第10卷 数列（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北对口升学考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”构建数列专项训练体系，系统整合定义公式、性质应用与综合解题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|9类基础数列+等差等比性质|定义公式结构化梳理|从an与Sn关系到特殊数列性质，构建概念网络| |真题精讲|4考点9题（含2025-2022年真题）|性质迁移与公式逆用|按等差、等比、递推、综合分层突破高频考点| |举一反三|15题（含跨省份模拟题）|题型变式与解题模板|通过同类题组强化通性通法| |拓展提升|15题（含实际应用）|综合建模与逻辑推理|从数学问题到现实情境，发展应用意识|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第10卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.与 的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 2.常见数列的通项公式 ①自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. ②奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. ③偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. ④平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. ⑤2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. ⑥乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． ⑦正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. ⑧重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. ⑨符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 3.等差数列 （1）等差数列的定义：定义的表达式为an＋1－an＝d(n∈N*). （2）等差中项：如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项且A＝. （3）通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． （4）前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ （5）等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． ④数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 4.等比数列 （1）比数列的定义：:符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． （3）通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. （4）前n项和公式：Sn＝ （5）等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． ③若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． ④三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq， 【真题精讲】 考点01 等差数列 1．（2025·河北对口升学）已知数列均为等差数列，，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 13 2.(2023·河北对口升学)在等差数列中，=2m+1，=m，，则=（ ） A. 2n-1 B. 2n-3 C. 2n-5 D. 2n-7 3.(2022·河北对口升学)已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 考点02 等比数列 4．（2025·河北对口升学）已知数列是首项为1的等比数列，，则的前6项和为（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 5.(2024·河北对口高考)已知是等比数列，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 6.(2023·河北对口升学)已知数列是等比数列,, 则数列前4项的和__________ 考点03 递推公式 7.(2024·河北对口升学) “斐波那契数列”又称黄金分割数列、兔子数列，由数学家莱昂纳多·斐波那契提出，该数列满足，，则________． 考点04 数列的综合应用 8.（2026·河北对口升学）已知等比数列中，，公比. （1）求数列{an}的通项公式; （2）若，求数列的前项和. 9.（2024·河北对口升学）设为等差数列，其前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求的值． 【举一反三】 1．已知数列的通项公式，则 （    ）. A． B． C． D． 2.（2026·云南对口升学）在等差数列中，首项公差，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 3.在等比数列中，公比，，，则等于（ ） A．2 B． C． D． 4.(2022·河北对口升学)已知等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5．在等差数列中，，则（ ） A． B． C． D． 6.(2021·河北对口升学)在等比数列中，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7．（2026·河北对口升学联合体测试）设等差数列的前项和为，已知，，则的值为（   ） A．70 B．80 C．90 D．100 8．已知正项数列是首项为的等比数列，，则的前项和为（ ） A． B． C． D． 9.（2025·河北对口升学样卷）已知是等比数列，=（ ） A.27 B. 54 C.108 D. 162 10．在正项等比数列中，已知，则（ ） A．54 B．64 C．72 D．108 11.(2021·河北对口升学)在等差数列中，若，则前16项和__________. 12．已知数列的前项和为，且，则_____. 13.（2025·河北对口升学样卷）已知成等差数列，成等比数列，则=______． 14．已知等比数列中，，. (1)求通项； (2)若，试求数列的前n项和. 15.（2023·河北对口升学）已知数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【拓展提升】 一、选择题 1．与两数的等比中项是（   ）. A．1 B． C． D． 2．等差数列中，，则该数列前8项和（ ） A． B． C． D． 3．设等比数列的公比为，，则=（    ）. A．1 B． C． D． 4．黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（   ） A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 5．已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，则此数列的公差为（   ）. A． B． C．1 D． 6．（2026·山西对口升学）设为等差数列前项和，已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 64 D. 3 7．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 8．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 9.（2025·河南对口升学）在等比数列中，若，，则（ ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 27 10．