【双基聚焦】2027年四川省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷(三)

四川省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（三） 复数、概率与统计 注意事项 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共29题，考试时间90分钟，满分100分， 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.将条 形码横贴在答题卡“考生条形码区” 3.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 如 后，再选涂其他答案，不能答在试卷上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.（本套试卷配有答题卡供学 生选用) 题号 I卷 Ⅱ卷 总分 烘 得分 报 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 长 题目要求的) 1.已知i为虚数单位，则复数之=一2一6i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.复数之满足z(1+)=2,则z= A.2 B.√2 C.1 3.某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方 法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工 ) A.10人 B.12人 C.13人 D.15人 郑 4.“二十四节气”是中国劳动人民智慧的结晶.《中国青年报》联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四 节气”的调查，其中全部都知道，大部分知道，小部分知道和完全不知道“二十四节气”的受访者分别占 12.6%,49.0%,34.6%和3.8%，下列选项中用来表示上述调查结果的统计图表合适的是 () A.茎叶图 B.扇形图 C.频数分布直方图 D.频率分布直方图 5.下图为某地区2010至2022年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图，根据该折线 毁 图可知，该地区2010年至2022年 ( 801 城乡居民储蓄年末 6 余额（百亿元） 401 204 2010年2012年2014年2016年2018年2020年2022年 2011年2013年2015年2017年2019年2021年 A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额年增长速度相同 C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入差额逐年增大 —9 6.下列说法正确的是 (） A.调查长江的水质适合用全面调查 B.两个互斥事件一定是对立事件 C.标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度 D.若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖 7.一组数据1,2,2,4,5,6的极差为 A.2 B.3 c号 D.5 8.某学校高一年级女生定制校服规格的数据如图所示，则这组数据的众数为 200 ( s516016013校服规格 A.55 B.160 C.165 D.170 9甲，乙两人在罚球线投球命中的概率分别是}与号甲，乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投 球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为 A号 c 1 D.6 10.一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为 A.至多有一次中靶 B.至多有两次中靶 C.恰好有一次中靶 D.三次都中靶 11.对总数为V的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则V为 ( A.150 B.120 C.100 D.40 12.为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6 名同学某日上午的体温记录：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（单位：℃），则该组数据的第80 百分位数为 ( A.36.7 B.36.6 C.36.5 D.36.4 13.某校初二年级学生一次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所 ,须率 个组距 示，则该图中a的值为 ( )7a---- 6a---- A品 C.1o0 1 0.200 05060708090100成绩（分） 14.已知x=(1+2i)(3一i),则二对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.若向量OA与OB对应的复数分别是3+2i,一1+4i,则向量BA对应的复数为 A.-1 B.4-2i C.-4+2i D.-3 16.袋中有红、黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3 次，记事件A表示“3次抽到的球全是红球”，事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C表 示“3次抽到的球颜色不全相同”，则下列结论正确的是 ( A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件C互为对立事件 C.P(C)-3 D.P(AUC=是 10 17.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个 球，则两次都摸到黄球的概率为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.6 18.数字1.2.3中任取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数大于20的概率是( A号 R吉 c D.t 19.某班有55人，要抽出3人，班长给全班同学编号：01,02,03，…，55.用随机数表法确定人选，依次 得到4个随机数为03,25,98,47，其中，不能作为编号的随机数是 ( ) A.03 B.25 C.98 D.47 20.已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.2,P(C)=0.7,则P (AUB)= A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.9 答题栏 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 第Ⅱ卷非选择题（共60分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 21.设复数之1=1+2i,之2=1+i(i是虚数单位)，则x1+x2= 22.从某校随机抽取100名学生进行参加社区服务的次数调查，发现他们的次数0.05 都在10~30次之间，进行适当的分组后，绘制如图所示的频率分布直方图，则 直方图中a的值为 07015202530次数 23.数据7.0,8.2,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是 24.某学校共有教职员工800人，其中不超过45岁的有x人，超过45岁的有320人.为了调查他们 的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁 的教职员工20人，抽取的不超过45岁的救职员工y人，则x十y= 人. 三、解答题：本大题共5个小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 25.甲、乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲、乙两人投篮 的结果互不影响，相互独立.甲、乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲、乙两人都命中； (2)甲、乙两人至少有一人命中， 11 26.为了调查学生在一学期内参加物理实验的情况，从某校随机抽取100名学生， 十频率/组距 经统计得到他们参加物理实验的次数均在区间[5,30]内，其数据分组依次 为：[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30).若a=0.1. (1)求这100名学生中，物理实验次数在[10,15)内的人数； 003 (2)估计该校学生在一学期内参加物理实验的次数在15次到20次之间的 概率. 27.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查.已知在被调查的 新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人，求抽到的 3人中至多有1人喜欢甜品的概率. 28.一汽车厂生产A,B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表 (单位：辆)： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆. (1)求抽取的轿车中，B类轿车的数量； (2)求之的值； (3)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任 取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率. 29.从甲、乙两块小麦地各拔出10株小麦幼苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm) 甲：23312926223218272319 乙：27232428182233253020 (1)分别计算甲、乙两块地小麦的平均株高； (2)甲、乙两块地小麦中，哪块地的小麦幼苗长得整齐？ —12答案：(1)证明见解析；(2)24+62 详解：(1)因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，所 以AA1⊥平面ABCD, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,AA1⊥BC, 所以△AA1B,△AA1C为直角三角形. 因为ABCD为长方形，所以AB⊥BC. 因为AB∩AA1=A,AB,AA1C平面AA1B,所 以BC⊥平面AA1B, 所以BC⊥A1B,所以△ABC,△A1BC为直角 三角形， 所以三棱锥A1ABC为鳖臑， (2)因为四边形ABCD为长方形，BC=AD= 3,AB=4,以AC=5. 因为△AA1B,△AA1C,△ABC,△A1BC为直 角三角形，所以A1B=4√2， 所以三棱锥A1-ABC的表面积 S=SAAM,B十SAH,C十SAAC+SAAx=7AA ·AB+2AA·AC+2AB·BC+2AB·BC =2×4×4+2×4×5+×4×3+号×42 ×3=24+6√2 28.答案：(1)证明见解析：(2)号 详解：(1)如图，连接AC交 BD于点O,再连接OF, 在△ACE中，O为AC中点， F为AE的中，所以OF ∥CE, 且CE寸平面BDF,OFC平面BDF,所以CE ∥平面BDF, (2)因为该几何体为正方体，所以点D到平面 ABB1A1的距离等于AD, 所以点D到平面BEF的距离等于AD, 根据等体积法可知VEBDF=VD-BEF= 3 SAIEF XAD=-号X号XEPXABXAD=-3 29,答案：(1)3(2)证明见解析 详解：(1)解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， CC1⊥平面ABCD,且BC⊥CD, 因为AB=2,BC=CC1=1,则CD=AB=2, S△D=2BC·CD-2X1X2=1, 因此，三棱锥C1-BCD的体积为VC,BCD=3 S6D·CG=3×1X1=3 (2)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1 ∥DD1且BB1=DD1, 所以，四边形BB1D1D为平行四边形，则B1D1 ∥BD, 因为B1D1中平面C1BD,BDC平面CBD,因 此，B1D1∥平面C1BD 四川省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟卷（三） 1.分析：由复数的几何意义求解。 答案：C详解：复数之=一2一6i在复平面内对 应的点为（一2，一6），它在第三象限， 故选：C 2.分析：设之=a十bi(a,b∈R),根据条件找出a,b 的关系，然后计算之 答案：B详解：设x=a十bi(a,b∈R),则z(1十i) =(a+bi)(1+i)=(a-b)+(a+b)i, 由之(1十i)|=2=|(a-b)十(a+b)i,根据复 数的模长公式，√(a-b)2+(a十b)2= WJ2(a2+b2)=2, 即Wa2+b2=√2，x|=√a2+b2=√2. 故选：B. 3.分析：由分层抽样知识求解， 答案：D详解：由分层抽样知，应抽取该单位女 职工人数为：25× =15, 故选：D. 4.分析：根据调查结果可得答案。 答案：B详解：根据调查结果是分类比例，选项 中只有扇形图适合. 故选：B. 5.分析：根据折线图，观察图象的变化情况，逐项分 析即可得出答案， 答案：D详解：由图可以看出前三年财政预算 内收入增长趋势不明显，无法确定，故A错误； 图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不 同，差额逐年增大，故B错误，D正确；又从图中 可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小 于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量，故C 错误， 故选：D. 6.分析：根据抽样调查的适用条件、互斥事件的性 质、标准差的含义以及概率的意义逐项判断 即可 答案：C详解：对于A,长江的水质调查最适合 使用抽样调查，故A错误； 对于B,互斥事件未必对立，但对立事件一定互 斥，故B错误； 对于C,方差和标准差都刻画了一组数据的离散 程度或波动幅度，故C正确； 对于D,中奖率是中奖的概率，只是反映了中奖 的可能性大小，故抽奖10次未必有一次中奖，故 D错误， 故选：C 7.分析：利用极差的定义即可得解 答案：D详解：因为数据1,2,2,4,5,6的最小 数为1，最大数为6， 所以其极差为6一1=5. 故选：D. 8.分析：根据众数定义判断： 答案：C详解：根据条形图165频数最大，可得 众数为165. 故选：C 9.分析：根据独立事件的乘法公式即可. 答案：A详解：根据独立事件的乘法公式得甲、 乙两人投球都命中的概率为号×号=号 故选：A. 10.分析：根据对立事件的定义即可得解 答案：A详解：由题意，事件“至少有两次中 靶”的对立事件为“至多有一次中靶” 故选：A. 11.分析：由题意可得： 20 =20%,求解即可. 答案：C详解：解：由题意可得：9=20%，解 得N=100. 故选：C 12.分析：根据第百分位数的概念和计算方法可得 答案 答案：B详解：将6名同学某日上午的体温记 录从小到大排列为： 36.1,36.3,36.4,36.5,36.6,36.7, 因为80%×6=4.8，所以该组数据的第80百 分位数为36.6. 故选：B. 13.分析：根据所有小矩形的面积之和为1，列出方 程，从而可得出答案。 答案：D详解：解：根据频率分布直方图可得： 10(a+4a+7a+6a+2a)=1, 解得a=20 故选：D. 14.分析：求出的代数形式，进而可得其在复平面 对应的点所在位置 答案：D详解：z=(1+2i)(3-i)=5+5i, ÷十6+-而0 1 5-5i 11. 在复平面对应的点为在第四象限。 故选：D. 15.分析：依题意得A(3,2),B(一1,4)，进而求得 向量BA的坐标，最后根据复数的几何意义即可 求解 答案：B详解：依题意得A(3,2),B(一1,4) 所以OA=(3,2),O2=(-1,4) 所以BA=OA-O克=(4，-2) 故与向量BA对应的复数为4一2i. 故选：B. 16.分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念 以及概率公式依次讨论各选项即可得答案. 答案：C详解：对于A,因为3次抽到的球全是 红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况， 所以事件A与事件B不互斥，故A错误； 对于B,事件A与事件C不可能同时发生，是 互斥事件，但一次试验中还可能 3次抽到的球全是黄球，所以事件A与事件C 不是对立事件，故B错误； 对于C,因为PC=1-号=日=至，故C 正确； 对于D,因为事件A与事件C互斥，P(A)= 名所以 P(AUC)=P(A)+P(C)=1+3=7 8+4=8,故D 错误。 故选：C 17.分析：利用古典概型的概率公式求解即可 答案：C详解：设两次都摸到黄球记为事件 A,2个红球记A1,A2,3个黄球记B1,B2,B3, 从中不放回地依次随机摸出2个球包含的样本 点为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A2,B2),(A2,B1),(A2,B3),(B1,B2), (B2,B3),(B1,B3) (A2,A1),(B1,A1）,(B2,A1),(B3,A1), (B2A2),(B1,A2,),(B3,A2),(B2,B1), (B3,B2),(B3,B1) 共20种，其中A包括的样本点为(B1,B2), (B2,B3),(B1,B3),(B2,B1),(B3,B2), (B3,B1)共6种， pA)-8=0.3 故选：C 18.分析：利用列举法可得两位数总情况数与两位 数大于20的情况数，即可得答案， 答案：A详解：1.2.3组成的两位数有：12,13， 21,23,31,32共6种情况，其中大于20的有 21,23,31,32共4种情沉， 故相位暖率为：音子 故选：A. 19.分析：根据随机数表法的知识确定正确选项. 答案：C详解：由于98>55，所以98不能作为 编号. 故选：C 20.分析：根据对立事件得到P(B)=0.3,根据互 斥事件得到P(AUB)=P(A)+P(B),计算得 到答案。 答案：B详解：因为事件B与事件C互为对 立，所以P(B)=1-P(C)=0.3, 因为事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P (A)+P(B)=0.5, 故选：B. 21.分析：根据复数的加法运算求解！ 答案：2+3i详解：1十2=1十2i十1+i=2 +3i. 故答案为：2十3i 22.分析：根据频率分布直方图中各小矩形面积和 为1，列式计算作答 答案：0.1V品 详解：由频率分布直方图知， (0.05+a十0.03+0.02)×5=1，解得a=0.1, 所以直方图中a的值为0.1. 故答案为：0.1 23.分析：利用第p百分位数的定义求解. 答案：8.4详解：解：因为i=7×30%=2.1, 所以第30百分位数是8.4， 故答案为：8.4 24.分析：直接根据条件列方程求解 答案：510详解：根据条件学校共有教职员工 800人，抽取一个容量为50的样本， |x+320=800 (x=480 ,解得 20+y=50 y=301 .x+y=510. 故答案为：510. 25.分析：(1)利用独立事件的概率乘法公式进行 求解； (2)先求出甲、乙两人均未命中的概率，从而利 用对立事件求概率公式得到答案 答案：(1)0.56；(2)0.94详解：(1)甲、乙两人 都命中的概率为0.7×0.8=0.56； (2)甲、乙两人均未命中的概率为(1一0.7)× (1-0.8)=0.06, 故甲、乙两人至少有一人命中的概率为1一 0.06=0.94. 26.分析：(1)直接根据频率计算人数即可： (2)根据频率的和为1列方程求出b即可. 答案：(1)50：(2)0.3详解：(1)这100名学生 中，物理实验次数在[10,15)内的人数为100× 0.1×5=50: (2)由图可得(0.004十0.006+0.03十b+0.1) ×5=1,得b=0.06, 将频率直接当概率， 所以估计该校学生在一学期内参加物理实验的 次数在15次到20次之间的概率为5b=0.3. 27.分析：根据古典概型公式计算可得答案， 答案：0.7详解：记2名喜欢甜品的学生分别 为a1,a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1, b2,b3, 从这5名学生中任取3人的样本点共有10个， 分别为(a1a2b1),(a1a2b2）, (a1,a2,b3),(a1,b1,b2), (a1,b1,b3), (a1,b3,b2), (a2,b1,b2) (a2,b1,b3), (a2,b3,b2),(b1,b2,b3). 记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件 A包含的样本点有7个， 分别为(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b3b2), (a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b3,b2), (b1,b2,b3), 根据古典概型公式，得至多有1人喜欢甜品的 概率为P(A)=品-0.7。 28.详解：(1)根据分层抽样原则知：B类轿车的数 量为10010300×50+450)三0×600=E (2)由(1)得：抽取的C类轿车的数量为50一10 -15=25, 10 25 根据分层抽样原则知：100十300=十60，解 得：之=400. (3)根据分层抽样原则可知：抽取的5个样本 400 中，舒适型有400十600X5=2(辆)，记为A,B: 600 标准型有400十600X5=3(辆)，记为a,b,c: 从5个样本中任意抽取2个，则有(A,B), (A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c), -76 (a,b),(a,c),(b,c),共10个基本事件； 其中至少有1个舒适型的基本事件有：(A,B), (A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c), 共7个基本事件； 所求概率力=品 29.答案：(1)25,25；(2)乙地的小麦幼苗长得整齐 详解：1)由题意a甲-×(23十31十29+26 +22+32+18+27+23+19)=25, 2=0×(27+23+24+28+18+22+33+25 +30+20)=25. (2)5%-0[(25-23)2+(25-3102+(25- 29)2+(25-26)2+(25-22)2) +(25-32)2+(25-18)2+(25-27)2+ (25-23)2+(25-19)2]=20.8, 52=0[(25-27)2+(25-23)2+(25-24)2 +(25-28)2+(25-18)2] +(25-22)2+(25-33)2+(25-25)2+ (25-30)2+(25-20)2]=19.0, 因为S>S2, 所以乙地的小麦幼苗长得整齐 四川省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟卷（四） 1.分析：根据向量与数量的意义直接判断即可. 答案：B详解：显然频率、体积、距离，它们只有 大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所 以拉力是向量： 故选：B. 2.分析：根据向量共线的坐标表示即可求解。 答案：D详解：由向量a=(2,一5)，b= (-4,t),a∥b, 则2t-(-4)×(-5)=0,解得t=10. 故选：D. 3.分析：直接由平面向量加法的平行四边形法则求 解即可 答案：B详解：由题意得，AB+AD=A心 故选：B.