安徽省六校2026-2027学年高三上学期开学联考数学试题

2027届高三阶段性学情检测 数学试题 2026.09 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则（ ） A．2 B．3 C．5 D． 2．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，则（ ） A． B．2 C．3 D．4 4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（ ） A． B． C．2 D．1 5．自动驾驶激光传感器采集测距数据，测量值与真实值的偏差满足：，经过大量测试，得到，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．各项均为正数的数列满足，（，），则（ ） A．5 B．25 C． D．24 7．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 8．已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知单位向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 10．数的进制是人们利用符号来计数的方法．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数有10个数码：，，…．在计算机中用的是二进制，只有两个数码，．如二进制中，，相当于十进制中的27，简记为．则（ ） A． B．满足，，…中有且只有4个1的所有二进制数有15个 C．满足，，…中有且只有1个0的所有二进制数在十进制下的和为109 D．由个1和1个0组成的所有二进制数在十进制下的和为 11．过抛物线对称轴上一点作直线交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别记为，，则（ ） A． B．记坐标原点为，则，，三点共线 C．记的中点为，则直线与抛物线相切 D．对于任意的正数， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中常数项为________．（用数字作答） 13．过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 14．存在，使得函数在区间上的值域为，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分） 已知四边形是边长为2的菱形，，将沿折起，得到如图所示的空间几何体． （1）求证:; （2）当平面平面时，求的长． 16．（本题满分15分） 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求的值； （2）如图，点在边上且满足，，，求的周长． 17．（本题满分15分） 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中黑球个，其余为红球． （1）从袋中进行无放回的摸球实验．求第一次摸出的球是黑球的条件下，第二次摸出的球是红球的概率（结果用含有的式子表示）； （2）为了估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回的摸球次； 方案二：从袋中进行有放回的摸球实验，摸出红球或摸球次停止． （ⅰ）求方案一摸出的红球频率的数学期望； （ⅱ）在两种方案中，借助摸出红球频率的数学期望，估计的值，试分析哪个方案估计的值更合理． 18．（本题满分17分） 已知椭圆：过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，直线交椭圆于，两点． （ⅰ）当为的重心时，求直线的方程； （ⅱ）设为椭圆上的动点，若为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 19．（本题满分17分） 函数的定义域为，对于任意，，都有成立，我们就称函数具有性质． （1）证明：函数具有性质； （2）已知函数具有性质，且满足：①；②当时．数列满足，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）设整数，，证明：． 2027届高三阶段性学情检测 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 题项 D B B C D A C A BD ACD BCD 一、单项选择题：本题共3小题，每小题5分，共40分。 1．D【解析】，故，所以，故选D． 2．B【解析】由，故是的必要不充分条件，故选B． 3．B【解析】，故选B． 4．C【解析】由渐近线方程知，解得，所以实物长为：，故选C． 5．D【解析】由知，故选D． 6．A【解析】由题意知为等差数列，所以，又因为，所以，故选A． 7．C【解析】对于，当时，，结合图象可知，当时，，所以，即，故选C． 8．A【解析】由题意知，放点O在以AB，为直径的球面上，记球的半径为R，球心为B，则，E为AB，的中点，所以．故选A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．BD【解析】由，平方得，则，即，，所以，故选BD． 10．ACD 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．60 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分） 解：（1）证明：取AC的中点E，连接PE，DE． 1分 由于四边形ABCD为菱形且， 所以，PE，面PED， 4分 因此面PED，又因为面PED， 所以． 6分 （2）取PD中点F，连接CF，AF． 7分 由于， 所以，9分 由二面角定义知：即为平面APD与平面CPD所成的二面角的平面角 当平面平面CPD时，． 11分 又因为，且， 所以． 由，得． 所以． 13分 16．（16分） 解：（1）因为， 所以． 2分 由正弦定理知： 4分 又因为， 所以 因此． 6分 （2）在中，， 故． 8分 由，得：， 所以． 11分 在中，由余弦定理得， 所以的周长为． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $