1.3.2利用完全平方公式进行因式分解 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“利用完全平方公式进行因式分解”，通过回顾完全平方公式的整式乘法形式逆向导入，衔接平方差公式对比，构建“先提公因式再套公式”的解题支架，帮助学生掌握公式结构与综合运算。 其亮点在于分层设计练习，从基础选择到拓展探究，结合整体代换、几何应用等实例，培养抽象能力、推理意识与模型观念。详细解析与小结助力学生规范步骤，教师可通过此资料提升教学效率，深化学生对因式分解的理解。

湘教版数学八年级上册1.3.2利用完全平方公式进行因式分解专项练习 核心考点：完全平方公式的两种形式、完全平方式的结构判定、简单整式的完全平方因式分解、先提公因式再用完全平方公式的综合运算、整体代换分解因式 答题要求：熟练掌握完全平方式三大特征，准确区分完全平方公式与平方差公式，严格遵循“先提公因式，再套公式”的解题顺序，分解结果必须彻底，规范书写解题步骤 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 完全平方差公式因式分解的正确表达式是（） A. $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ B. $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ C. $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ D. $$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$ 2. 下列多项式属于完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+4x+2$$ D. $$x^2-2x-4$$ 3. 多项式$$4x^2+12xy+9y^2$$分解因式的结果是（） A. $$(2x+3y)^2$$ B. $$(2x-3y)^2$$ C. $$(4x+9y)^2$$ D. $$(2x+3y)(2x-3y)$$ 4. 若多项式$$x^2-mx+16$$是完全平方式，则$$m$$的值为（） A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4 5. 下列因式分解错误的是（） A. $$x^2+6x+9=(x+3)^2$$ B. $$1-2m+m^2=(m-1)^2$$ C. $$4a^2-4a+1=(2a-1)^2$$ D. $$x^2+2x+4=(x+2)^2$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 完全平方式必须满足三项式、首尾两项是________且符号________，中间项是首尾两项平方根乘积的________倍。 7. 因式分解：$$x^2-10x+25=$$________。 8. $$x^2+$$________$$+9=(x+3)^2$$。 9. 因式分解：$$9a^2-12ab+4b^2=$$________。 10. 分解因式$$2x^2-8x+8$$时，第一步需要先________，再利用完全平方公式分解。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 11. 直接利用完全平方公式分解下列因式。 （1）$$m^2+14m+49$$ （2）$$16-8x+x^2$$ 12. 结合整体思想，利用完全平方公式分解因式。 （1）$$(x+y)^2+4(x+y)+4$$ （2）$$(a-b)^2-6(a-b)+9$$ 13. 先提公因式，再用完全平方公式分解因式。 （1）$$3x^2+12x+12$$ （2）$$-2a^3+12a^2-18a$$ 四、能力提升题（15分） 14. 利用完全平方公式简便计算：$$99^2+2×99+1$$。 五、拓展探究题（15分） 15. 已知正方形的周长为$$4(x+2)$$，面积代数式为$$x^2+4x+4$$，请对面积代数式因式分解，并求出当$$x=3$$时正方形的面积。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. C 解析：A为平方差公式，B为完全平方和公式，D是整式乘法公式，只有C是完全平方差因式分解公式。 2. B 解析：完全平方式首尾项同号且为平方数，中间项符合二倍乘积特征，只有$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$满足条件。 3. A 解析：原式化为$$(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2$$，符合完全平方和公式，分解得$$(2x+3y)^2$$。 4. C 解析：$$x^2-mx+16=x^2-mx+4^2$$，中间项为$$\pm2\cdot x\cdot4=\pm8x$$，故$$m=\pm8$$。 5. D 解析：$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$，与原式不符，分解错误，其余选项分解均正确。 二、填空题 6. 平方数；相同；二 7. $$(x-5)^2$$ 8. $$6x$$ 解析：完全平方和中间项为$$2\cdot x\cdot3=6x$$。 9. $$(3a-2b)^2$$ 10. 提取公因式 三、解答题 11. 解：（1）原式$$=m^2+2\cdot m\cdot7+7^2=(m+7)^2$$；（2）原式$$=x^2-2\cdot x\cdot4+4^2=(x-4)^2$$。 12. 解：（1）将$$x+y$$看作整体，原式$$=(x+y+2)^2$$；（2）将$$a-b$$看作整体，原式$$=(a-b-3)^2$$。 13. 解：（1）原式$$=3(x^2+4x+4)=3(x+2)^2$$；（2）原式$$=-2a(a^2-6a+9)=-2a(a-3)^2$$，先提取公因式，再套用公式，分解彻底无剩余因式。 四、能力提升题 14. 解：原式符合完全平方和公式，整理得$$99^2+2×99×1+1^2=(99+1)^2=100^2=10000$$，利用公式简化复杂平方运算，提升计算效率。 五、拓展探究题 15. 解：对面积代数式因式分解：$$x^2+4x+4=(x+2)^2$$。将$$x=3$$代入，得面积$$=(3+2)^2=25$$。验证：正方形边长为$$x+2$$，面积为边长平方，符合几何公式。 练习总结：完全平方公式因式分解的核心是熟记完全平方式三大特征，精准区分完全平方公式与平方差公式。解题核心流程为先提尽公因式，再判断多项式结构套用对应公式，重点掌握整体换元的解题思想。高频易错点为遗漏公因式、中间项符号判断错误、完全平方式特征辨识失误，需反复练习巩固，为后续复杂因式分解及分式运算打好基础。 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.3.2利用完全平方公式进行因式分解 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学习目标 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算． 请说出完全平方公式. 完全平方公式1： ， 完全平方公式2： . (x＋y)² = x²＋2xy＋y² (x－y)² = x²－2xy＋y² 在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²＋4x＋4 因式分解： x²＋4x＋4 = . (x＋2)² = . (x＋2)² x²＋4x＋4 探索新知 例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解. 分析 由于9x2 = (3x)2， 1 = 1²，2·3x·1 = 6x，因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 典例精析 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ 2 x y + y2 ± = (x ± y)² x2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². 分析 (1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 －(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解. (2) x5＋2x3y＋xy2. 分析 (2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； (2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 1. ［2025东营月考］若 能用完全平方公式 进行因式分解，则常数 的值是( ) D A. 或5 B. 5 C. 8 D. 8或 返回 举一反三 7 2. ［2025日照月考］下列多项式： ； ；； ； ， 其中能用公式法分解因式的是( ) B A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 返回 举一反三 8 返回 3．因式分解： (1)(x＋2)(x＋4)＋1＝____________． (2)(a－3b)2－4(a－3b)c＋4c2＝_______________________. 4．[成都市中考]多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是____________________(填一个即可)． (x＋3)2 (a－3b－2c)2 4x(答案不唯一) 举一反三 9 例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)² ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 － 4m + 4. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 1.分解因式： (1) －3a2x2 + 24a2x－48a2； (2) ( a2 + 4 )2－16a2. ＝(a2+4+4a)(a2+4－4a) 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x+16) ＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2+4)2－(4a)2 ＝(a+2)2(a－2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 练习 2.利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 － 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 － 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9 C．x2 + 5y D．x2 - 5y 2. 把多项式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的结果是 ( ) A．4xy( x - y ) - x3 B． - x( x - 2y )2 C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D． - x( - 4xy + 4y2 + x2 ) 3. 若 m ＝ 2n + 1，则 m2 - 4mn + 4n2 的值是_____． B B 1 4. 若关于 x 的多项式 x2 - 8x + m2 是完全平方式，则 m 的值为______． ±4 当堂检测 5. 把下列多项式因式分解： （1）x2 - 12x + 36；（2）4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； （3）y2 + 2y + 1 - x2. (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b)·1 + 1² = (4a + 2b - 1)2. 解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + 62 = (x - 6)2. (3) 原式 = (y + 1)² - x² = (y + 1 + x)(y + 1 - x). 当堂检测 (2) 原式 6. 计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92； 解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2 ＝100. 当堂检测 返回 5．因式分解： (1)－16＋8a－a2；　　　　 (2)x4－8x2y2＋16y4. 【解】原式＝－(16－8a＋a2)＝－(4－a)2. 【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2. 举一反三 17 返回 B 举一反三 18 【解】原式＝－3a(x2－2xy＋y2)＝－3a(x－y)2. 举一反三 19 返回 (3)2a2＋4ab＋2b2－8c2. 【解】原式＝2(a2＋2ab＋b2)－8c2＝2(a＋b)2－8c2＝2[(a＋b)2－(2c)2]＝2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)． 举一反三 20 课堂小结 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 谢谢观看 THANKS 6．因式分解－2x3－12x2－18x的结果是(　　) A．－2x(x2＋6x＋9) B．－2x(x＋3)2 C．－2x(x＋3)(x－3) D．－2x(x－3)2 7.因式分解： (1)－3ax2＋6axy－3ay2； (2)x5－x3y2＋xy4； 【解】原式＝x＝x＝x2. $