（2026·河北张家口模拟）等比数列的公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题 11．已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 12．已知数列的前项和为，且，则____ . 13．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是___________块. 三、解答题 14.（2022·河北对口升学）已知数列，，，令. （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的通项公式. 15．（2025·河南对口升学）已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第10卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.与 的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 2.常见数列的通项公式 ①自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. ②奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. ③偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. ④平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. ⑤2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. ⑥乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． ⑦正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. ⑧重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. ⑨符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 3.等差数列 （1）等差数列的定义：定义的表达式为an＋1－an＝d(n∈N*). （2）等差中项：如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项且A＝. （3）通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． （4）前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ （5）等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． ④数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 4.等比数列 （1）比数列的定义：:符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． （3）通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. （4）前n项和公式：Sn＝ （5）等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． ③若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． ④三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq， 【真题精讲】 考点01 等差数列 1．（2025·河北对口升学）已知数列均为等差数列，，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质求解． 【详解】数列均为等差数列，则，， 两式相加得，即，解得． 故选：A． 2.(2023·河北对口升学)在等差数列中，=2m+1，=m，，则=（ ） A. 2n-1 B. 2n-3 C. 2n-5 D. 2n-7 【答案】D 【解析】 【分析】这是一道关于等差数列应用的题目，关键是掌握等差数列的通项公式. 【详解】因为，，公差， 所以，.，，所以. 故选：D 3.(2022·河北对口升学)已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，从而可求. 【详解】因为，，所以. .. 故选：C 考点02 等比数列 4．（2025·河北对口升学）已知数列是首项为1的等比数列，，则的前6项和为（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式求出公比，然后利用等比数列的前项和公式求解． 【详解】设数列的公比为，首项， ∵，∴，解得， ∴的前6项和为， 故选：C． 5.(2024·河北对口高考)已知是等比数列，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 【答案】C 【分析】利用等比数列定义即可求解. 【详解】， 故选：C 6.(2023·河北对口升学)已知数列是等比数列,, 则数列前4项的和__________ 【答案】15 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，求出和,再用等比数列求和公式求出. 【详解】设数列的首项为，公比为,因为,，所以解得,所以数列的前项和. 故答案为：. 考点03 递推公式 7.(2024·河北对口升学) “斐波那契数列”又称黄金分割数列、兔子数列，由数学家莱昂纳多·斐波那契提出，该数列满足，，则________． 【答案】8 【详解】解：， 故选：8 考点04 数列的综合应用 8.（2026·河北对口升学）已知等比数列中，，公比. （1）求数列{an}的通项公式; （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）=. （2）. 【分析】（）根据等比数列的通项公式求出首项即可得解. （）根据题意求出，利用分组求和法即可得解. 【详解】（1）等比数列中，，公比，，解得， 则. （2），则. 9.（2024·河北对口升学）设为等差数列，其前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求的值． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的首项公差为，其前n项和为， 由，可得，解得， 由等差数列前项和公式， 由，可得， 化简得，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则. 则. 【举一反三】 1．已知数列的通项公式，则 （    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合数列的通项公式，代入即可求解. 【详解】因为数列的通项公式，所以. 故选：C. 2.（2026·云南对口升学）在等差数列中，首项公差，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由题可知，. 故选：B. 3.在等比数列中，公比，，，则等于（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的下标和性质求值即可. 【详解】已知为等比数列，且，，则，且 所以， 故选：B. 4.(2022·河北对口升学)已知等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再代入到对数函数即可求解. 【详解】在等比数列中，，， 所以，则， 故选：C 5．在等差数列中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，先求得公差，再由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为等差数列中，，设公差为， 所以，解得，所以. 故选：A. 6.(2021·河北对口升学)在等比数列中，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式即可求值. 【详解】已知为等比数列，已知， 则， 即，所以. 故选：B. 7．（2026·河北对口升学联合体测试）设等差数列的前项和为，已知，，则的值为（   ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【分析】求解出该等差数列的首项与公差，再结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d，∵，， ∴，解得，则. 故选：D. 8．已知正项数列是首项为的等比数列，，则的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，然后利用等比数列的前项和公式求值即可． 【详解】设数列的公比为，首项， ∵，∴，解得， ∴的前项和为， 故选：A． 9.（2025·河北对口升学样卷）已知是等比数列，=（ ） A.27 B. 54 C.108 D. 162 【答案】B 【详解】，解得 故选：B. 10．在正项等比数列中，已知，则（ ） A．54 B．64 C．72 D．108 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式得到公比，即可求解. 【详解】因为为等比数列，令公比为， 又，显然，，又， 解得或（舍去），所以 故选：A. 11.(2021·河北对口升学)在等差数列中，若，则前16项和__________. 【答案】16 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式与等差数列的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知，， 所以. 故答案为：16 12．已知数列的前项和为，且，则_____. 【答案】 【分析】由条件根据的关系可得，结合等比数列数列的通项公式求得，进而可得答案． 【详解】当时，，解得； 当时，， 则，所以，则， 因为，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列， 所以，即，故. 故答案为：. 13.（2025·河北对口升学样卷）已知成等差数列，成等比数列，则=______． 【答案】 【详解】由成等差数列，得. 由成等比数列，得，因为所以. 故答案为： 14．已知等比数列中，，. (1)求通项； (2)若，试求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式，即可求解. （2）利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）设等比数列首项为公比为q，由题意知，， 所以，解得，所以. （2）由（1）知，所以， 则. 综上所述，数列的前n项和为. 15.（2023·河北对口升学）已知数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由数列的与的关系求解通项公式即可. （2）由数列的通项公式，先求解，再根据前n项和公式求解即可. 【详解】（1），， 所以， 当时，，，相等满足题意， 所以数列的通项公式为. （2），因为，， 所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以. 数列的前n项和. 【拓展提升】 一、选择题 1．与两数的等比中项是（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项的公式即可得解. 【详解】与两数的等比中项为， 故选：. 2．等差数列中，，则该数列前8项和（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列下角标和的性质，及等差数列前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，所以， 所以前8项和. 故选：C. 3．设等比数列的公比为，，则=（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式代入求解即可. 【详解】由题意可得，，解得. 故选：B. 4．黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（   ） A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 【答案】B 【分析】分析白色地面砖数是等差数列，根据首项和公差，即可得到第5个图案中有白色地面砖. 【详解】由题意可知，图案中的白色地面砖数构成等差数列， 其中，，则， 即第5个图案中有白色地面砖22块. 故选：B. 5．已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，则此数列的公差为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d，因为其第5项等于10，前3项的和等于3， 所以，即，解得，所以此数列的公差为3. 故选：D. 6．（2026·山西对口升学）设为等差数列前项和，已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 64 D. 3 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以，解得. 故选：A. 7．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】因为等差数列中，，因为，所以， 即，所以， 故选：D. 8．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的片段和公式求解即可. 【详解】在等比数列中，，则有成等比数列， 所以成等比数列，即，解得， 则. 故选：D. 9.（2025·河南对口升学）在等比数列中，若，，则（ ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 27 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，设等比数列的公比为，则， 又，， 所以， 所以. 故选：B. 10．（2026·河北张家口模拟）等比数列的公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【解析】，因为公比，所以. 故选：C. 二、填空题 11．已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 【答案】 【分析】利用韦达定理求出的值，再结合等比数列的性质得到的值. 【详解】因为与是方程的两个实数根，所以， 在等比数列中，， 故答案为：15. 12．已知数列的前项和为，且，则____ . 【答案】 【分析】由条件根据的关系可得，结合等比数列数列的通项公式求得，进而可得答案． 【详解】当时，，解得； 当时，， 则，所以，又， 所以数列是首项为12，公比为2的等比数列， 所以，即，故. 故答案为：. 13．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是___________块. 【答案】3402. 【分析】根据题意分析该题为等差数列的简单应用，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意得，三层从上到下，每一层从里到外，依次构成等差数列， 其中，，，，则三层共有扇面形石板（块）. 故答案为：. 三、解答题 14.（2022·河北对口升学）已知数列，，，令. （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）计算，由等比数列的定义可得为等比数列； （2）由为等比数列可得的通项公式，从而可求数列的通项公式. 【详解】（1）,， . 故数列是以首项2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，即，故. 15．（2025·河南对口升学）已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解； （2）根据题意，可得，将递推公式取倒数，化简可得，继而得到数列是等差数列，求出首项和公差，即可求解. 【详解】（1）因为，数列满足， 所以将，代入得； 将，代入得； 所以，； （2）因为数列中，，所以， 又，所以，即， 又，所以数列是以为首项，为公差等差数列， 所以数列的通项公式为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $