第1章 因式分解【章末复习】（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的定义、与整式乘法的互逆关系及提公因式法、公式法等核心方法，通过知识框架图将四大方法与“先提公因式再套公式后分组”的解题顺序串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-能力提升”分层练习设计，如基础题聚焦公式应用，提升题结合简便计算与代数式求值，培养学生运算能力和模型意识。错题解析针对性强，教师可借此精准把握学情，助力学生彻底掌握因式分解。

湘教版数学八年级上册第一章 因式分解 章末复习专项练习 本章核心知识梳理：本章重点掌握因式分解的定义及与整式乘法的互逆关系，熟练掌握因式分解四大核心方法：提单项式公因式、提多项式公因式、平方差公式、完全平方公式，拓展掌握十字相乘法与分组分解法。牢记因式分解万能解题顺序：先提公因式→再套公式→后十字相乘/分组→分解务必彻底。 复习答题要求：规避符号错误、分解不彻底、公式混淆、分组不合理等高频易错点，步骤书写规范，所有结果必须化为最简整式乘积形式。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列变形中，属于因式分解的是（） A. $$2x(x-3)=2x^2-6x$$ B. $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$ C. $$x^2+4x+1=x(x+4)+1$$ D.$$x^2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x$$ 2. 多项式$$6a^2b-3ab^2+9ab$$的最大公因式是（） A. $$3ab$$ B. $$6ab$$ C. $$3a^2b$$ D. $$ab$$ 3. 下列多项式中，既能提公因式又能用平方差公式分解的是（） A. $$x^2+4$$ B. $$2x^2-8$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$3x^2+6x$$ 4. 若$$x^2+kx+25$$是完全平方式，则k的值为（） A. 10 B. -10 C. ±10 D. ±5 5. 多项式$$x^2-2x-15$$十字相乘分解的结果是（） A. $$(x-3)(x+5)$$ B. $$(x-5)(x+3)$$ C. $$(x+5)(x+3)$$ D. $$(x-5)(x-3)$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 因式分解与整式乘法是________的恒等变形。 7. 分解因式：$$3m(x-y)-6n(y-x)=$$________。 8. 平方差公式：$$a^2-b^2=$$________；完全平方差公式：$$a^2-2ab+b^2=$$________。 9. 四项式$$x^2-4y^2+x-2y$$最优分解方法是先________，再提公因式。 10. 分解因式务必________，直到结果中每一个因式都不能再分解为止。 三、基础解答题（每题8分，共32分） 11. 提取公因式法分解因式（基础必考） （1）$$-4x^3+8x^2-12x$$ （2）$$5(a-b)^2+10(b-a)$$ 12. 公式法分解因式 （1）$$36x^2-49y^2$$ （2）$$4a^2-20ab+25b^2$$ 13. 十字相乘法分解二次三项式 （1）$$x^2+2x-24$$ （2）$$x^2-11x+28$$ 14. 分组分解法分解四项式 （1）$$mx+ny-nx-my$$ （2）$$a^2-b^2+4b-4$$ 四、能力提升综合题（每题14分，共28分） 15. 综合因式分解（先提公因式，再套公式，分解彻底） （1）$$2x^3-8x$$ （2）$$-3a^3+12a^2-12a$$ 16. 利用因式分解简便计算与代数式求值 （1）简便计算：$$2025^2-2024×2026$$ （2）已知$$x+y=6，xy=8$$，求代数式$$x^2y+xy^2$$的值。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：因式分解是将多项式化为整式积的形式，A是整式乘法，C、D结果仍为和差形式，只有B符合定义。 2. A 解析：系数最大公约数3，共有字母a、b，最低次数均为1，公因式为$$3ab$$。 3. B 解析：$$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$$，先提公因式再用平方差公式，其余选项不满足双重条件。 4. C 解析：$$x^2+kx+25=x^2+kx+5^2$$，中间项为$$\pm2\cdot x\cdot5=\pm10x$$，故$$k=\pm10$$。 5. B 解析：拆分-15为-5和3，和为-2、积为-15，原式$$=(x-5)(x+3)$$。 二、填空题 6. 互逆 7. $$3(x-y)(m+2n)$$ 解析：统一公因式$$x-y$$，变形$$y-x=-(x-y)$$后提取。 8. $$(a+b)(a-b)$$；$$(a-b)^2$$ 9. 平方差公式分组 10. 分解彻底 三、基础解答题 11. 解：（1）原式$$=-4x(x^2-2x+3)$$；（2）原式$$5(a-b)^2-10(a-b)=5(a-b)(a-b-2)$$。 12. 解：（1）原式$$=(6x+7y)(6x-7y)$$；（2）原式$$=(2a-5b)^2$$，符合完全平方差结构。 13. 解：（1）原式$$=(x+6)(x-4)$$；（2）原式$$=(x-4)(x-7)$$。 14. 解：（1）原式$$=(mx-nx)+(ny-my)=x(m-n)-y(m-n)=(x-y)(m-n)$$；（2）原式$$=a^2-(b^2-4b+4)=a^2-(b-2)^2=(a+b-2)(a-b+2)$$。 四、能力提升综合题 15. 解：（1）原式$$=2x(x^2-4)=2x(x+2)(x-2)$$，先提公因式，再用平方差公式分解彻底；（2）原式$$=-3a(a^2-4a+4)=-3a(a-2)^2$$，先提负公因式，再用完全平方公式。 16. 解：（1）原式$$=2025^2-(2025-1)(2025+1)=2025^2-(2025^2-1)=1$$，利用平方差公式简化大数运算；（2）原式$$=xy(x+y)$$，代入$$x+y=6，xy=8$$，得原式$$=8×6=48$$。 章末复习总结：因式分解的核心逻辑是“化和为积、分解彻底”，解题严格遵循固定顺序。高频易错点集中在：负公因式提取符号出错、完全平方与平方差公式混淆、多项式公因式奇偶次幂变形错误、十字相乘拆数失误、分组不合理无法继续分解。本章是后续分式运算、一元二次方程求解、代数式化简的核心基础，需熟练掌握各类方法的适用场景，形成系统化解题思维。 湘教版（新教材）数学八年级上册 章末复习 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学习目标 本章知识结构 概念 因式分解的方法 提公因式法 公式法 因式分解 习题 点击方框可跳转到相应页面 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. f=gh 运用整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确. 结构图 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式. 提公因式时，如果多项式的首项为负数，一般先把负号提出来，并把括号内的各项变号. 当多项式各项有系数时，要先确定公因式的系数，就是各多项式系数的最大公约数. 当多项式中有多个未知数时，公因式含的字母是各项中相同的字母，它们的指数取各项中次数最低的. 提公因式法 因式分解时，如何确定多项式的公因式？ 公因式为单项式时： 1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数． 2.定字母：找多项式各项相同的字母． 3.定指数：相同字母的最低的次数. 当公因式为多项式时，把相同字母换成相同式子. 因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止. 结构图 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 反过来进行因式分解 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2 平方差公式 (a+b)(a－b)=a2－b2 a2－b2=(a+b)(a－b) 公式法 结构图 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a； (2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2； (4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2. 【总结】①多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件：第一，等式的左边是一个多项式；第二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；②判断过程要从左到右保持恒等变形. 不是 不是 是 不是 不是积的形式 是整式乘法 不是恒等变形 考试考法 考点二 提公因式法因式分解 例2 分解因式： (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b + c) - 3(b + c)； (3) (a + b)(a - b) - a - b. 解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2 + 3bc). (2) 原式 ＝ (b + c)(2a - 3). (3) 原式 ＝ (a + b)(a - b - 1)． 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 考试考法 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91)＝13×20＝260. (2) 29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14 ＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022. 考试考法 考点四 平方差公式因式分解 例4 分解因式： (1) ( a ＋ b )2 － 4a2； (2) 9( m ＋ n )2 － ( m － n )2. 解：(1) 原式 ＝ ( a ＋ b ＋ 2a )( a＋b－2a ) ＝ ( 3a＋b )( b －a ). (2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n) ＝ ( 4m ＋ 2n )( 2m ＋ 4n ) ＝ 4( 2m ＋ n )( m ＋ 2n ). 考试考法 考点五 完全平方公式因式分解 例5 因式分解： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2)( a2 + 4 )2 - 16a2. 解：(1) 原式 ＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 ) ＝ - 3a2( x - 4 )2. (2) 原式 ＝ ( a2 + 4 )2 - ( 4a )2 ＝ (a2 + 4 + 4a)( a2 + 4 - 4a ) ＝ ( a + 2 )2( a - 2 )2. 考试考法 1. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 12 2. ［汕头市模拟］若 可以因式分解为 ，那么 的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 B 返回 举一反三 返回 3. [北京市竞赛]在1～100之间若存在整数n，使x2＋x－n能分解为两个整数系数一次式的乘积，这样的n有________个． 9 【点拨】若x2＋x－n能分解，则设分解式为(x－p)·[x＋(p＋1)]，从而n＝p(p＋1)，而1～100之间能写成这一形式的整数有2，6，12，20，30，42，56，72，90，共9个． 举一反三 14 返回 4．[淄博市期中]多项式①2x2－x；②4x2＋1＋4x；③x2－4x＋4；④－4x2－1＋4x.在分解因式后，结果含有相同因式的是(　　) A．①④ B．①② C．③④ D．②③ A 举一反三 15 返回 5.因式分解. （1） ; 【解】原式 . 举一反三 16 （2） . 令,则原式 . 将代入，得原式 . 举一反三 17 (3)(x－6)(x－2)(x＋1)(x＋3)＋9x2； 【解】原式＝[(x－6)(x＋1)][(x－2)(x＋3)]＋9x2＝(x2－5x－6)(x2＋x－6)＋9x2，设x2－6＝M，所以原式＝(M－5x)(M＋x)＋9x2＝M2－5x2－4Mx＋9x2＝M2－4Mx＋4x2＝(M－2x)2＝(x2－6－2x)2＝(x2－2x－6)2. 举一反三 返回 (4)[衡阳市自主招生]x3－3x2－6x＋8. 【解】原式＝x2(x－4)＋(x－4)(x－2)＝(x－4)(x2＋x－2)＝(x－4)(x＋2)(x－1)． 举一反三 谢谢观看 THANKS $