2026-2027学年高三数学上学期第一次月考自编练习卷（广东省深圳市适用）

**基本信息** 深圳高三数学月考试卷以立体几何、概率统计、函数导数为核心载体，通过北海旅游情境、分离函数创新设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、二项式定理、向量|矩形中向量余弦值题考查空间观念| |填空题|3题15分|向量、数列、曲线相切|数列前n项积题考查抽象能力| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何、概率统计、圆锥曲线、分离函数|北海旅游情境题体现数据意识，分离函数题发展创新思维|

2026-2027学年高三数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出集合，再进行交集运算即可． 【详解】根据题意，解得集合，而集合，所以． 故选：A． 2．复数的虚部为（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案. 【详解】， 则其虚部为1. 故选：A. 3．二项式的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令，得到， 所以二项式的展开式中的常数项是. 4．如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 5．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数图象变换得出，由求出的取值范围，由求得，结合题意得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由三角函数的图象变换可得， 当时，，则， 因为，则， 因为，总存在唯一实数，使得， 当时，， 由题意可知，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 6．若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 7．已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 8．已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】依据正六边形的对称性和数量积的几何意义，计算可得结果. 【详解】如下图， 由正六边形对称性以及数量积的几何意义可知： 中任意两个元素的数量积最大值为. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台中，棱台体积为，点为的中点，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的高为 B．平面 C．该四棱台的外接球表面积为 D．点到平面BDE的距离为 【答案】ABD 【分析】应用四棱台的体积公式计算求解判断A，应用线面平行判定定理判定B，应用外接球性质及表面积公式计算判断C，应用等体积结合三棱锥体积计算判断D. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，解得，故A正确； 对于B选项，当点为的中点时，易知为AC的中点，所以， 因为平面不包含于平面BDE，故平面BDE，故B正确； 对于C选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， 因为正方形ABCD的边长为4，正方形的边长为2， 所以，因为，所以球心在四棱台外，设， 则，由可得，解得， 故，因此，该四棱台的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，， 由平面得平面， 即， ，所以点到平面BDE的距离为，故D正确． 故选：ABD. 10．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．的纵坐标为 C．的面积最大值为 D．到的距离最小值为 【答案】ABD 【分析】由焦点为可得可判断A；求出的方程，结合在上，可判断B；表示出，利用导数求出的面积的范围可判断C；由点到直线的距离表示出到的距离，即可判断D. 【详解】对于A，已知抛物线的焦点为， 所以，则，所以的方程为，故A正确； 对于B，，，因为点在上， 所以，在点处的切线斜率为， 所以：，因为，化简可得：， 令，可得，所以的纵坐标为，故B正确； 对于C，，则， 令中，可得：，所以， 所以为：， 令，所以， ，所以在上单调递增， 所以的面积无最大值，故C错误； 对于D，直线：，到直线的距离为： ， 当且仅当时，到的距离最小值为，故D正确.    故选：ABD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 【答案】AC 【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围. 【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，A正确； 对于B：任取，， ，，，所以，， 即函数在单调递减， 又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误； 对于C：时，， 当时，，令，解得， 当时，，令，无解； 令，则，所以函数为偶函数， 由对称性可知在上方程有解，C正确； 对于D：， 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解； 当时，在区间内无整数解， 因此只需在内包含一个即可. 因为， 因此若不等式恰好有1个整数解，只需， 解得，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则______. 【答案】 【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解. 【详解】依题意，，故，解得. 故答案为： 13．设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则______． 【答案】 【分析】根据题意化简可得数列的递推公式，构造法求出其通项公式，从而求解. 【详解】由 得 即 是以2为首项，2为公比的等比数列 . 故答案为： 【点睛】由递推公式求通项公式的常用方法： 1、累加法求通项   适用于： 2、累乘法求通项   适用于： 3、构造法求通项   适用于 形如型 形如：（其中是常数，且）型 形如（其中是常数，且）型 14．已知曲线与直线（）相切，且满足条件的的值有且只有个，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】依题意有3个不同值 关于的方程 有3 个不同实根，通过极值异号求解实数a的取值范围. 【详解】设切点横坐标为 ， ， 则，依题意，， 即， 整理得 依题意有3个不同值 关于的方程 有3 个不同实根， 设，则 令，得极值点：， 要使 有 3 个不同实根，需两个极值点处函数值异号， 因，， 由,可得，解得， 则实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设点满足，点在边上，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）画出对应图形并建立适当的平面直角坐标系后，利用向量垂直性质计算即可得解. 【详解】（1）由余弦定理，得， 代入已知条件，有， 解得（负值已舍去）． 所以， 因为，所以； （2）以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图．    由已知可得：，，， 所以，， 设，则， 由，可知， 得，即． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． (1)求证：； (2)若二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)连接AC． 因为底面是正方形，所以． 因为底面，所以． 又因为，平面,平面， 所以平面．又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）利用线线垂直可证明平面，进而利用线面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量法和二面角的正弦值求得. 【详解】（1）略. （2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 所以．由，得，所以． 设平面的法向量为， 则，即，取． 由题意可得平面的一个法向量为． 设二面角的平面角大小为θ，由，得． 即，解得（舍去）． 17．（15分）北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．每位游客若选择只游览银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，频率视为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 2 3 4 (2) (3)是，常数为 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）要得到总分为，有前面总分是，再来1个得1分的游客和前面总分是，再来1个得2分的游客两种情况，因此可得，再结合数列的递推关系求得数列的通项公式即可得到答案． 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为． （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览银滩又到涠洲岛游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ， 因此， 所以． （3）要得到总分为，有两种情况： 前面总分是，再来1个得1分的游客，概率为， 前面总分是，再来1个得2分的游客，概率为， 因此，即， 又，， 故，即， 因此可得， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数． 18．（17分）已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为. （i）若，求所在直线的斜率； （ii）若，求. 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）联立方程求出圆与抛物线的三个公共点，根据这三点恰好构成等腰直角三角形求出即可； （2）设直线方程为，，，联立，写出韦达定理，（i）利用到角公式表达出，代入韦达定理求解即可；（ii）由，得，根据三角形相似得到，且，分别表达出，，进而得出，解得，且，利用弦长公式计算出即可. 【详解】（1）联立，得，即， 所以或. 故圆与抛物线的三个公共点分别为，. 这三点恰好构成等腰直角三角形，所以，解得或（舍去）. 故的标准方程为. （2）易知的斜率不为，设直线方程为，，，. 联立，得，所以. （ⅰ）因为，到距离，即. 因为， 所以， 而， 且. 所以，解得或， 但时，舍去. 故，，故直线的斜率. （ⅱ）由，得，所以，从而. 由（ⅰ）知，而. 所以，解得，且. 又由，即， 由弦长公式知， 所以. 19．（17分）分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用．在初等数学中，若有三个互不相同的函数，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数． (1)试判断是否可以作为和在区间上的分离函数； (2)对于函数和，找一个二次函数可以作为这两个函数在区间上的分离函数，找一个即可并给出其解析式． (3)若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值并说明其几何意义． 【答案】(1)可以 (2)函数为，取，可得一个函数为. (3)取得最大值，其几何意义为，当直线为水平线时， 作为分离函数的区间长度达到最大值，即直线与在两个交点的距离． 【分析】（1）根据分离函数的定义判断即可； （2）设函数和在上的分离函数为， 根据分离函数的定义结合已知条件求出参数的值（范围）即可； （3）利用函数的奇偶性，二次函数的单调性，以及利用函数导数求函数在某点处切线方程，韦达定理，结合分离函数的定义分析即可. 【详解】（1）可以．理由如下： 因为恒成立，且恒成立． 所以可以作为和在区间上的分离函数. （2）设是和在上的分离函数， 直线是的图像在处的切线， 所以直线也应该是的图像在处的切线， 因此，可得． 所以对一切实数x恒成立， 即且对一切实数x恒成立， 所以且，解得． 又因为当时，与为相同函数，不符合题意， 所以所求函数为， 取，则满足条件的一个函数为. （3）由各函数在区间上的函数值大小关系， 记，， 则根据函数形态可以画出草图如下． 由于和都是偶函数，图像关于y轴对称，要使为和在的某个子区间上的分离函数，且当时，恒成立， 所以存在使得直线与的图像相切，并且切点的横坐标, 在上，对求导得，， 则当时，的图像在处的切线方程为， 即，于是，． 设直线与的图像交于点，， 由得， 则，， 所以，， ． 由二次函数在时单调递减， 因此当时，取得最大值． 其几何意义为，当直线为水平线时， 作为分离函数的区间长度达到最大值，即直线与在两个交点的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（　　） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（   ） A．1 B．i C． D． 3．二项式的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ） A． B． C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台中，棱台体积为，点为的中点，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的高为 B．平面 C．该四棱台的外接球表面积为 D．点到平面BDE的距离为 10．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．的纵坐标为 C．的面积最大值为 D．到的距离最小值为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则______. 13．设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则______． 14．已知曲线与直线（）相切，且满足条件的的值有且只有个，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设点满足，点在边上，，求． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． (1)求证：； (2)若二面角的正弦值为，求． 17．（15分）北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．每位游客若选择只游览银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，频率视为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 18．（17分）已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为. （i）若，求所在直线的斜率； （ii）若，求. 19．（17分）分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用．在初等数学中，若有三个互不相同的函数，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数． (1)试判断是否可以作为和在区间上的分离函数； (2)对于函数和，找一个二次函数可以作为这两个函数在区间上的分离函数，找一个即可并给出其解析式． (3)若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值并说明其几何意义． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $