＝7． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是按照整式除法的计算法则计算． 21．（2024•上海模拟）已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c＝（　　） A．12 B．13 C．14 D．19 【分析】根据商乘以除数等于被除数列出关系式，整理后利用多项式相等的条件确定出a，b，c的值，即可求出a﹣b+c的值． 【解答】解：依题意，得（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）＝5x（2x+1）， ∴（17﹣a）x2+（﹣3﹣b）x+（4﹣c）＝10x2+5x， ∴17﹣a＝10，﹣3﹣b＝5，4﹣c＝0， 解得：a＝7，b＝﹣8，c＝4， 则a﹣b+c＝7+8+4＝19． 故选：D． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（2025秋•衡阳期末）已知长方形的面积为6a2﹣9ab+3a，如果它的一边长为3a，则它的另一边长为（　　） A．3a﹣6b B．2a﹣3b C．3a﹣6b+1 D．2a﹣3b+1 【分析】根据长方形面积公式列出（6a2﹣9ab+3a）÷3a，然后根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：根据题意得（6a2﹣9ab+3a）÷3a ＝6a2÷3a﹣9ab÷3a+3a÷3a ＝2a﹣3b+1， 即它的另一边长为2a﹣3b+1， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 23．（2025秋•鲤城区校级期末）计算（12x4y2+3x3y）÷3x3y的结果是（　　） A．4xy+1 B．4xy C．4x2y+3 D．4x3y+3x3y 【分析】直接计算多项式除以单项式即可． 【解答】解：直接计算多项式除以单项式可得： （12x4y2+3x3y）÷3x3y＝4xy+1， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法．熟练掌握运算法则是关键． 24．（2026•常宁市校级开学）已知△ABC的面积为6m4﹣3m3+m2，一边长为3m2，则这条边上的高为 　4m2﹣2m　 ． 【分析】根据三角形的面积公式可得：2（6m4﹣3m3+m2）÷3m2，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：2（6m4﹣3m3+m2）÷3m2 ＝（12m4﹣6m3+2m2）÷3m2 ＝4m2﹣2m， ∴这条边上的高为4m2﹣2m， 故答案为：4m2﹣2m． 【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25．（2025秋•宝山区期末）计算：（3x2y2﹣12x3y4）÷2xy2＝　　 ． 【分析】多项式除以单项式，等于将多项式的每一项分别除以单项式，再将结果相加即可． 【解答】解：原式＝3x2y2÷2xy2﹣12x3y4÷2xy2 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式除以单项式，计算单项式除以单项式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知一个矩形的面积为12ab3﹣27ab，若一边长为3a，则另一边长为　4b3﹣9b ． 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵长方形的面积为12ab3﹣27ab，一边长为3a， ∴另一边长为：（12ab3﹣27ab）÷3a＝4b3﹣9b． 故答案为：4b3﹣9b． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 27．（2025秋•浦东新区期末）计算：（6a3b2﹣9a2b3）÷3a2b2＝　2a﹣3b ． 【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：（6a3b2﹣9a2b3）÷3a2b2 ＝6a3b2÷3a2b2﹣9a2b3÷3a2b2 ＝2a﹣3b， 故答案为：2a﹣3b． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 28．（2025秋•崇明区校级期中）如图是一个运算程序，若输入的m为9a2﹣3ab，输出的x为﹣3a，则p为　﹣2a2﹣3a+b ． 【分析】根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵m＝9a2﹣3ab，x＝﹣3a， ∴根据运算程序可得，p＝（9a2﹣3ab+6a3）÷（﹣3a）＝﹣2a2﹣3a+b． 故答案为：﹣2a2﹣3a+b． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 29．（2025秋•杨浦区校级期中）计算：（﹣18x4y5+12x5y7﹣27x3y3）÷（﹣3xy）3＝　　 ． 【分析】先计算除数（﹣3xy）3的值，然后将多项式中的每一项分别除以该除数，利用同底数幂的除法法则和有理数运算进行化简即可得到答案． 【解答】解：原式＝（﹣18x4y5+12x5y7﹣27x3y3）÷（﹣27x3y3） ． 故答案为：． 【点评】本题考查整式的化简，熟练掌握同底数幂的除法和积的乘方是解题的关键． 30．（2024秋•黄浦区期中）计算：2x2y3（3x2﹣2xy+3y2）÷（﹣3x2y2）． 【分析】先根据单项式乘多项式法则和同底数幂相乘法则计算乘法，再根据多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则计算除法即可． 【解答】解：原式＝（6x4y3﹣4x3y4+6x2y5）÷（﹣3x2y2） ＝6x4y3÷（﹣3x2y2）+4x3y4÷3x2y2﹣6x2y5÷3x2y2 ． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则、同底数幂相乘法则、多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 31．（2025秋•虹口区期中）计算：． 【分析】直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【解答】解：原式＝﹣8x2y+6xy+xy4． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 32．（2025秋•虹口区校级月考）（1）若（x2+nx+3）（x2﹣3x）的结果中不含x2项，求n的值； （2）已知单项式A＝2x，B是多项式，小明计算B+A时，看成了B÷A，结果得，求正确的结果． 【分析】（1）先计算原式得结果为x4+（n﹣3）x3+（3﹣3n）x2﹣9x，根据结果中不含x2项可得关于n的方程，解之即可； （2）先根据B＝A•2x得出B，再计算B+A即可． 【解答】解：（1）原式＝x4﹣3x3+nx3﹣3nx2+3x2﹣9x ＝x4+（n﹣3）x3+（3﹣3n）x2﹣9x， 因为结果中不含x2项， ∴3﹣3n＝0， 解得n＝1； （2）由题意知，B＝（x2x）•2x＝2x3+x2， 则B+A＝2x3+x2+2x． 【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的除法和加减． 33．（2024秋•徐汇区校级期中）先化简，再求值：（3an+2+9an+1﹣an）÷（﹣6an），其中a＝﹣2（n为正整数）． 【分析】先利用多项式除以单项式法则进行化简，再将a的值代入求出答案即可． 【解答】解：（3an+2+9an+1﹣an）÷（﹣6an） a2a， 当a＝﹣2时，原式（﹣2）21． 【点评】本题考查了整式的除法，牢记法则是解题的关键． 【考点4】长除法（多项式除以多项式）（第34-37题） · 被除式、除式按同一字母降幂排列，缺项补0。 · 用竖式逐项相除，商式各项对齐。 · 余式次数低于除式次数时停止。 · 关系：被除式=除式×商+余式；余式为0则可整除。 34．（2025秋•闵行区期末）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知（x+2）（2x+1）＝①_____，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝②_____，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（x2+9x+20）÷（x+4），可仿照2835÷27用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①　2x2+5x+2　 ，②x+2　 ． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①（x2+2x+1）÷（x+1）＝x+1　 ； ②（2x2+3x+1）÷（x+1）＝　2x+1　 ． （3）任务三：若（2x3+8x2+8x﹣m）÷（2x+6）的商为整式，求m的值和商式（请列出竖式并回答）． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则得（x+2）（2x+1）＝2x2+5x+2，则2x2+5x+2＝（x+2）（2x+1），即可作答． （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可； （3）模仿题干的竖式计算过程作答即可． 【解答】解：（1）（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2； （2x2+5x+2）÷（2x+1）＝x+2， 故答案为：2x2+5x+2；x+2； （2）①如图所示： ∴（x2+2x+1）÷（x+1）＝x+1； 故答案为：x+1； ②如图所示： ∴（2x2+3x+1）÷（x+1）＝2x+1， 故答案为：2x+1； （3）如图所示： ∵（2x3+8x2+8x﹣m）÷（2x+6）的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴﹣m＝6，即m＝﹣6， ∴此时（2x3+8x2+8x+6）÷（2x+6）＝x2+x+1． 【点评】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 35．（2026春•同步）阅读材料： 类比于两数相除可以用竖式计算，多项式除以多项式也可以用竖式计算，其步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用0补齐）； ②用竖式进行计算； ③当余式的次数低于除式的次数时，计算终止，得到商式和余式． 如：求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式． 解： 则商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）（2x2﹣x﹣3）÷（x+1）＝　2x﹣3　 ； （2）求（6x5﹣9x4+7x2﹣20x+3）÷（2x2﹣x﹣5）的商式和余式． 【分析】（1）先利用因式分解，再利用拆项法即可求得结果； （2）根据例题的步骤，运用整式的除法法则即可计算出结果． 【解答】解：（1）（2x2﹣x﹣3）÷（x+1）＝2x﹣3； 故答案为：2x﹣3； （2）（6x5﹣9x4+7x2﹣20x+3）÷（2x2﹣x﹣5）所列竖式如下： ∴3x5﹣5x4+x2+2除以x2+3的商式为：3x3﹣3x2+6x﹣1，余式为：9x﹣2． 【点评】本题主要考查的是因式分解的应用和整式的除法，根据题目中给出的信息进行列式计算是解题的关键． 36．（2024秋•石城县期末）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算， 例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式3x2+5x﹣7除以x+2商式为　3x﹣1　 ，余式为　﹣5　 ； （3）多项式4x3+8x2﹣3x﹣9的一个因式是x﹣1，则该多项式因式分解的结果为　（x﹣1）（2x+3）2 ． 【分析】（1）（2）模仿例题，可用竖式计算即可； （3）根据题意，利用竖式计算得出另一个因式，即可得出答案． 【解答】解：（1）竖式表示为： 故答案为：2，﹣10x3﹣5x2； （2）多项式3x2+5x﹣7除以x+2，用竖式表示为： ∴商式为3x﹣1，余式为﹣5． 故答案为：3x﹣1，﹣5； （3）∵多项式4x3+8x2+3x﹣9的一个因式为x﹣1， ∴另一个因式为：（4x3+8x﹣3x﹣9）÷（x﹣1） ＝4x2+12x+9 ＝（2x+3）2， ∴该多项式因式分解的结果为：（x﹣1）（2x+3）2． 故答案为：（x﹣1）（2x+3）2． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握被除式＝除式×商式+余式是解题的关键． 37．（2025春•秦都区校级月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以2x2的商为3x+4，余式为x﹣1，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数＝除数×商+余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商+余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式A； （2）小明继续探索，已知关于x的多项式6x2+mx+n除以（2x+1）的商为（3x﹣4），余式为2x，请你根据以上法则，分别求出m、n的值． 【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可． 【解答】解：（1）A＝（3x+4）（2x2）+x﹣1＝6x3+8x2+x﹣1； （2）根据题意得，6x2+mx+n ＝（2x+1）•（3x﹣4）+2x ＝6x2﹣3x﹣4， 所以m＝﹣3，n＝﹣4． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 熟记四条法则：同底数幂除法、单项式除法、多项式除以单项式、竖式长除法。 计算时先定符号，再算系数，最后算字母指数，避免漏项。 遇到幂的逆用，把目标式拆成已知幂的乘除形式。 长除法必须按降幂排列，缺项补0，余式次数低于除式次数。 面积、程序、整除问题先列代数式，再转化为整式除法。 【作业1】（2026春•浦东新区校级月考）下列计算正确的是（　　） A．x+x＝2x2 B．x5÷x2＝x3 C．x2•x3＝x6 D．（xy2）4＝x4y6 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的运算法则进行判断． 【解答】解：A、x+x＝2x，选项计算错误不符合题意； B、x5÷x2＝x3，选项计算正确，符合题意； C、x2•x3＝x2+3＝x5，选项计算错误，不符合题意； D、（xy2）4＝x4y2×4＝x4y8，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键． 【作业2】（2024秋•奉贤区期中）已知7a3bm÷14anb2b2，那么m、n的取值依次为（　　） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【分析】先根据单项式除以单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值． 【解答】解：∵7a3bm÷14anb2a3﹣nbm﹣2， ∴3﹣n＝0，m﹣2＝2， 解得：m＝4，n＝3． 故选：B． 【点评】本题主要考查整式的除法，单项式除以单项式的法则：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．其中根据相同字母的次数相同列出方程是解题的关键． 【作业3】（2026春•福田区校级期中）一道除法运算题：（21x4y3﹣□+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝□+5xy﹣y，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（　　） A．35x2y2，﹣3x2y2 B．﹣35x3y2，3x2y2 C．﹣35x2y2，﹣3x3y2 D．35x3y2，﹣3x2y2 【分析】利用多项式除以单项式法则与乘除互逆关系，即可计算出两处被污染的项． 【解答】解：设被除式中被污染的项为A， ∵商的第二项为5xy，且 （﹣A）÷（﹣7x2y）＝5xy， ∴﹣A＝5xy•（﹣7x2y）＝﹣35x3y2， ∴A＝35x3y2； 因此两处被污染的内容依次为35x3y2和﹣3x2y2． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式除以单项式法则与乘除互逆关系，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业4】（2026春•通川区校级期末）计算（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy的结果为（　　） A．3x﹣2xy+1 B．3xy﹣2y+1 C．3x﹣2y+1 D．3x﹣2y 【分析】利用整式的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy ＝9x2y÷3xy﹣6xy2÷3xy+3xy÷3xy ＝3x﹣2y+1． 故选：C． 【点评】本题主要考查整式，解答的关键是运算法则的掌握． 【作业5】（2025秋•奉贤区期末）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为　12　 ． 【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可． 【解答】解：x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝36÷3＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键． 【作业6】（2026•奉贤区三模）计算：（﹣m）6÷m3＝m3 ． 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：（﹣m）6÷m3＝m6÷m3＝m3， 故答案为：m3． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业7】（2026春•上海校级月考）一个长方形的面积是xy2﹣x2y，且长为xy，则这个长方形的宽是y﹣x ． 【分析】根据题意，长方形的面积＝长×宽，所以宽＝长方形的面积÷长，利用多项式除以单项式的计算法则计算． 【解答】解：（xy2﹣x2y）÷xy ＝xy（y﹣x）÷xy ＝y﹣x． 答：这个长方形的宽是y﹣x． 故答案为：y﹣x． 【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是按照计算法则计算． 【作业8】（2025秋•普陀区期末）计算：（30x2y﹣25xy2+5x）÷5x＝　6xy﹣5y2+1　 ． 【分析】根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【解答】解：（30x2y﹣25xy2+5x）÷5x ＝30x2y÷5x﹣25xy2÷5x+5x÷5x ＝6xy﹣5y2+1． 故答案为：6xy﹣5y2+1． 【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是关键． 【作业9】（2025秋•杨浦区期末）计算：　3x2+15x﹣18　 ． 【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解： ＝3x2+15x﹣18， 故答案为：3x2+15x﹣18． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业10】（2025秋•虹口区校级期中）整式（3x5﹣3x4+7x3+4x﹣1）除以（x2﹣x+2）所得的余式为　3x﹣3　 ． 【分析】设商式为三次多项式、余式为一次式（因除式为二次），利用“被除式＝除式×商式+余式“展开后比较两边同次项系数，即可求出余式． 【解答】解：设3x5﹣3x4+7x3+4x﹣1 ＝（x2﹣x+2）（ax3+bx2+cx+d）+（ex+f）， 展开右边： ＝ax5+（﹣a+b）x4+（2a﹣b+c）x3+（2b﹣c+d）x2+（2c﹣d+e）x+（2d+f）， 比较两边同次项系数： x5：a＝3， x4：﹣a+b＝﹣3，得b＝0， x3：2a﹣b+c＝7，得6+c＝7，c＝1， x2：2b﹣c+d＝0，得﹣1+d＝0，d＝1， x1：2c﹣d+e＝4，得2﹣1+e＝4，e＝3， x0：2d+f＝﹣1，得2+f＝﹣1，f＝﹣3， ∴商式为3x3+x+1，余式为3x﹣3， 故答案为：3x﹣3． 【点评】本题主要考查了多项式的除法与待定系数法，根据除式次数正确设出商式与余式的最高次、再比较系数是解题的关键． 【作业11】（2025秋•崇明区校级期中）设M是一个整式，且，则M＝ 　　 ． 【分析】根据题意得M，再根据多项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：根据题意得M ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业12】（2025春•沈河区期末）先化简，再求值：，其中x＝3，． 【分析】根据整式的除法的运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝4（x﹣y）2﹣4（x2+y2） ＝4（x2﹣2xy+y2）﹣4（x2+y2） ＝﹣8xy， 当x＝3，时， ﹣8xy． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业13】（2025秋•浦东新区期末）计算：（9a3b﹣6a2b2+3ab）÷3ab+3ab． 【分析】先根据多项式除以单项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（9a3b﹣6a2b2+3ab）÷3ab+3ab ＝3a2﹣2ab+1+3ab ＝3a2+ab+1． 【点评】本题考查了整式的除法，合并同类项，正确计算是解题的关键． 【作业14】（2025秋•浦东新区校级期中）计算：（4x3y4﹣6x2y3）÷2x2y+3y2． 【分析】利用多项式除以单项式法则计算后再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝2xy3﹣3y2+3y2 ＝2xy3． 【点评】本题考查整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业15】（2025秋•浦东新区校级期中）已知3m＝6，3n＝2，求3m﹣n，32m+3n的值． 【分析】逆用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：∵3m＝6，3n＝2， ∴3m﹣n＝3m÷3n＝6÷2＝3； 32m+3n＝32m×33n＝（3m）2×（3n）3＝62×23＝36×8＝288． 【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业16】（2025秋•虹口区校级月考）计算： （1）（﹣2a3）2+（a2）3﹣a•a5； （2）x5•x3﹣（2x4）2+x10÷x2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的方法进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的方法进行解题即可． 【解答】解：（1）原式＝4a6+a6﹣a6＝4a6； （2）x8﹣4x8+x8＝﹣2x8． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业17】（2026春•同步）计算： （1）（a3）2÷（a2）3； （2）（ab2）3÷（﹣ab）2； （3）（25a3b2）÷（5ab）2； （4）（14m2n）2÷（7m2）÷（7m）； （5）（﹣5a3b5c+35a2b3c2﹣abc）÷（﹣abc）； （6）（﹣81xn+5+15xn+1﹣3xn﹣1）÷（﹣3xn﹣1）． 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算单项式除以单项式； （2）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式； （3）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式； （4）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式； （5）先计算多项式除以单项式的法则展开式子，分别计算各项除法，再把所得的商相加； （6）先计算多项式除以单项式的法则展开式子，分别计算各项除法，再把所得的商相加； 【解答】解：（1）原式＝a6÷a6 ＝1； （2）原式＝a3b6÷a2b2 ＝ab4； （3）原式＝25a3b2÷25a2b2 ＝a； （4）原式＝196m4n2÷7m2÷7m ＝28m2n2÷7m ＝4mn2； （5）原式＝（﹣5a3b5c）÷（﹣abc）+35a2b3c2÷（﹣abc）﹣abc÷（﹣abc） ＝5a2b4﹣35ab2c+1； （6）原式＝（﹣81xn+5）÷（﹣3xn﹣1）+15xn+1÷（﹣3xn﹣1）﹣3xn﹣1÷（﹣3xn﹣1） ＝27x6﹣5x2+1． 【点评】本题考查幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂的除法以及单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则． 【作业18】（2026春•惠来县期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如（6x2+7x+2）÷（2x﹣1），仿照672÷21计算如下：因此（6x2+7x+2）÷（2x﹣1）＝3x+2．阅读完上述材料后，解决下列问题： （1）计算（3x2+10x+4）÷（3x+1），商式是x+3　 ，余式是　1　 ； （2）试判断x3﹣2x2﹣5x﹣2能否被x+1整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； （3）利用上述方法解决：若多项式2x4+3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，求的值． 【分析】（1）根据“短除法”进行计算即可； （2）根据“短除法”进行计算即可； （3）根据“短除法”进行计算，根据整除的定义得出a+3＝9，b＝﹣2（a+3），求出a、b的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）（3x2+10x+4）÷（3x+1）的商式是x+3，余式是1； 故答案为：x+3，1； （2）x3﹣2x2﹣5x﹣2能被x+1整除，理由如下： （3）（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2， 如图，若多项式2x4+3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除， 所以a+3＝9，b＝﹣2（a+3）， 解得a＝6，b＝﹣18， ∴（）2． 【点评】本题考查整式的除法，掌握短除法的计算方法是正确解答的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 整式的除法（知识精讲+典例+练习） 优等生讲义 7年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握同底数幂的除法法则，能熟练进行同底数幂的除法运算。 · 掌握单项式除以单项式的法则，能准确计算。 · 掌握多项式除以单项式的法则，能正确进行整式除法运算。 · 理解整式除法与乘法之间的关系，能解决相关的逆运算问题。 · 能运用长除法解决多项式除以多项式的综合问题，体会类比思想。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n 为正整数，且 m>n）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ。 · 注意：a⁰ = 1（a≠0）。 ※ 典型例题 1 计算 (-a)4·a3÷(-a2)。 解析：(-a)4=a4，所以原式=a4·a3÷(-a2)=a7÷(-a2)=-a5。 ☆ 2. 单项式除以单项式 法则：系数相除，同底数幂相除，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍为单项式（当被除式能被除式整除时）。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−2a²b³)² ÷ 4a³b² 的结果是（  ） 解析：先算积的乘方：(−2a²b³)² = 4a⁴b⁶，再除以 4a³b² 得 ab⁴。 答案：ab⁴ ☆ 3. 多项式除以单项式 法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。即 (ma+mb+mc)÷m = a+b+c。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 3 题目：一个长方形的面积是 8a³−6a²+2a，若它的长是 2a，则它的宽是（  ） A. 8a²−6a+2   B. 4a³−3a²+a   C. 4a²−3a   D. 4a²−3a+1 解析：宽 = 面积 ÷ 长 =  答案：D ☆ 4. 多项式除以多项式（长除法） 方法：把被除式和除式按同一字母降幂排列，缺项用0补齐；仿照多位数竖式除法计算；当余式次数低于除式次数时停止。关系：被除式=除式×商+余式。 典型例题：计算。 解析：用竖式长除法： 因此，商式是余式是13. ☑ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同底数幂的除法 am÷an=am-n（a≠0，m>n） 底数不变，指数相减；注意符号与指数范围 单项式除以单项式 系数相除，同底数幂相除，独有字母连同指数保留 先定符号，再算系数，最后算字母指数 多项式除以单项式 逐项分别除以单项式，再把商相加 不要漏项，注意负号和分数系数 多项式除以多项式 竖式长除法，被除式=除式×商+余式 按降幂排列，缺项补0，余式次数低于除式次数 实际应用 面积÷边长=另一边；程序输出逆推 先列代数式，再转化为整式除法 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的除法（第1-8题） · 直接用法则：底数不变，指数相减。 · 逆用：xm-n=xm÷xn，xa+b=xa·xb。 · 混合运算先算乘方，再算乘除。 · 新定义题转化为幂的运算。 1．（2025秋•宝山区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（﹣a）8÷（﹣a）3＝a5 C．（2x3）3＝6x9 D．（﹣y3）2＝y6 2．（2026春•青浦区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．（m3）4＝m7 B．m4•m4＝m16 C．m6÷m2＝m4 D．（﹣2mn2）3＝8m3n6 3．（2025秋•闵行区期末）已知xm＝3，xn＝6，则xm﹣n的值为　 　 ． 4．（2025秋•浦东新区期末）如果xa＝5，xb＝3，那么x3b﹣2a＝　 　 ． 5．（2025秋•徐汇区校级期末）计算：（﹣a）4•a3÷（﹣a2）＝ 　 　 ． 6．（2025秋•徐汇区校级期中）已知2a÷22b＝16，则a﹣2b的值是　 　 ． 7．（2025秋•浦东新区校级期中）已知3a＝4，3b＝10，3c＝16． （1）求3a+b的值； （2）求32a﹣c的值． 8．（2024秋•普陀区校级月考）请阅读材料，并解决问题，如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝　 　 ，d（10﹣2）＝　 　 ； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），； （2）根据运算性质，填空：　 　 ．（a为正数） （3）若d（2）＝0.3010，分别计算d（4），d（5）． 【考点2】单项式除以单项式（第9-19题） · 系数相除作为商的系数。 · 同底数幂分别相除，指数相减。 · 只在被除式中出现的字母连同指数作为商的一个因式。 · 可用“被除式=除式×商”检验。 9．（2025•普陀区二模）下列各式计算结果等于a2b的是（　　） A．a•ab B．a3÷ab C．a2b﹣2a2b D．2a2b﹣ab2 10．（2026•嘉定区）下列运算中，结果正确的是（　　） A．a+2a2＝2a3 B．（a2）3＝a5 C．（a2b）2＝a4b2 D．a4b2÷ab2＝a3b 11．（2025秋•松江区校级月考）已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 12．（2025秋•虹口区校级月考）长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　） A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1 13．（2025秋•普陀区校级月考）M是一个多项式，且Mx，则M等于（　　） A． B． C． D． 14．（2026春•青浦区校级期末）计算：（﹣18x3y2+12x2y3）÷（﹣3x2y2）＝　 　 ． 15．（2024秋•徐汇区校级期中）已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得x，则B+A＝　 　 ． 16．（2025秋•奉贤区期末）已知长方形面积为6y4﹣3x2y3+xy2，它的一边长为3y2，则这个长方形另外一边长为　 　 ． 17．（2025秋•金山区期末）计算： 　 　 ． 18．（2025秋•奉贤区期末）计算：（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷（3x）． 19．（2025春•同步）计算： （1）6a2b÷（﹣2ab）； （2）﹣10x3y3÷6xy2； （3）﹣21x3y4z÷（﹣7x3y3）； （4）﹣42a7b3÷（﹣6a2b3）． 【考点3】整式除以单项式（第20-33题） · 多项式除以单项式：逐项相除后相加。 · 注意符号，尤其是负号和分数系数。 · 面积、高、宽问题转化为除法。 · 先化简再代入求值。 20．（2024秋•普陀区期中）已知（xn+a+xn+b）÷xn+1＝x2+x3，其中n是正整数，那么a+b的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 21．（2024•上海模拟）已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c＝（　　） A．12 B．13 C．14 D．19 22．（2025秋•衡阳期末）已知长方形的面积为6a2﹣9ab+3a，如果它的一边长为3a，则它的另一边长为（　　） A．3a﹣6b B．2a﹣3b C．3a﹣6b+1 D．2a﹣3b+1 23．（2025秋•鲤城区校级期末）计算（12x4y2+3x3y）÷3x3y的结果是（　　） A．4xy+1 B．4xy C．4x2y+3 D．4x3y+3x3y 24．（2026•常宁市校级开学）已知△ABC的面积为6m4﹣3m3+m2，一边长为3m2，则这条边上的高为 　 　 ． 25．（2025秋•宝山区期末）计算：（3x2y2﹣12x3y4）÷2xy2＝　 　 ． 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知一个矩形的面积为12ab3﹣27ab，若一边长为3a，则另一边长为　 　 ． 27．（2025秋•浦东新区期末）计算：（6a3b2﹣9a2b3）÷3a2b2＝　 　 ． 28．（2025秋•崇明区校级期中）如图是一个运算程序，若输入的m为9a2﹣3ab，输出的x为﹣3a，则p为　 　 ． 29．（2025秋•杨浦区校级期中）计算：（﹣18x4y5+12x5y7﹣27x3y3）÷（﹣3xy）3＝　 　 ． 30．（2024秋•黄浦区期中）计算：2x2y3（3x2﹣2xy+3y2）÷（﹣3x2y2）． 31．（2025秋•虹口区期中）计算：． 32．（2025秋•虹口区校级月考）（1）若（x2+nx+3）（x2﹣3x）的结果中不含x2项，求n的值； （2）已知单项式A＝2x，B是多项式，小明计算B+A时，看成了B÷A，结果得，求正确的结果． 33．（2024秋•徐汇区校级期中）先化简，再求值：（3an+2+9an+1﹣an）÷（﹣6an），其中a＝﹣2（n为正整数）． 【考点4】长除法（多项式除以多项式）（第34-37题） · 被除式、除式按同一字母降幂排列，缺项补0。 · 用竖式逐项相除，商式各项对齐。 · 余式次数低于除式次数时停止。 · 关系：被除式=除式×商+余式；余式为0则可整除。 34．（2025秋•闵行区期末）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知（x+2）（2x+1）＝①_____，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝②_____，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（x2+9x+20）÷（x+4），可仿照2835÷27用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①　 　 ，②　 　 ． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①（x2+2x+1）÷（x+1）＝　 　 ； ②（2x2+3x+1）÷（x+1）＝　 　 ． （3）任务三：若（2x3+8x2+8x﹣m）÷（2x+6）的商为整式，求m的值和商式（请列出竖式并回答）． 35．（2026春•同步）阅读材料： 类比于两数相除可以用竖式计算，多项式除以多项式也可以用竖式计算，其步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用0补齐）； ②用竖式进行计算； ③当余式的次数低于除式的次数时，计算终止，得到商式和余式． 如：求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式． 解： 则商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）（2x2﹣x﹣3）÷（x+1）＝　 　 ； （2）求（6x5﹣9x4+7x2﹣20x+3）÷（2x2﹣x﹣5）的商式和余式． 36．（2024秋•石城县期末）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算， 例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式3x2+5x﹣7除以x+2商式为　 　 ，余式为　 　 ； （3）多项式4x3+8x2﹣3x﹣9的一个因式是x﹣1，则该多项式因式分解的结果为　 　 ． 37．（2025春•秦都区校级月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以2x2的商为3x+4，余式为x﹣1，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数＝除数×商+余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商+余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式A； （2）小明继续探索，已知关于x的多项式6x2+mx+n除以（2x+1）的商为（3x﹣4），余式为2x，请你根据以上法则，分别求出m、n的值． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 熟记四条法则：同底数幂除法、单项式除法、多项式除以单项式、竖式长除法。 计算时先定符号，再算系数，最后算字母指数，避免漏项。 遇到幂的逆用，把目标式拆成已知幂的乘除形式。 长除法必须按降幂排列，缺项补0，余式次数低于除式次数。 面积、程序、整除问题先列代数式，再转化为整式除法。 【作业1】（2026春•浦东新区校级月考）下列计算正确的是（　　） A．x+x＝2x2 B．x5÷x2＝x3 C．x2•x3＝x6 D．（xy2）4＝x4y6 【作业2】（2024秋•奉贤区期中）已知7a3bm÷14anb2b2，那么m、n的取值依次为（　　） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【作业3】（2026春•福田区校级期中）一道除法运算题：（21x4y3﹣□+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝□+5xy﹣y，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（　　） A．35x2y2，﹣3x2y2 B．﹣35x3y2，3x2y2 C．﹣35x2y2，﹣3x3y2 D．35x3y2，﹣3x2y2 【作业4】（2026春•通川区校级期末）计算（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy的结果为（　　） A．3x﹣2xy+1 B．3xy﹣2y+1 C．3x﹣2y+1 D．3x﹣2y 【作业5】（2025秋•奉贤区期末）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为　 　 ． 【作业6】（2026•奉贤区三模）计算：（﹣m）6÷m3＝　 　 ． 【作业7】（2026春•上海校级月考）一个长方形的面积是xy2﹣x2y，且长为xy，则这个长方形的宽是　 　 ． 【作业8】（2025秋•普陀区期末）计算：（30x2y﹣25xy2+5x）÷5x＝　 　 ． 【作业9】（2025秋•杨浦区期末）计算：　 　 ． 【作业10】（2025秋•虹口区校级期中）整式（3x5﹣3x4+7x3+4x﹣1）除以（x2﹣x+2）所得的余式为　 　 ． 【作业11】（2025秋•崇明区校级期中）设M是一个整式，且，则M＝ 　 　 ． 【作业12】（2025春•沈河区期末）先化简，再求值：，其中x＝3，． 【作业13】（2025秋•浦东新区期末）计算：（9a3b﹣6a2b2+3ab）÷3ab+3ab． 【作业14】（2025秋•浦东新区校级期中）计算：（4x3y4﹣6x2y3）÷2x2y+3y2． 【作业15】（2025秋•浦东新区校级期中）已知3m＝6，3n＝2，求3m﹣n，32m+3n的值． 【作业16】（2025秋•虹口区校级月考）计算： （1）（﹣2a3）2+（a2）3﹣a•a5； （2）x5•x3﹣（2x4）2+x10÷x2． 【作业17】（2026春•同步）计算： （1）（a3）2÷（a2）3； （2）（ab2）3÷（﹣ab）2； （3）（25a3b2）÷（5ab）2； （4）（14m2n）2÷（7m2）÷（7m）； （5）（﹣5a3b5c+35a2b3c2﹣abc）÷（﹣abc）； （6）（﹣81xn+5+15xn+1﹣3xn﹣1）÷（﹣3xn﹣1）． 【作业18】（2026春•惠来县期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如（6x2+7x+2）÷（2x﹣1），仿照672÷21计算如下： 因此（6x2+7x+2）÷（2x﹣1）＝3x+2．阅读完上述材料后，解决下列问题： （1）计算（3x2+10x+4）÷（3x+1），商式是　 　 ，余式是　 　 ； （2）试判断x3﹣2x2﹣5x﹣2能否被x+1整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； （3）利用上述方法解决：若多项式2x4+3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $