第9卷 平面向量、复数（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦平面向量与复数专题，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合近三年河北对口升学真题，通过双卷设计强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|真题8+举一反三15+拓展15|线性运算几何法则、坐标运算公式、共线/垂直判定定理|从向量定义→线性运算→坐标表示→内积应用，构建“概念-运算-应用”递进链条| |复数|真题3+举一反三10+拓展11|复数四则运算法则、共轭复数性质、实系数方程虚根成对原理|从复数定义→几何意义→运算规律→方程求解，形成“定义-运算-应用”逻辑闭环|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量、复数 （教师讲解卷） 一、平面向量 【概念回顾】 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 5.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． 【真题精讲】 考点01 平面向量的线性运算 1.（2025·河北对口升学样卷）在平行四边形 ABCD 中，设，则=（ ） A． B． C． D． 考点02 平面向量的坐标运算 2．（2024·河北对口升学）已知点，，，则（ ） A. B. C. D. 3.（2023·河北对口升学）已知A点坐标，B点坐标，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 和向量都是单位向量 D. 线段中点坐标是 考点03 向量共线与模的运算 4．（2023·河北对口升学）若，，且，则_______. 考点03 向量夹角与垂直 5.（2024·河北对口升学）设向量，，且，则实数x的取值范围是________． 6.（2022·河北对口升学）已知向量，，且与垂直，则_______________. 考点03 向量的内积 7.（2026·河北对口升学）已知，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 8.（2025·河北对口升学）已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【举一反三】 1．已知，则（      ） A． B． C． D． 2.(2022·河北对口升学)已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3.（2026·云南对口升学）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 4．已知，，则与（    ） A．相等 B．平行 C．垂直 D．以上均不对 5．正方形的边长为1，则（   ） A． B． C． D． 6．已知向量为单位向量，且⊥，则（    ） A．0 B． C． D． 7．设，，夹角为60°，则（   ） A．37 B．13 C． D． 8.(2021·河北对口升学)已知向量，则（ ） A. B. C. D. 9．若，，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．1 11．已知向量，若，则 ． 12．已知平面向量，且，则___________. 13.（2024·云南对口升学）已知向量，，，则__________． 14．已知向量，且. (1)求m的值； (2)求的值. 15．已知向量，，求： (1)，； (2)； (3)向量与向量夹角． 【拓展提升】 一、选择题 1．如果，那么 A． B． C． D． 2．如果，则（          ） A． B． C． D． 3.（2026·山西对口升学）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A. B. C. D. 4．已知向量与的夹角为150°，，，则（    ） A．16 B．－24 C． D． 5．如果，，那么（） A． B． C． D． 6．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，，，则 （ ） A． B．20 C． D．16 8．已知，若，则（ ） A．10 B． C． D． 9．已知点，若向量，则（ ） A． B． C． D． 10．已知向量若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 二、填空题 11．若平面向量，，且，则________. 12．已知平面向量，，且，则_____． 13.(2021年河北对口升学)已知向量，，且，则__________. 三、解答题 14．已知向量，点． (1)求线段的中点M的坐标； (2)若点满足，求与的值． 15．已知空间三点，，，设，. (1)若，，求； (2)若与互相垂直，求； (3)若向量与平行，求. 二、复数 【概念回顾】 1、复数的概念 （1）复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． （2）复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． （3）复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． （4）复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2、复数的几何意义 （1）复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． （2）共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 3、复数的加、减、乘法运算 （1）复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． （2）复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． （3）复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 4、实系数一元二次方程的解法 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 【真题精讲】 考点01 复数的加、减法运算 1.（2025·河北对口升学）已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 考点02 复数的乘法运算 2.（2025河北对口升学样卷）已知i是虚数单位，则= （ ） A． B． C． D． 考点02 实系数一元二次方程的解法 3.（2026·河北对口升学）已知实系数一元二次方程，且方程有一个根为，则实数m的值为（ ） A. 10 B. C. 8 D. 【举一反三】 1.（2026·云南对口升学）已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点是（ ） A． B． C． D． 3．复数的实部和虚部是（ ） A． B． C． D． 4．复数（    ） A． B． C．1 D． 5．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．下列各数是纯虚数的是（ ） A． B．5 C． D． 7．（    ） A． B． C． D． 8．设，则（    ） A． B． C． D． 9．已知复数，则其共轭复数_______ 10．若，则 ， 【拓展提升】 一、选择题 1．若，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 2．下列复数是纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 3．方程在复数范围内的根为（    ） A． B． C． D． 4．复数满足，则复数对应的点位于（ ） A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限 C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限 5．若复数，，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 6．已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 7．已知实系数一元二次方程的一个根是，则（    ） A．25 B．19 C． D． 8．已知复数，其共轭复数为，下列说法正确的是（     ） A．是纯虚数 B．的虚部为 C． D． 二、填空题 9． =___________. 10．已知复数，的共轭复数，则______． 三、解答题 11．已知复数，，且为纯虚数，. (1)求复数； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的共轭复数，并计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量、复数 （教师讲解卷） 一、平面向量 【概念回顾】 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 5.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． 【真题精讲】 考点01 平面向量的线性运算 1.（2025·河北对口升学样卷）在平行四边形 ABCD 中，设，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C . 考点02 平面向量的坐标运算 2．（2024·河北对口升学）已知点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据向量的坐标的混合运算求解即可. 【详解】已知点，，，则， 进而. 故选：B. 3.（2023·河北对口升学）已知A点坐标，B点坐标，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 和向量都是单位向量 D. 线段中点坐标是 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和向量模长的计算公式以及线段中点坐标公式判断每个选项即可. 【详解】由向量可知A错误. 由可知B错误. 由于单位向量是指模为1的向量，，所以不是单位向量，所以C错误. 线段的中点坐标为，即，所以D正确. 故选：D. 考点03 向量共线与模的运算 4．（2023·河北对口升学）若，，且，则_______. 【答案】 【分析】根据向量平行关系，求出m的值，再计算的值即可. 【详解】由题意得, 解得， 所以，，所以，所以， 故答案为：. 考点03 向量夹角与垂直 5.（2024·河北对口升学）设向量，，且，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可得，结合数量积的坐标表示，解不等式即可. 【详解】∵向量，，且， ∴，即，∴，解得， ∴实数x的取值范围是. 故答案为：. 6.（2022·河北对口升学）已知向量，，且与垂直，则_______________. 【答案】3 【分析】先根据向量的加法运算法则，求出，又与垂直，根据横纵坐标的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，， 又因为与垂直，所以， 故答案为：3 考点03 向量的内积 7.（2026·河北对口升学）已知，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用平面向量运算的坐标表示及向量内积的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】， ，故错误； ，， ，，所以，故错误； ，所以，故错误； ，所以，故正确； 故选：. 8.（2025·河北对口升学）已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，， 则， 故选：. 【举一反三】 1．已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示可求. 【详解】因为， 则； 故选：B. 2.(2022·河北对口升学)已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由向量的坐标运算即可得解. 【详解】因为.所以.所以. 故选:. 3.（2026·云南对口升学）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】向量，则. 故选：. 4．已知，，则与（    ） A．相等 B．平行 C．垂直 D．以上均不对 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得结论. 【详解】由题可得，，所以. 故选：C 5．正方形的边长为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算及模长的意义即可得解. 【详解】正方形的边长为1， ， 故选：. 6．已知向量为单位向量，且⊥，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直关系可得，然后利用数量积的运算性质求解. 【详解】∵向量为单位向量，且⊥， ∴，， ∴. 故选：D. 7．设，，夹角为60°，则（   ） A．37 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的内积公式与模长公式求解即可； 【详解】由题可知，， 所以， 故选：D 8.(2021·河北对口升学)已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用向量的模的公式求出，最后根据向量夹角的运算公式和特殊三角函数的余弦值即可求解. 【详解】由可知，， 且， 所以，且，所以. 故选：D 9．若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角公式求解． 【详解】因为，，，则， 因为，所以， 故选：D． 10．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由向量内积的运算律即可得解. 【详解】∵，且， ∴，即，解得. 故选：B. 11．已知向量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，又，所以，解得． 故答案为：. 12．已知平面向量，且，则___________. 【答案】1 【分析】根据向量的平行的性质列式求解即可. 【详解】∵平面向量，且，∴，解得. 故答案为：1. 13.（2024·云南对口升学）已知向量，，，则__________． 【答案】 【分析】根据向量模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案：. 14．已知向量，且. (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量模的计算公式及可求解. 【详解】（1）向量，且，则，解得. （2）因为， 则，所以. 15．已知向量，，求： (1)，； (2)； (3)向量与向量夹角． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据向量的加法、减法、数乘进行线性运算； （2）根据数量积坐标公式运算； （3）根据平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题可知：，. （2） （3）设向量与向量夹角为， 所以，又，所以 【拓展提升】 一、选择题 1．如果，那么 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．如果，则（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3.（2026·山西对口升学）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为平面向量，平面向量，且，则， 解得. 故选：A. 4．已知向量与的夹角为150°，，，则（    ） A．16 B．－24 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积公式易得答案. 【详解】因为与的夹角为,, 所以. 故选:C. 5．如果，，那么（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 6．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直可知，然后计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：D. 7．已知向量，，，则 （ ） A． B．20 C． D．16 【答案】D 【分析】先根据向量数量积公式计算，再利用向量数量积的分配律将展开，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以.又∵， 即. 故选：D. 8．已知，若，则（ ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示得出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为， 所以，. 又因为，所以，解得. 故选：A. 9．已知点，若向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量，得到点坐标，即可得到向量坐标，即可求解向量模长. 【详解】设点，因为，所以向量， 即，所以，又因为，所以, 故. 故选：A. 10．已知向量若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，求得参数x，继而求得，结合向量的模的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且，所以，解得， 所以，所以，所以. 故选：B. 二、填空题 11．若平面向量，，且，则________. 【答案】9 【分析】根据向量平行的坐标表示求值即可. 【详解】若平面向量，，由，得，解得， 故答案为：. 12．已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 解得. 故答案为：. 13.(2021年河北对口升学)已知向量，，且，则__________. 【答案】## 【分析】先根据向量内积的坐标运算求出的关系式，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为， 由向量的数量积的坐标运算可知， 所以. 故答案为：. 三、解答题 14．已知向量，点． (1)求线段的中点M的坐标； (2)若点满足，求与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解出点B和点D的坐标，再根据中点坐标公式即可求解； （2）根据向量共线的坐标表示列式求解即可. 【详解】（1）因为，且， 设，所以， 则有，解得； 又，则有，解得， 所以， 设，因为为线段的中点，所以，所以； （2）由（1）知，，所以， ，因为，即， 所以，解得. 15．已知空间三点，，，设，. (1)若，，求； (2)若与互相垂直，求； (3)若向量与平行，求. 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出； （2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值； （3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值. 【详解】（1）点，，，所以， 由，设，且， 所以，解得， 所以或. （2），， 若与互相垂直，则， 所以， 即， 化简得， 解得或. （3）向量，， 由向量与平行，则， 则，解得或. 二、复数 【概念回顾】 1、复数的概念 （1）复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． （2）复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． （3）复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． （4）复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2、复数的几何意义 （1）复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． （2）共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 3、复数的加、减、乘法运算 （1）复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． （2）复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． （3）复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 4、实系数一元二次方程的解法 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 【真题精讲】 考点01 复数的加、减法运算 1.（2025·河北对口升学）已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据复数的运算求解即可； 详解】复数，，所以， 故选：D 考点02 复数的乘法运算 2.（2025河北对口升学样卷）已知i是虚数单位，则= （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故答案为：A. 考点02 实系数一元二次方程的解法 3.（2026·河北对口升学）已知实系数一元二次方程，且方程有一个根为，则实数m的值为（ ） A. 10 B. C. 8 D. 【答案】A 【分析】根据题意求出另一个根，利用韦达定理即可得解. 【详解】实系数一元二次方程，且方程有一个根为，则另一个根为， 由韦达定理可知，，解得， 故选：. 【举一反三】 1.（2026·云南对口升学）已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相加，实部加实部，虚部加虚部即可得解. 【详解】复数，则. 故选：. 2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义即可得出. 【详解】由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应的点是. 故选：A. 3．复数的实部和虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的实部和虚部的概念可得结果. 【详解】复数的实部和虚部分别是. 故选：A 4．复数（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由复数的指数幂运算即可得解. 【详解】. 故选：D. 5．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】求出复数在复平面对应的点的坐标即可得解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：. 6．下列各数是纯虚数的是（ ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据纯虚数的概念求解即可. 【详解】纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数， ，实部为5，虚部为4，不符合纯虚数的定义，故A错误； 5，实部为5，虚部为0，不符合纯虚数的定义，故B错误； ，实部为5，虚部为，不符合纯虚数的定义，故C错误； 4i，实部为0，虚部为4，符合纯虚数的定义，故D正确； 故选：D. 7．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】. 故选：D 8．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的运算求共轭复数即可 【详解】，则. 故选：C. 9．已知复数，则其共轭复数_______ 【答案】 【分析】根据共轭复数的定义直接求解即可． 【详解】因为复数，所以其共轭复数． 故答案为：． 10．若，则 ， 【答案】 /0.5 【分析】根据复数相等的条件：实部和虚部分别相等，求解即可. 【详解】由可得：，解得：， 故答案为：；. 【拓展提升】 一、选择题 1．若，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的定义列方程求解即可. 【详解】因为， 所以，且，解得. 故选：A． 2．下列复数是纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义即可得解. 【详解】实部为，所以不是纯虚数； 实部为，虚部，所以是纯虚数； 实部为，所以不是纯虚数； 表示复数的模长， 故选：. 3．方程在复数范围内的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原方程整理为一元二次方程的标准形式，利用复数范围内的一元二次方程求根公式求解即可. 【详解】由方程得，，其中， ，， 故选：C. 4．复数满足，则复数对应的点位于（ ） A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限 C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算求得，然后由复数的几何意义得出结果. 【详解】由题意得， 所以复数对应的点为，位于第Ⅳ象限. 故选：D. 5．若复数，，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A. 6．已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求出共轭复数，结合复数的乘法运算及虚部的概念计算即可求解. 【详解】因为复数，所以， 所以，所以的虚部为. 故选：B. 7．已知实系数一元二次方程的一个根是，则（    ） A．25 B．19 C． D． 【答案】B 【分析】利用实系数一元二次方程的根的性质来求解和的值，即可求解. 【详解】一元二次方程有两个共轭复数根，一个根是， 方程的另一个根是， 所以由根与系数的关系得，， 故，得到. 故选：B. 8．已知复数，其共轭复数为，下列说法正确的是（     ） A．是纯虚数 B．的虚部为 C． D． 【答案】D 【分析】先通过复数乘法运算化简得到的代数形式，再结合纯虚数、虚部、共轭复数、复数模的定义逐一判断各选项. 【详解】， 不是纯虚数，故A错误，的虚部为，故B错误， ，故C错误，，故D正确， 故选：D. 二、填空题 9． =___________. 【答案】 【分析】根据复数的运算以及复数的模公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 10．已知复数，的共轭复数，则______． 【答案】 【分析】根据的共轭复数求出，再根据复数乘法法则计算即可. 【详解】因为的共轭复数，所以， 所以 故答案为：. 三、解答题 11．已知复数，，且为纯虚数，. (1)求复数； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的共轭复数，并计算. 【答案】(1)或 (2)； 【分析】（1）利用复数的乘法运算与分类，结合模的运算公式得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，得到，进而得到其共轭复数，从而计算即可得解. 【详解】（1）因为，， 则， 又为纯虚数，则，且， 因为，所以，即， 联立，解得或， 经检验，两解都满足，所以或. （2）因为在复平面内对应的点位于第一象限， 所以结合（1）中结果可知，其对应的点为， 则其共轭复数，故， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $