【双基聚焦】2027年四川省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷(四)

四川省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（四） 平面向量及解三角形 注意事项 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共29题，考试时间90分钟，满分100分. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.将条 形码横贴在答题卡“考生条形码区”. 3.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 如 后，再选涂其他答案，不能答在试卷上· 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.（本套试卷配有答题卡供学 生选用) 烘 题号 I卷 Ⅱ卷 总分 得分 报 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列量中是向量的为 A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离 2.已知向量a=(2,-5),b=(-4,t),若a∥b,则t= A.-8 B.8 C.-10 D.10 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB+A方= A.AB B.AC 郑 C.AD D.BD 4.PM+MN= A.0 B.NP C.NM D.PN 5.已知四边形ABCD为平行四边形，AC与BD相交于O,设AB=a,AD=b,则O等于 杯 毁 A2+b B.ga-b C.- -a+2b D-a-20 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=30°，a=1,c=√3，则b= A.1 B.√3 C.2 D.7 阳 7.如图，D是AB上靠近B的四等分点，E是AC上靠近A的四等分点，F是DE 的中点，设AB=a,AC=b,则A疗= ( A9-名 c0+名 D.9名 13 8.已知向量a,b的夹角为开a=(-3,4),a·b=-10,则b= A.2√2 B.23 C.3√3 D.4√2 9.已知向量a=(2,1),b=(一3,1)，则下列说法正确的是 A.a∥b B.向量a在向量b上的投影向量是一10g C.a+2b=4 D.与向量a方向相同的单位向量是(25,5 5,5 10.已知向量a=(m,-2),b=(3,m+1),且a⊥b,则 A.m=3 B.b=(3,2) C.a-b=√26 D.a+b=5 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=120°，b=c=2,则a= A.√2 B.√3 C.2 D.2√3 12.△ABC三内角A,B,C所对边分别是ab,.若c-1,6=巨，imA-号，则△ABC的面积为 ( A号 B号 D.√2 13.若a=2,|b1=1,且(a一b)⊥b,则a与b的夹角为 ( A高 8司 1 D. 14.已知等边三角形ABC的边长为1，则AB·BC= A日 C.- D. 2 15.A为△ABC的内角，且sinA+cosA=2,则△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.正三角形 16.小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进 行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C,D两观测点，且C,D与教学 楼底部B在同一水平面上，在C,D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别 B 为45°，30°，并测得∠BCD=120°，则教学楼AB的高度是 ) D A.20米 B.25米 C.153米 D.20√2米 17.在平行四边形ABCD中，BC+D心+BA= A.BC B.DA C.AB D.AC 18.在△ABC中，若sinA：sinB:sinC=3：5:7,则最大角为 A.609 B.120° C.135 D.150° 19.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若mm十b与a-2b共线，则 A-号 B.2 c D.-2 14- 20.在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，则B0 () A.EC+BA B.BC+ C. D.C+所 答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 第Ⅱ卷非选择题（共60分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 21.A=(0,-2),BC=(1,1),则AC的坐标为 22.已知a=(1,2),b=(2,-2),c=(入，-1)，c∥(2a十b),则入等于 23.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,c=2,A=45°，则sinC= 24.在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，且A=120°，a=7,b+c=8,则△ABC的 面积为 三、解答题：本大题共5个小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25.给定三个平面向量a=(3,2),b=（-1,2),c=(4,1). (1)求(a-b,b+c〉的大小； (2)若向量a+kc与向量2b一c共线，求实数k的值. 26.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. （1已知sinA=号B=至6=5E,求a的值： 4 (2)已知a=1,c0sA=2b十c=2,求c的值. 15 27.已知向量a=(c0swx,sin wx),b=(1,1),记f(x)=a·b. (1)若w=2,a⊥b,求x的值的集合； (2)已知w>0,若函数f(x)在区间（一w,w)上单调递增，且函数y=f(x)的图象的一个对称中心 为(-，0求ω的值。 28.已知向量a=(1,2),b=(-3,2). (1)求a+b与a-b; (2)当k为何值时，向量a十b与a十3b垂直？ 29.已知向量m=(2√3，sinx),n=(cos2x,2cosx),函数f(x)=m·n-√3. (1)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若f(A)=√3，求A; (2)在(1)条件下，a=2,c=√3b,求△ABC的面积. -1626.分析：(1)直接根据频率计算人数即可： (2)根据频率的和为1列方程求出b即可. 答案：(1)50：(2)0.3详解：(1)这100名学生 中，物理实验次数在[10,15)内的人数为100× 0.1×5=50: (2)由图可得(0.004十0.006+0.03十b+0.1) ×5=1,得b=0.06, 将频率直接当概率， 所以估计该校学生在一学期内参加物理实验的 次数在15次到20次之间的概率为5b=0.3. 27.分析：根据古典概型公式计算可得答案， 答案：0.7详解：记2名喜欢甜品的学生分别 为a1,a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1, b2,b3, 从这5名学生中任取3人的样本点共有10个， 分别为(a1a2b1),(a1a2b2）, (a1,a2,b3),(a1,b1,b2), (a1,b1,b3), (a1,b3,b2), (a2,b1,b2) (a2,b1,b3), (a2,b3,b2),(b1,b2,b3). 记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件 A包含的样本点有7个， 分别为(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b3b2), (a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b3,b2), (b1,b2,b3), 根据古典概型公式，得至多有1人喜欢甜品的 概率为P(A)=品-0.7。 28.详解：(1)根据分层抽样原则知：B类轿车的数 量为10010300×50+450)三0×600=E (2)由(1)得：抽取的C类轿车的数量为50一10 -15=25, 10 25 根据分层抽样原则知：100十300=十60，解 得：之=400. (3)根据分层抽样原则可知：抽取的5个样本 400 中，舒适型有400十600X5=2(辆)，记为A,B: 600 标准型有400十600X5=3(辆)，记为a,b,c: 从5个样本中任意抽取2个，则有(A,B), (A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c), -76 (a,b),(a,c),(b,c),共10个基本事件； 其中至少有1个舒适型的基本事件有：(A,B), (A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c), 共7个基本事件； 所求概率力=品 29.答案：(1)25,25；(2)乙地的小麦幼苗长得整齐 详解：1)由题意a甲-×(23十31十29+26 +22+32+18+27+23+19)=25, 2=0×(27+23+24+28+18+22+33+25 +30+20)=25. (2)5%-0[(25-23)2+(25-3102+(25- 29)2+(25-26)2+(25-22)2) +(25-32)2+(25-18)2+(25-27)2+ (25-23)2+(25-19)2]=20.8, 52=0[(25-27)2+(25-23)2+(25-24)2 +(25-28)2+(25-18)2] +(25-22)2+(25-33)2+(25-25)2+ (25-30)2+(25-20)2]=19.0, 因为S>S2, 所以乙地的小麦幼苗长得整齐 四川省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟卷（四） 1.分析：根据向量与数量的意义直接判断即可. 答案：B详解：显然频率、体积、距离，它们只有 大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所 以拉力是向量： 故选：B. 2.分析：根据向量共线的坐标表示即可求解。 答案：D详解：由向量a=(2,一5)，b= (-4,t),a∥b, 则2t-(-4)×(-5)=0,解得t=10. 故选：D. 3.分析：直接由平面向量加法的平行四边形法则求 解即可 答案：B详解：由题意得，AB+AD=A心 故选：B. 4.分析：根据加法运算法则分析求解 答案：D详解：由题意可得：PM+M市=PN! 故选：D 5.分析：根据向量的运算法则可 得结果 答案： 3详解：03=2Di 故选：B 6.分析：利用余弦定理求解即可」 答案：A详解：根据余弦定理得，b2=a2+c2 2 accos B=1+3-25×5=1,则6=1. 2 故选：A. 7.分析：根据平面向量基本定理，结合向量线性运 算求解即可 答案：C详解：因为D是AB上靠近B的四等 分点，E是AC上靠近A的四等分点，F是DE 的中点， 所以市=名市+号花=方×是A店+专×是 衣-各花+日式-0+台 故选：C. 8.分析：根据题意，由平面向量的夹角公式，代入计 算，即可得到结果 答案：A详解：因为向量a,b的夹角为3π， 4,a (-3,4),则a=√(-3)2+42=5， 则c0s<ab>-回：7。用号-写6解 a·b 得b=2√2. 故选：A. 9.分析：利用向量平行的坐标表示判断A;根据投 影向量定义求向量a在向量b上的投影向量判 断B;应用向量数量积运算律求a+2b判断C; 由单位向量定义求与向量a方向相同的单位向 量判断D. 答案：D详解：A:由2×1≠1×(-3)，故a∥b 不成立，错； :由1acaa:b>·合=6.合 一6，错 C:a+2b2=a2+4a·b+4b2=5-20+40= 25,则a+2b=5,错； D:与向量a方向相同的单位向量是合 5对 故选：D. 10.分析：由向量垂直的坐标表示列方程求，判断 AB,根据向量的坐标运算求a一b,a十b,再由向 量的模的坐标表示求a-b,a十b,判 断CD. 答案：C详解：因为a=(m,-2),b= (3,m+1),a⊥b, 所以m×3+(-2)×(m+1)=0, 所以m=2,b=(3,3),A错误，B错误， 以a-b=(-1,-5),a+b=(5,1), 所以a-b=√26，a十b=√26，C正确，D 错误. 故选：C. 11.分析：先求得B=30°，再由正弦定理求解即可. 答案：D详解：由A=120°，b=c=2,可得B= C=30°，由正弦定理可得a。 b sinA=sinB即a= bsin A=23. sin B 故选：D 12.分析：利用三角形面积公式直接求△ABC的面 积即可 答案：A详解：由三角形面积公式知：SAABC -2 esin A=-3×2x1x号- 33 故选：A. 13.分析：设a与b的夹角0,0∈[0，π]，通过(a-b) ·b=0代入条件计算即可. 答案：B详解：设a与b的夹角0,0∈[0，π]， 因为(a-b)⊥b 所以(a-b)·b=a·b-b2=2cos0-1=0 解得c0s0= 所以0=3π： 故选：B. 14.分析：直接利用向量的数量积公式计算得到 答案 答案：C详解：因为AB=BC=1,且向量 A店与BC的夹角为，所以A店.武=1×1× 2π=-1 cos 2 故选：C. 15.分析：根据simA十c0sA=多，两边平方结合平 方关系求出sin Acos A,进而可得出结论， 答案：A详解：因为snA十casA= 所以(sinA+cosA)2=sin2A+cos2A+2sin Acos A=1+2sin Acos A=49 144 所以sin Acos A=-95 2881 又因A∈(0，π)，所以sinA>0,cosA<0, 所以A为钝角， 所以△ABC是钝角三角形. 故选：A. 16.分析：设AB=x,用x表示出BC与BD,然后 在三角形BCD中用余弦定理列方程即可. 答案：B详解：设AB=x,在直角三角形 ABC、ABD中， BC=AB=x,BD=-AB tan 300 =3x, 在三角形BCD中，BD2=BC2+CD2一2BC· CDcos120°， 即32=x2+252-2·25·(-2),解得x1= 25,x2= 2号舍 故选：B. 17.分析：直接根据向量的运 D 算可得答案 答案：A详解：BC+D心 +BA=B心+AB+BA=BC. 故选：A. 18.分析：由正弦定理得到ab:c=3:5：7,从 而确定最大角，利用余弦定理即可求。 答案：B详解：由正弦定理，得a:b:c=sinA sin B:sin C=3:5:7, 设a=3k,b=5k,c=7k,k>0, 因为a<b<c,所以A<B<C, 所以c0sC=Q2+b2-c2=9k2+25k2-49k2 2ab 2×3kX5k 因为0°<C<180°， 所以C=120°，即这个三角形的最大角是120°. 故选：B 19.分析：计算出ma十b与a-2b后，结合向量共 线的坐标运算即可得. 答案：A详解：由a=(2,3),b=(一1,2)，则 ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1), 由ma十b与a-2b共线，则有-(2m-n)-4 (3+2n)=0, 化简得2m十n=0,即m=-1 n 1 故选：A. 20.分析：根据向量的加法、 减法和数乘运算表示所 求向量即可 答案：B详解：因为D 为BC中点，O为AD中点， 所以B0-号B所+号励-是B所+号×号C- BA+BC. 故选：B. 21.分析：根据给定条件，利用向量线性运算的坐标 表示求解作答， 答案：(1，一1)详解：因为A方=(0，一2)，BC =(1,1),则AC=A+BC=(1,-1), 所以AC的坐标为(1，一1). 故答案为：(1，一1) 22.分析：根据向量平行列方程，化简求得入的值. 答案：-2详解：2a+b=(2,4)十 (2,-2)=(4,2), 由于c∥(2a+b),所以2λ=-4，λ=-2. 故答案为：一2 23.分析：根据正弦定理直接求解即可. 答案： 详解：由正弦定理，a C 可 sin A sin C 得：sinC=csinA 2 4 故答案为唱 24.分析：利用余弦定理可得方程，可解出bc=15, 再利用三角形的面积公式可求得的面积. 答案：155 4 详解：由余弦定理可得，a2=b2十 c2-2bccos A 因为b+c=8,.2+c2+2bc=64且A=120°， a=7, 所以49=64-2bc-2bcX(-2),解得bc=15, 因此△ABC的面积为2 esin A=号X15×写 =153 41 故答案为：5 25.分析：(1)根据向量夹角公式计算； (2)运用向量共线的条件，将其转化为关于坐标 的等式求解 答案：1)至(2)k=-看 详解：(1)a-b= (4,0),b十c=(3,3), 则a-b=4,b十c=3√2，(a-b)· (b+c)=12, 所以cos(a-b,b十c)=（a-b)·(b+c)=2 a-bb+c2 因为(a-b,b+c〉∈[0，π]，所以(a-b,b+c) =: (2)a+kc=(3,2)+k(4,1) =(4k+3,k十2)， 2b-c=(-2,4)-(4,1)=(-6,3), 79 因为向量a十kc与向量2b一c共线，所以一6 (k+2)=3(4k+3), 解得及=一名 26.分析：(1)根据给定条件，利用正弦定理求解 作答. (2)根据给定条件，利用余弦定理求解作答， 答案：(1)4；(2)1详解：(1)在△ABC中，sin A= 导，B=牙，6=5反，由正弦定理 sin A-sinB得a=bsinA5v2×3 a b 54 sin B sin 所以a的值是4. (2)在△ABC中，a=1,c0sA-b十c=2,由 余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,得b2+c2-bc =1, 则有(b十c)2-3bc=1,即4-3bc=1,解得bc =1, 所以bc的值为1. 27.分析：(1)直接利用向量垂直的坐标表示和辅助 角公式得∫(x)=2sin(2x+)=0,解出 即可； (2)根据正弦函数的单调增区间通式得到w2≤ 平，再根据其对称中心得到方程一+不= 24 kπ，k∈Z,解出即可. 答案：1)xx-经-，k∈z:(2)号详解： (1)若w=2,a⊥b,则f(x)=a·b= sin 2x+cos 2-2sin(2x+-0, 则2x+于=π，k∈Z,解得x=”-及。 28 k∈Z, 则x的值的集合为xx=经-吾k∈Z。 (2)依题意知f(x)=sinw.x十cos wx=√2 sin(r+) 由2kr-艺≤wx+至<2x+牙，k∈Z解得 4 2kπ3π 4∠x 2kπ 4,k∈Z. 由于函数f(x)在区间（一w,w)内单调递增， 2k元 3元 w 4∠一w 故 2k元十T 。≤-2x+ 即 ,k∈Z. o2<2k元+T 当=0时，上式成立，即2≤平，结合o>0得 0Cw9, 因为函数y=∫(x)的图象的一个对称中心 为(-罗0小 则f(-）-2sin(oX--+）-0, 则-罗+年=x,k∈Z解得。=一2张十号及 ∈Z 结合0<o≤受，则w= 28.详解：(1)因为a=(1,2),b=(-3,2),故a十b =(-2,4),a-b=(4,0), 故a+b=√20=2√5，a-b=4. (2)ka+b=(k-3,2k+2),a+3b=(-8,8), 因为向量ka+b与a+3b垂直，故一8k十24十 16k+16=0,故k=-5. 29.分析：(1)由向量数量积的坐标表示式和三角恒 等变换将函数f(x)化成正弦型函数，再由f . (A)=√3解三角方程即得； (2)由余弦定理求得边b,c,利用三角形面积公 式计算即得. 答案：1)A=否：(2)3 详解：(1)由向量m=（2√3，sinx),n= 80 (cos2x,2cosx),函数f(x)=m·n-√3， 得f(.x)=2√3cos2x+2 sin xcos x-√3=√3(1 +cos2x)+sin2x-√3=sin2x+√3cos2.x= 2sim(2x+号) 由f(A)=2sin(2A+3）=5,即sim 2A+)-9 因为A∈(0，x),所以2A+等∈(5，） 从而2A+吾一行解得A=晋 (2)由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccos A得4= b2+3b2-3b2, 则b2=4,则b=2.所以c=2√3， 所以△ABC的面积S=号besin A=号×2X2 5x2=5 四川省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟卷（五） 1.分析：利用逆用余弦差角公式得到答案。 答案：A 详解：cos acos B+sin asin B= cos(a-β). 故选：A. 2.分析：利用特殊角的三角函数值直接作答. 答案：B详解：60子号 故选：B 3.分析：根据题意奇偶性的性质和定义逐项分析 判断 答案：D详解：对于选项A:因为f(x)=ln 的定义域为(0，十∞)，不关于原点对称， 所以f(x)=lnx不具有奇偶性，故A错误； 对于选项BC:可知f(x)=x,f(x)=一sinx均 为奇函数，故BC错误； 对于选项D:因为f(x)=ex十e一x的定义域 为R, 且f(-x)=ex+ex=ex+e-x=f(x),所以f