浙江省杭州学军中学2026-2027学年第一学期高二数学周末练（2）

**基本信息** 以圆、函数、立体几何等核心知识为载体，通过分层设问（如解答题17动圆对称与定值探究、19轨迹方程与切线综合）考查数学抽象、逻辑推理与直观想象素养，适配高二周测巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|圆的方程、复数、统计量、函数零点|第3题结合统计量差异分析数据特征，考查数据分析能力| |多选题|3|直线与圆位置关系、曲线分割线|第11题引入“分隔线”新概念，考查创新思维与数学表达| |填空题|4|直线方程、基本不等式、存在性问题|第14题通过存在性条件转化，考查逻辑推理| |解答题|5|立体几何证明与二面角、轨迹方程与切线|第18题以梯形与矩形组合体为背景，考查空间观念；第19题结合切线与定点探究，体现综合应用|

《杭州学军中学2026学年第一学期高二数学周末练（2）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A B B C A AD ACD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 2．C 【分析】由复数模的运算可得结论． 【详解】设，∵，∴，即. 故选：C． 3．B 【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明． 【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误． 故选：B． 【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础． 4．A 【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【详解】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 5．B 【分析】令，利用零点等式变形得到，又，解得，再结合正弦函数的性质可得. 【详解】令，则，， ，， ，， 又，，，， ，． 故选：B. 6．B 【分析】分析可知以为直径的圆要内含或内切圆，根据两圆的位置关系分析求解. 【详解】已知圆的圆心为，半径， 若直线上存在两点A，B，使得恒成立， 则以为直径的圆要内含或内切圆， 因为点到直线l的距离， 所以长度的最小值为， 故选：B． 7．C 【分析】曲线可化简为，曲线等价于或，直线与圆有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有另外两个不同的交点，数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解. 【详解】曲线可化简为，曲线表示以点为圆心，1为半径的右半圆， 曲线表示两条直线和， 显然直线过圆心与半圆有两个交点和，所以直线与半圆有两个除了外的交点， 由直线得，过定点，， 当直线与半圆相切时，可得， 解得或（舍去）. 所以当时，直线与半圆有两个除了外的交点，此时曲线与曲线有四个不同的交点. 故选：C. 【点睛】思路点睛：曲线为半圆，曲线表示两条直线和，直线与圆有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有另外两个不同的交点，数形结合再找出与之两个交点临界值求解即可. 8．A 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可得出，由已知条件变形得出，分析得出，由可得出的取值范围，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数，且存在实数、、使得， 则，等式两边同除以可得， 所以，，，故，， 由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，等号成立， 由可得， 则，等式两边同时除以可得， 则，故，可得， 所以，，故，故. 故选：A. 9．AD 【分析】根据直线垂直求参判断A选项，应用基本不等式判断B选项，根据两条线垂直及求轨迹方法判断C选项，应用三角换元及辅助角公式判断D选项. 【详解】对于A，，∴，A正确； 对于B，恒过定点，恒过定点， 由选项A正确可推得，时等号成立，∴的最大值是，B错误； 对于C，设，则， 化简有，C错误； 对于D，设，，则，， ∴，即的最大值为，D正确. 故选:AD. 10．ACD 【分析】利用直线过定点进行逐项分析，对于A，根据和直线垂直时，取最小值求解即可；对于B，验证直线能否过圆心即可； 对于C，联立直线和圆的方程，将表示出来求解即可；对于D，利用，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】直线，即， 故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2, ，故在圆内， 对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离， 此时最小，，故A正确； 对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设，则， 当直线斜率不存在时，，联立圆得，， 此时 当直线斜率存在时，设直线，联立圆， 得，即， ， ，, , 带入得：， 故为定值，故C正确； 对于D，中点为，故,且在上， 所以,故是直角三角形， 当为中点时，为定值，故D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】对于A，根据题意列出不等式即可求解；对于B、C和D，画出图像即可求解. 【详解】对于A，由题意得， 所以，故A正确； 对于B， 如图，函数的图像是函数的分割线， 所以若直线是曲线的分割线，则，故B正确； 对于C，因为曲线是封闭曲线， 所以曲线不存在分隔线，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以，当时，， 因为，所以， 如图为函数大致图像，所以为分割线，故D正确. 故选：ABD. 12．2 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 13． 【分析】利用基本不等式结合余弦函数的有界性可得，且，进而分析余弦函数的最值点即可得结果. 【详解】因为，，且， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，可知，且， 则，即，可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 14． 【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围. 【详解】因为 ， 设，，，令， 则， 又易知，点在圆上，如图所示， 则，又，故的最大值为， 因为存在实数使得 所以 ，即 ， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键是构造两点间的距离公式，转化几何意义求最值. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及点斜式直线方程，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，利用待定系数法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即； （2）设外接圆的方程为， 即，解得，，， 所以外接圆的方程为，即. 16．(1)相交 (2) 【分析】（1）利用点到直线距离与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系. （2）利用圆的弦长求出圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【详解】（1）圆的圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交. （2）圆心到直线的距离，则， 整理得，所以. 17．(1)圆，圆． (2)是定值． 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案； （2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案. 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 18．(1) 证明： 连接如上图，在中，、分别为、的中点， 所以.又因为平面，平面， ∴平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）利用三角形中位线和线面平行的判定定理即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用向量的夹角公式运算即可得解. （3）假设存在，根据线面角的公式运算即可得解. 【详解】（1）略 （2）解：因为平面，平面， 所以，.又，所以. 以为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系.    则，，，， ，.则，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得，. 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为，所以 由图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. （3）解：假设存在点，设，则 . 由（2）知，平面的一个法向量为.则， 即，所以. 故存在满足题意的点，此时. 19．(1)； (2)（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标； （ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离. 【详解】（1）由题意得，则，设， 则， 化简得 （2）（i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线为：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处的切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线为：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2026学年第一学期高二数学周末练（2） 班级：___________姓名：___________ 一、单选题 1．“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 2．复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（    ） A．数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．数据中可能有极端大的值 D．数据中众数可能和中位数相同 4．实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 5．如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（   ） A．1 B． C． D． 6．已知P是圆上的一个动点，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 8．已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值是25 C．点M的轨迹方程是 D．的最大值为 10．已知直线与圆交于点，点中点为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．为定值 D．存在定点，使得为定值 11．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．则下列选项正确的是（       ） A．若被直线分隔，则 B．若直线是曲线的分割线，则 C．曲线存在分隔线 D．曲线，有且仅有一条过原点的分隔线 三、填空题 12．已知直线．若，则实数的值为________________． 13．已知，且，则的最小值为_______． 14．若存在实数使得，则实数的取值范围为________. 四、解答题 15．已知的三顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 16．已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 17．已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，．问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 19．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $