第9卷 平面向量、复数（学生练习卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北省对口升学考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，分平面向量、复数两专题，精选近三年真题，教师讲解与学生练习卷配套，通过选择、填空、解答题型夯实运算能力与推理意识，精准对接考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|选择20/填空3/解答2|聚焦坐标运算、垂直平行判定、夹角与模长计算，含正六边形等几何情境题|从向量概念生成到坐标表示，通过线性运算、数量积推导垂直平行条件，结合几何直观实现应用拓展| |复数|选择20/填空3/解答2|侧重实部虚部辨析、共轭复数、模长计算及几何意义，含方程求解与纯虚数判定|从复数定义出发，通过四则运算建立与实数的联系，结合复平面实现代数与几何的转化，培养模型意识|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量、复数 （学生练习卷） 一、平面向量 一、选择题 1．若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量坐标形式的加法法则即可求解. 【详解】平面向量相加，就是把两个向量横、纵坐标分别相加，得到和向量坐标， 若，则， 故选：A 2．已知向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，则. 故选：A. 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】已知，，， 则. 故选：C. 4．在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的加法法则，和相等向量的概念求值即可. 【详解】如图为正六边形，则，， . 故选：B. 5．向量，，且⊥，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标公式列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且⊥， 则有，解得. 故选：B . 6.（2025·云南对口升学）向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标公式列方程求解即可. 【详解】向量，，且， 则有，解得. 故选：C. 7已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解. 【详解】向量与互相垂直，所以，则，解得， 故选：. 8．已知向量，且，则（   ）． A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，即，解得. 故选：C． 9.（2023·山西对口升学）已知向量.若，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，从而求出，进而求解的值即可. 【详解】由得，即，解得，所以， 所以所以. 故选：B. 10．已知点，，，若向量与平行，则的值为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示，即平行向量的性质列出方程即可得解. 【详解】由题意可得，. 因为，所以，解得， 故选：. 11．已知向量的夹角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标公式和向量模长的坐标公式列方程求解即可； 【详解】向量的夹角， 由，得 ，解得. 又因为内积计算方程两边为非负数，. 故选：A. 12．已知向量，，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．135° D．150° 【答案】B 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】因为，又，所以. 故选：B . 13.（2024·山西对口升学）已知向量，则向量有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量， 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以平行，故正确； 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以不平行，故错误， 故选：. 14．已知向量与的夹角为，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量的模的计算，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 15．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量内积公式求出两向量夹角的余弦值，再根据夹角的取值范围确定夹角的大小. 【详解】设向量与的夹角为，已知， 由，可得，解得， 因为，所以， 故选：C. 16．已知向量，，且 ，则实数的值为（    ） A．12 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】先求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】已知向量，， 可得， 因为， 所以，解得， 故选：D. 17．已知向量，，，则（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】利用平面向量的加法、数量积的坐标运算即可. 【详解】向量，，， 则， 所以. 故选：A 18．已知，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的线性坐标运算求出的坐标，再由向量的模的坐标表示求值即可. 【详解】因为，， 所以， 则． 故选：B． 19．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量内积的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故选：D. 20．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的性质，即可求解. 【详解】因为，所以 又向量，， 则，， 所以，解得. 故选：D. 二、填空题 21.（2026·山西对口升学）已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 22．已知向量，，且，则__________ 【答案】或 【分析】由向量内积的坐标运算求解参数即可. 【详解】向量，，且， 所以，解得或， 故答案为：或. 23.已知向量，非零向量，若，则__________. 【答案】/0.5 【分析】根据向量平行的坐标表示及二倍角公式求解. 【详解】非零向量，可知. 因为， 向量， 所以， 即，故. 故答案为：. 三、解答题 24．已知点，且 . (1)求点 的坐标； (2)写出 的坐标. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用向量的坐标公式计算即可得出结果； （2）利用相反向量的概念直接可求得结果. 【详解】（1）设，点，且，所以 所以，解得，即 （2）. 25．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据向量共线，结合向量的内积公式求解即可； （2）根据向量内积与模长求解模长即可； （3）由条件结合向量的夹角公式求解即可； 【详解】（1）设向量与的夹角为． 当同向，即时，； 当反向，即时，． （2）因为，所以； 所以，所以． （3）由，得，所以， 又，所以． 二、复数 一、选择题 1．设为虚数单位，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数加法的运算法则求解. 【详解】. 故选：A. 2．若，则复平面内复数z对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可判断求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限. 故选：D. 3．已知复数，则复数z的虚部为（    ）． A． B．1 C．i D． 【答案】A 【分析】根据复数的虚部概念可知. 【详解】由题可知：复数，则复数z的虚部为. 故选：A 4.（2025·云南对口升学）复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数， 故复数的共轭复数是. 故选：A. 5．（    ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的模公式计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 6．复数的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的加法法则计算，然后根据复数实部的概念判断. 【详解】由题可知：，所以实部为3. 故选：C 7．复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】复数， 其对应的点为，在第一象限. 故选：A. 8．是复数，为实数的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据复数的定义以及充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】若，则复数，充分性成立.若，则，解得或，必要性不成立. 故选：A. 9．在复数范围内，方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实系数一元二次方程的解法求解. 【详解】方程的判别式， 所以方程的解为. 故选：D. 10．复数 的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用复数的乘法法则计算，再根据共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为 ， 所以. 故选：B 11．已知为虚数单位，，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算及复数相等的概念求解. 【详解】因为，即，可得， 所以，即， 12．已知a为实数，复数（i为虚数单位），若z为纯虚数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，结合复数的概念和分类，即可求解. 【详解】由题意，因为复数为纯虚数，所以，解得. 故选：C. 13.已知复数满足，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由复数的运算法则求出复数，再写出其共轭复数即可. 【详解】复数满足， 则， 所以 故选：C. 14．已知复数满足，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算以及复数的模公式求解即可. 【详解】因为，所以. 因此. 故选：B. 15.复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】先化简复数，再判断所对应的点即可. 【详解】， 所以该复数在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 16．一元二次方程，有（ ） A．两个不相等的实数根 B．一个实数根，一个虚数根 C．一对共轭虚根 D．两个相等实根 【答案】C 【分析】根据题意，结合实系数一元二次方程在复数范围内根的情况，即可判断求解. 【详解】因为，所以． 所以该一元二次方程有一对共轭虚根． 故选：C. 17．复数的模（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数四则运算法则及复数模的计算公式即可得解. 【详解】， 则复数的模， 故选：B. 18．设复数，则下列命题正确的是（   ） A．z的实部为2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数，根据复数的概念，复数的模和复数的运算法则即可求解. 【详解】因为复数， 对A：的实部为，故A项错误； 对B：，故B项错误； 对C：复数，故C项错误； 对D：，故D项正确. 故选：D. 19．复数的虚部为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对复数进行化简，再求解即可. 【详解】. 故复数的虚部为. 故选：D. 20．若是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根，则c＝（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据实系数方程的根求解参数即可； 【详解】因为是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根， 所以其另一个根为，所以，解得, 故选：C 二、填空题 21．计算：________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法和加减法运算法则运算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 22．复数的共轭复数的模等于 . 【答案】 【分析】先求出共轭复数，再由复数的模长公式计算即可. 【详解】复数的共轭复数为，故其模为. 故答案为：. 23．已知方程的一个根为，则另一个根为________. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合实系数一元二次方程在复数范围内两根之间的关系，即可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数， 又方程的一个根为， 所以另一个根为． 故答案为：． 三、解答题 24．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）将代入，根据复数的代数运算及纯虚数的概念可得结果； （2）由（1）根据复数的代数运算及复数模的定义可得结果； 【详解】（1）将代入得. 因为为纯虚数，所以，解得，即复数； （2）由（1）知，所以，. 25．已知复数，，其中x，． (1)若，求x，y的值和． (2)若与是共轭复数，求x，y的值． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据复数相等列方程，求出，再根据复数的模求解即可. （2）根据共轭复数的概念列方程求解即可. 【详解】（1），，解得. ，. （2）与是共轭复数，，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量、复数 （学生练习卷） 一、平面向量 一、选择题 1．若，则为（　　） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．向量，，且⊥，则等于（ ） A． B． C． D． 6.（2025·云南对口升学）向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 7已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 8．已知向量，且，则（   ）． A．3 B． C．4 D． 9.（2023·山西对口升学）已知向量.若，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 10．已知点，，，若向量与平行，则的值为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 11．已知向量的夹角，则（    ） A． B． C． D．1 12．已知向量，，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．135° D．150° 13.（2024·山西对口升学）已知向量，则向量有可能是（ ） A. B. C. D. 14．已知向量与的夹角为，，则（    ） A． B． C． D．7 15．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 16．已知向量，，且 ，则实数的值为（    ） A．12 B． C．13 D． 17．已知向量，，，则（   ） A． B．8 C． D．4 18．已知，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 20．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 21.（2026·山西对口升学）已知平面向量，，且，则_____． 22．已知向量，，且，则__________ 23.已知向量，非零向量，若，则__________. 三、解答题 24．已知点，且 . (1)求点 的坐标； (2)写出 的坐标. 25．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 二、复数 一、选择题 1．设为虚数单位，则（    ）. A． B． C． D． 2．若，则复平面内复数z对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数，则复数z的虚部为（    ）． A． B．1 C．i D． 4.（2025·云南对口升学）复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 5．（    ） A．3 B． C．5 D．4 6．复数的实部是（    ） A． B． C． D． 7．复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．是复数，为实数的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在复数范围内，方程的解为（　　） A． B． C． D． 10．复数 的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 11．已知为虚数单位，，则实数等于（ ） A． B． C． D． 12．已知a为实数，复数（i为虚数单位），若z为纯虚数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 13.已知复数满足，则是（ ） A. B. C. D. 14．已知复数满足，则（     ）． A． B． C． D． 15.复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16．一元二次方程，有（ ） A．两个不相等的实数根 B．一个实数根，一个虚数根 C．一对共轭虚根 D．两个相等实根 17．复数的模（ ） A． B． C． D． 18．设复数，则下列命题正确的是（   ） A．z的实部为2 B． C． D． 19．复数的虚部为（   ）. A． B． C． D． 20．若是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根，则c＝（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 二、填空题 21．计算：________． 22．复数的共轭复数的模等于 . 23．已知方程的一个根为，则另一个根为________. A． B． C． D． 三、解答题 24．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 25．已知复数，，其中x，． (1)若，求x，y的值和． (2)若与是共轭复数，求x，y的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $